初中数学人教版（2024）七年级下册9.3 一元一次不等式组精品课时练习

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1、不等式组中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式组叫一元一次不等式组。使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解(简称不等式组的解)。不等式组的解集可以在数轴上表示出来。求不等式组的解集的过程叫解不等式组。
2、、解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解 ( 此时也称这个不等式组的解集为空集 )。
3、确定不等式组的解的口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。
考点精讲
考点1：解一元一次不等式组
典例：（2023·天津南开·统考一模）解不等式组请按下列步骤完成解答：
(1)解不等式①，得__________________；
(2)解不等式②，得__________________；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为__________________．
方法或规律点拨
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
巩固练习
1．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（ ）
A．或B．或C．D．
5．（2023年广东省深圳市三十五校中考模拟数学试卷）定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是________．
6．（2023·湖南长沙·校联考一模）解不等式组：．
7．（2022秋·江西新余·八年级统考期中）（1）解方程
（2）解不等式组，并利用数轴确定不等式组的解集．
8．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
9．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）解不等式组，并把解集在数轴上表示．
(1)；
(2)；
10．（2023·湖南长沙·校联考三模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
11．（2023春·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）解不等式组
考点2：求不等式组的整数解
典例：（2023·山东济南·统考一模）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．
方法或规律点拨
本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解本题的关键在熟练掌握求解一元一次不等式组的一般步骤．
巩固练习
1．（2023年湖南省长沙市初中学业水平考试模拟数学试卷）不等式组，的所有整数解的和为（ ）
A．4B．6C．8D．10
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）不等式组的整数解的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出结果，则输入的整数有（ ）种情况．
A．4B．3C．2D．1
4．（2023·广东东莞·东莞市东城实验中学校联考一模）不等式组的整数解为___________．
5．（2023·江苏扬州·统考一模）解不等式组：，并求出不等式组所有非正整数解的和．
6．（2023春·七年级单元测试）解不等式组
(1)（把它的解集表示在数轴上）．
(2)（并写出它的整数解）．
7．（2023·山东济南·统考一模）解不等式组：，并写出它的正整数解．
8．（2023春·陕西西安·九年级高新一中校考期中）解不等式组：在数轴上表示出它的解集，并求出它的整数解
9．（2023·山东济南·统考一模）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
考点3：确定不等式组中的字母系数取值
典例：（1）（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）已知不等式组的解集为，则的值等于多少？
方法或规律点拨
本题主要考查解不等式组，根据不等式组的解集得出的值是解题的关键．
（2）（2021春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中）已知关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．
方法或规律点拨
此题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据x的取值范围，得出x的整数解．解题的关键是不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
巩固练习
1．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）关于的不等式组有且仅有个整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于的不等式组只有个正整数解，则整数的值不可能是( )
A．3B．4C．5D．6
3．（2023春·全国·七年级专题练习）不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·安徽亳州·七年级统考阶段练习）已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）关于x的不等式组有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a的和为( )
A．B．C．0D．7
6．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）若不等式，有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）若关于x的不等式组共有2个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知关于的不等式组恰有二个整数解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的所有整数解的和是，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
10．（2023春·安徽宿州·八年级统考期中）一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是______．
11．（2023春·安徽马鞍山·七年级马鞍山八中校考期中）若关于的不等式组只有4个整数解，则的取值范围是___________．
12．（2023春·全国·八年级期中）若关于x的一元一次不等式组的解集为，则的取值范围是_____．
13．（2023春·全国·八年级专题练习）若不等式组的解集为，则__________．
14．（2023春·八年级单元测试）若关于x的不等式组有且仅有一个整数解，则实数a的取值范围是______．
15．（2023·河南驻马店·一模）已知：不等式组的解集是，则______．
16．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）已知不等式组，的解集为，则___________．
17．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）已知关于的不等式组
(1)若该不等式组的解集为，求的值；
(2)若该不等式组只有5个整数解，求整数的值．
18．（2023·全国·九年级专题练习）若不等式组有解，求实数a的取值范围．
19．（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）已知是不等式组的解，求的取值范围．
考点4：一元一次不等式组的应用
典例：（2023·广西贵港·统考一模）某高科技公式根据市场需求，计划生产A、B两种型号的医疗器械，其部分信息如下：
信息一：A、B两种型号的医疗器械共生产80台；
信息二：生产这两种医疗器械的资金超过1800万元，但不足1810万元；
信息三：A，B两种医疗器械的生产成本和售价如下表：
根据上述信息，解答下列问题：
(1)这两种型号的医疗器械各生产多少台？
(2)在实际销售时，每台A型医疗器械的售价提高了，每台B型医疗器械的售价不变，全部销售这两种医疗器械共获得利润595万元，求m的值．（利润售价成本）
方法或规律点拨
本题考查了一元一次不等式组及方程的应用，考查学生解决实际问题的能力，解决本题的关键是找到不等关系并列出不等式．
巩固练习
1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考阶段练习）三月植树节期间，某园林公司购买了甲、乙、丙三种树苗进行园林绿化，恰好用去了1500元，已知甲、乙、丙三种树苗的价格分别为50元/棵、30元/棵、10元/棵．该公司要求购买的每种树苗的数量都是10的整数倍且三种树苗都要买，若甲种树苗最多买20棵，则该公司的购买方案共有（ ）
A．3种B．4种C．5种D．6种
2．（2023春·全国·七年级专题练习）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·全国·八年级期中）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人能分到笔记本但数量不足4本，则共有学生（ ）人．
A．4人B．5人C．6人D．5人或6人
4．（2023春·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）某工厂生产I号、II号两种产品，并将产品按照不同重量进行包装，已知包装产品款式有三种：A款，B款，C款，且三款包装的重量及所含I号、II号产品的重量如下表：
现用一辆最大载重量为28吨的货车一次运送5个包装产品，且每种款式至少有1个．
（1）若恰好装运28吨包装产品，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为______；
（2）若装运的I号产品不超过13吨．同时装运的II号产品最多，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为___．（写出一种即可）
5．（2023春·重庆合川·九年级重庆市合川中学校考阶段练习）若一个四位正整数的千位上的数的倍与百位上的数的倍之和刚好等于十位与个位组成的两位数，则称这个数为“奇巧数”，若一个“奇巧数”的千位为，百位为，十位为，个位为，，，且、、、为正整数)，与的和能被整除，求符合条件的“奇巧数最大值为___________．
6．（2021春·四川绵阳·七年级校考期中）已知关于的方程组，其中，以下结论：①当时，方程组的解与互为相反数；②是方程组的解；③时，方程组的解也是的解；④若．正确的结论有___________________（填序号）
7．（2023春·全国·七年级专题练习）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．
(1)做2个竖式纸盒和1个横式纸盒，需要正方形纸板 张，长方形纸板 张．
(2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
(3)该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板152张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）为了丰富学生的课外活动，学校决定购进5副羽毛球拍和m只羽毛球，已知一副羽毛球拍的价格是一只羽毛球的价格的15倍，用50元可以买一副羽毛球拍和10只羽毛球：
(1)一副羽毛球拍和一只羽毛球的价格各是多少元？
(2)甲乙两商店举行促销活动，甲商店给出的优惠是：所有商品打八折：乙商店的优惠是：买一副羽毛球拍送n只羽毛球，通过调查发现，如果只到一个商店购买5副羽毛球拍和26只羽毛球时，到甲商店更划算：若只购买一副羽毛球拍和n只羽毛球，则乙商店更划算．求n的值．
(3)在（2）的条件下，当时，学校如何购买羽毛球拍和羽毛球最划算，请说明理由．
9．（2023·山东东营·统考一模）党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，东营市政府欲购进一批风景树进行绿化，已知购进A种风景树4万棵，B种风景树3万棵，共需要380万元；购进A种风景树8万棵，B种风景树5万棵，共需要700万元．
(1)问A，B两种风景树每棵的进价分别是多少元？
(2)东营市政府计划用不超过5460万元购进A，B两种风景树共100万棵，其中要求A风景树的数量不多于58万棵，则共有几种购买方案？
10．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期中）水是生命的源泉，是人类赖以生存和发展的不可缺少的重要的物质资源之一，为更好地治理水质，保护环境，市污水处理办公室预购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中价格及污水处理量如下表：
(1)市污水处理办公室为了节约开支，计划购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为有几种购买方案？
(2)在（1）的情况下，若每月污水处理量要求不低于2040吨，为节约资金，请你帮市污水处理办公室选取一种最省钱的方案．
11．（2023·湖北恩施·统考一模）我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？
12．（2023·湖北黄冈·校考一模）某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．
(1)A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元?
(2)该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
13．（2023春·安徽合肥·七年级合肥38中校考期中）“新冠疫情”对全球经济造成了严重冲击，英雄的武汉人民为抗击“疫情”付出了巨大的努力并取得了伟大的胜利．为了加快复工复产，武汉市某企业需要运输一批生产物资．根据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱生产物资；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱生产物资．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱生产物资？
(2)现计划用这样的两种货车共12辆运输这批生产物资，已知每辆大货车一次需要运输费用5000元，每辆小货车一次需要运输费用3000元．若运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需费用最少，最少费用是多少元？
14．（2023春·全国·七年级专题练习）某初三某班计划购买定制钢笔和纪念卡册两种毕业纪念礼物，已知购买支定制钢笔和本纪念卡册共需元，购买支定制钢笔和本纪念卡册共需元．
(1)求每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为多少元？
(2)该班计划购买定制钢笔和纪念卡册共件，总费用不超过元，且纪念卡册本数小于定制钢笔数量的倍，那么有几种购买方案，请写出设计方案？
15．（2023春·浙江温州·七年级校考期中）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．
(1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板 张，长方形纸板 张．
(2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？
(3)该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且．试求在这一天加工两种纸盒时，a的所有可能值 ．(直接写出答案)
考点5：方程组（组）与不等式组的综合问题
典例：（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：
问题：已知，且，，试确定的取值范围
解：，
，
又，
，
，
又，
①，
，
即②，
①②得：，
的取值范围是．
请按照上述方法，完成下列问题：
(1)已知，且，，
①试确定的取值范围；
②试确定的取值范围；
(2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请直接写出、的值．
方法或规律点拨
本题考查了一元一次不等式组的运用、一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的解法，并能进行推理论证．
巩固练习
1．（2023·山东滨州·模拟预测）关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
2．（2023春·七年级单元测试）若整数 a 使关于 x 的方程的解为非负数，且使关于 y 的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ）
A．20B．21C．27D．28
3．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市庐阳中学校考期中）已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·浙江舟山·校联考一模）已知关于，的二元一次方程组，有下列说法：①当时，方程的两根互为相反数；②不存在自然数，使得，均为正整数；③，满足关系式；④当且仅当时，解得为的倍．其中正确的是( )
A．①②③④B．①③④C．②③D．①②④
5．（2023春·七年级课时练习）已知关于x，y的方程组，给出下列结论，其中错误的个数是（ ）
①当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解
②当a＝﹣2时，x、y的值互为相反数；
③不论a取什么数，2x+7y的值始终不变；
④若x≤1，则y≥；
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2023春·七年级单元测试）对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）b，已知T（1，－1）＝－2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是_____．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y＜2，求整数a的最大值．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）解二元一次方程组；
（2）已知（1）中的解满足，求正整数a的值．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）已知方程组中x为非正数，y为负数．
(1)求a的取值范围；
(2)当a为何整数时，不等式的解集为．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于的方程组的解都为非负数．
(1)用含有字母的代数式表示和；
(2)求的取值范围；
(3)已知，求的取值范围．
11．（2022春·天津滨海新·七年级校考期末）若点的坐标满足方程组．
(1)求点的坐标（用含的式子表示，）；
(2)若点在第二象限，求的取值范围；
(3)若点在第一象限，且，则满足条件的整数有几个？
12．（2023春·七年级课时练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式组．
(1)试求出m的取值范围；
(2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2x﹣mx＜2﹣m的解集为x＞1．
13．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）关于x，y的方程组的解满足x为非正数，y为正数．
(1)求a的取值范围；
(2)已知不等式的解集为，请求出所有满足条件的整数a的值．
能力提升
一、单选题（每题3分）
1．（2022·重庆璧山·统考一模）不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·九年级专题练习）
如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．该电梯乘载的重量超过480公斤时警示音响起．已知小丽为45公斤、小欧为65公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列哪一个不等式表示（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形.已知三条线段的长分别是，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ）
A．10B．8C．7D．4
4．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本；如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
5．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）方程组的解满足，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）对于三个数、、的最小的数可以给出符号来表示，我们规定，，表示、、这三个数中最小的数，例如：，，，，，．若，2，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分）
7．（2022春·上海闵行·六年级校考期末）不等式组的自然数解是______．
8．（2022·宁夏银川·校考一模）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围___________
9．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）如图，，现用若干根等长的小棒从点A开始向右依次摆放，使小棒的两端恰好分别落在射线、上，其中为第1根小棒，且． 若恰好能摆放4根小棒，则θ 的取值范围是_________．
10．（2022秋·八年级单元测试）已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的个数为________．
11．（2023·全国·九年级专题练习）为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆，则符合要求的搭配方案有____种．
12．（2022春·四川成都·八年级校考期末）若关于的不等式有且只有四个整数解，且一次函数的图象不经过第三象限，则符合题意的整数的值为______．
三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）
13．（2022秋·浙江·八年级期末）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
14．（2022秋·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，甲长方形的两边长分别为；乙长方形的两边长分别为．（其中m为正整数）
(1)图中的甲长方形的面积，乙长方形的面积，比较： （填“”、“”或“”）；
(2)现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积的差（即）是一个常数，求出这个常数；
(3)在（1）的条件下，若某个图形的面积介于、之间（不包括、）并且面积为整数，这样的整数值有且只有16个，求m的值．
15．（2021秋·浙江温州·七年级统考期末）某工厂一共有16名工人，每人每天可以生产3个桌面或20个桌腿，已知1个桌面配4个桌腿．
(1)如何分配生产桌面和桌腿的工人，才能使每天生产出来的桌面和桌腿刚好配套？
(2)由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，且从原有16名工人中提拔一名老工人负责招聘及管理新工人．已知新工人每人每天可以生产1个桌面或12个桌腿，工厂决定派一部分老工人带领一部分新工人一起生产桌面，其余工人全部生产桌腿．
①若工厂安排所有剩余老工人按的人数比例分别生产桌面和桌腿，新工人按的人数比例分别生产桌面和桌腿，则需招聘多少名新工人就能使每天生产出来的桌面和桌腿刚好配套？
②若生产桌面的新工人人数是生产桌面的老工人人数的，设招聘了m名新工人，为了使每天生产出来的桌面和桌腿刚好配套，请直接写出m的值．
型号
A
B
成本（万元/台）
20
25
售价（万元/台）
24
30
包装款式
包装的重量（吨）
含I号新产品的重量（吨）
含II号产品的重量（吨）
A款
6
3
3
B款
5
3
2
C款
5
2
3
A型
B型
价格（万元）
12
10
处理污水量（吨／月）
240
200