福建省福州第八中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

这是一份福建省福州第八中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）复数z＝（7+i）i3在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S3＝a4﹣2，S2＝a3﹣2，则公比q＝（ ）
A．2B．﹣2C．D．
3．（5分）已知，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）“﹣12≤a≤0”是“直线l：x+2y+a＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）某企业举办职工运动会，有篮球、足球、羽毛球、乒乓球4个项目．现有A，B两个场地承担这4个项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（ ）
A．10种B．12种C．14种D．20种
6．（5分）已知a＞0，b＞2，且2a+b＝ab+1，则a+2b的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数f（x）的图象，若f（x）在上只有一个极大值点，则ω的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（5分）已知P是椭圆上一点， 是C的两个焦点，，点Q在∠F1PF2的平分线上，O为原点，OQ∥PF1，且|OQ|＝2b，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列说法中正确的有（ ）
A．若随机变量x，y满足经验回归方程，则x，y的取值呈现正相关
B．若随机变量X～N（3，σ），且P（X＞6）＝0.15，则P（X＜0）＝0.15
C．若事件A，B相互独立，则P（A|B）＝P（A）
D．若5件产品中有2件次品，采取无放回的方式随机抽取3件，则抽取的3件产品中次品数为1的概率是
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝2x3﹣3x2，则（ ）
A．x＝0是f（x）的极大值点
B．f（x）的图象关于点对称
C．g（x）＝f（x）+1有2个零点
D．当0＜x＜1时，f（x2﹣1）＞f（x﹣1）
（多选）11．（6分）已知曲线C：4x|x|＝y|y|﹣4．点，则以下说法正确的是（ ）
A．曲线C关于原点对称
B．曲线C存在点P，使得|PF1|﹣|PF2|＝4
C．直线y＝2x与曲线C没有交点
D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向y＝±2x作垂线，垂足分别为A，B，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）在的展开式中，x3项的系数是 ．
13．（5分）已知，则 ．
14．（5分）已知△ABC为等边三角形，PA⊥底面ABC，三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4π，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在三角形ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知．
（1）求角A的大小；
（2）若c＝2b，三角形ABC的面积为，求三角形ABC的周长．
16．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面ABB1A1是正方形，平面ABB1A1⊥平面ABCD，AB∥CD，，M为线段AB的中点，AD⊥B1M．
（Ⅰ）求证：C1M∥平面ADD1A1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面MB1C1所成角的正弦值．
17．（15分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A是E上第一象限内的动点．当直线AF的倾斜角为时，|AF|＝4．
（1）求E的方程；
（2）已知点D（2，2），B，C是E上不同两点．若四边形ABCD是平行四边形，证明：直线AC过定点．
18．（17分）设函数f（x）＝xlnx﹣a（x2﹣1）．
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线方程为x+y﹣1＝0，求a的值；
（2）当x＞1时f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：．
19．（17分）在n个数码1，2，…，n（n∈N，n≥2）构成的一个排列j1j2⋯jn中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为τ（j1j2⋯jn），例如，τ（12）＝0，τ（4132）＝4．
（1）比较τ（613245）与τ（15432）的大小；
（2）设数列{an}满足，a1＝2，求{an}的通项公式；
（3）设排列满足，，证明：．
2024-2025学年福建省福州八中高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【答案】D
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：z＝（7+i）i3＝（7+i）（﹣i）＝1﹣7i，其在复平面内对应的点（1，﹣7）位于第四象限．
故选：D．
2．【答案】A
【分析】根据题意，分析可得（S3﹣S2）＝a4﹣a3，变形即可得答案．
【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，S3＝a4﹣2，S2＝a3﹣2，
两式相减可得：（S3﹣S2）＝a4﹣a3，即a3＝a4﹣a3，
变形可得：a4＝2a3，变形可得q＝2．
故选：A．
3．【答案】A
【分析】先计算出向量的数量积，计算出，从而得出结论．
【解答】解：，且与的夹角为，
，
，
故，
故选：A．
4．【答案】B
【分析】根据直线与圆的位置关系及充分、必要条件的定义判定选项即可．
【解答】解：若直线l：x+2y+a＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5有公共点，
易知圆心（1，3），半径，
则圆心到直线l的距离，
解之得﹣12≤a≤﹣2，
又{a|﹣12≤a≤﹣2}⫋{a|﹣12≤a≤0}，
所以“﹣12≤a≤0”是“直线l：x+2y+a＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2＝5有公共点”的必要不充分条件．
故选：B．
5．【答案】C
【分析】分一个场地承办一个项目，另一个场地承办三个项目与每个场地都承办两个项目两种情况讨论，按照先分组，再分配的方法计算可得．
【解答】解：若一个场地承办一个项目，另一个场地承办三个项目，则有种安排；
若每个场地都承办两个项目，则有种安排；
综上可得一共有8+6＝14种不同的安排方法．
故选：C．
6．【答案】A
【分析】由2a+b＝ab+1可得，后由基本不等式可得答案．
【解答】解：因2a+b＝ab+1，则，
则．
当且仅当，即时取等号．
故选：A．
7．【答案】B
【分析】根据伸缩变换规则可得，再由余弦函数图象性质以及极值点个数解不等式可得结果．
【解答】解：将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的2倍，得到函数，
当时，，
若f（x）在上只有一个极大值点，
则由y＝2csx的图像可得，
解得，
因为ω∈N*，所以ω的最大值为3．
故选：B．
8．【答案】C
【分析】设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由题意得出△QAP是等腰直角三角形，列方程组得到含a，c的齐次方程即可求解离心率．
【解答】解：如图，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，延长OQ交PF2于A，
由题意知OQ∥PF1，O为F1F2的中点，故A为PF2中点，
又，即PF1⊥PF2，
则，
又点Q在的平分线上，则，
故△QAP是等腰直角三角形，因此，
则，
所以m﹣n＝4b，又m+n＝2a，
所以，
又在Rt△PF1F2中，，即m2+n2＝4c2，
即（a+2b）2+（a﹣2b）2＝4c2，
化简得：a2+4b2＝2c2，又b2＝a2﹣c2，
所以5a2＝6c2，所以，
即．
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．【答案】BCD
【分析】根据回归方程即可判断A；根据正态分布的对称性即可判断B；根据相互独立事件的概率公式及条件概率公式即可判断C；根据古典概型的概率公式即可判断D．
【解答】解：对于A，因为随机变量x，y满足经验回归方程，
所以x，y的取值呈现负相关，故A错误；
对于B，因为随机变量X～N（3，σ），且P（X＞6）＝0.15，
所以P（X＜0）＝P（x＞6）＝0.15，故B正确；
对于C，若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B），所以，故C正确；
对于D，由题意抽取的3件产品中次品数为1的概率，故D正确．
故选：BCD．
（多选）10． 【答案】ABC
【分析】利用导数求函数极值点判断选项A；
通过证明f（x）+f（1﹣x）＝﹣1得函数图象的对称点判断选项B；
利用函数单调性和零点存在定理判断选项C；
利用单调性比较函数值的大小判断选项D．
【解答】解：对于A，函数f（x）＝2x3﹣3x2，f'（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝1，
故当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
则f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
故0是f（x）的极大值点，故A正确；
对于B，因为f（x）+f（1﹣x）＝2x3﹣3x2+2（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2＝2x3﹣3x2+2﹣6x+6x2﹣2x3﹣3+6x﹣3x2＝﹣1，
所以f（x）的图象关于点对称，故B正确；
对于C，g（x）＝f（x）+1＝2x3﹣3x2+1，易知g（x），f（x）的单调性一致，而g（1）＝0，
故g（x）＝f（x）+1有2个零点，故C正确；
对于D，当0＜x＜1时，﹣1＜x2﹣1＜x﹣1＜0，而f（x）在（﹣1，0）上单调递增，
故f（x2﹣1）＜f（x﹣1），故D错误．
故选：ABC．
11．【答案】CD
【分析】分x，y的零的大小讨论，得到曲线方程，并画出图形，由对称性可得A错误；由双曲线的定义可得B错误；由渐近线方程可得C正确；由点到直线的距离公式可得D正确；
【解答】解：当x≥0，y＞0时，曲线C：4x2＝y2﹣4，即；
x≤0，y≥0时，曲线C：﹣4x2＝y2﹣4，即；
当x≥0，y＜0时，曲线C：4x2＝﹣y2﹣4，即；不存在；
x＜0，y≤0时，曲线C：﹣4x2＝﹣y2﹣4，即；
画出图形如下：
对于A，由图可得曲线C不关于原点对称，故A错误；
对于B，当x≥0，y＞0时，方程是以F1，F2为上、下焦点的双曲线，
曲线C存在点P，使得|PF2|﹣|PF1|＝4，故B错误；
对于C，一三象限曲线的渐近线方程为y＝2x，所以直线y＝2x与曲线C没有交点，故C正确；
对于D，设Q（x0，y0），设点A在直线y＝2x上，点B在直线y＝﹣2x，
则由点到直线的距离公式可得：
，
所以，
又点Q是曲线C上在第三象限内的一点，
代入曲线方程可得，故D正确．
故选：CD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 【答案】﹣160．
【分析】直接根据二项式的展开式的通项公式求解即可．
【解答】解：展开式的通项公式为，
令12﹣3r＝3，得r＝3，所以含x3项的系数为．
故答案为：﹣160．
13．【答案】．
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式计算即得．
【解答】解：由题意可知，
．
故答案为：
14． 【答案】．
【分析】由已知求得外接球的半径，设等边三角形ABC的外接圆的半径为r，把三棱锥P﹣ABC体积用含有r的函数表示，利用导数求最值．
【解答】解：设三棱锥P﹣ABC外接球的半径为R，由4πR2＝4π，得R＝1，
设等边三角形ABC的外接圆的半径为r，，即，
∵r＜R，∴0＜r＜1，
则，
，
．
令y＝r4﹣r6，则y′＝2r3（2﹣3r2），
∵0＜r＜1，令y′＝0，可得，
当时，y′＞0，当时，y′＜0，
∴当时，，
∴三棱锥P﹣ABC体积的最大值是．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出A；
（2）由三角形的面积公式可得bc＝4，结合c＝2b及余弦定理即可求出a，即可得出结果．
【解答】解：（1）由正弦定理得asinB＝bsinA，所以，
所以，整理得，
因为A∈（0，π），所以sinA＞0，因此csA＞0，所以，
所以；
（2）由△ABC的面积为，得，解得，
又c＝2b，则，
由余弦定理得，解得a＝2，，
所以△ABC的周长为．
16．【答案】（Ⅰ）证明过程见解答；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理可证得AD，AA1，AB两两互相垂直，建立空间直角坐标系，求出直线C1M和平面ADD1A1的法向量，由线面平行的向量表示即可证得；
（Ⅱ）求出直线AC1的方向向量和平面MB1C1的法向量，由向量的夹角公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为侧面ABB1A1是正方形，所以AA1⊥AB，
因为平面ABB1A1⊥平面ABCD，平面ABB1A1∩平面ABCD＝AB，AA1⊂平面ABB1A1，
所以AA1⊥平面ABCD，
又AD⊂平面ABCD，所以AA1⊥AD，
又AD⊥B1M，AA1与B1M延长后相交，AA1，B1M⊂平面AA1B1B，
所以AD⊥平面AA1B1B，又AB⊂平面AA1B1B，所以AD⊥AB，
所以AD，AA1，AB两两互相垂直，
以A为坐标原点，AD，AA1，AB所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设AB＝2，则AD＝1，DC＝1，AA1＝2，
则A（0，0，0），B（0，0，2），M（0，0，1），D（1，0，0），D1（1，2，0），A1（0，2，0），B1（0，2，2），C1（1，2，1），
因为，平面ADD1A1的一个法向量为，
所以，即，
因为C1M⊄平面ADD1A1，所以C1M∥平面ADD1A1；
（Ⅱ）因为，
设平面MB1C1的法向量为，
则，令x＝2，则y＝﹣1，z＝2，所以，
设直线AC1与平面MB1C1所成角为θ，
所以．
17．【答案】（1）y2＝4x；
（2）证明见解析．
【分析】（1）过点A作x轴的垂线，垂足为H1，作准线的垂线，垂足为H2，由抛物线的性质结合题意可得|AH2|＝p+2＝4，求出p即可得解；
（2）设直线AC方程为x＝my+n，A（x1，y1），C（x2，y2），B（x0，y0），联立方程组，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，由四边形ABCD是平行四边形可得，y0＝y1+y2﹣2＝4m﹣2，即可得B（4m2+2n﹣2，4m﹣2），然后代入抛物线方程求出m，n的关系即可得证．
【解答】（1）解：过点A作x轴的垂线，垂足为H1，作准线的垂线，垂足为H2，如图，
由抛物线定义，得|AH2|＝|AF|＝4，
因为直线AF的倾斜角为，则|FH1|＝2，
所以|AH2|＝p+2，即p+2＝4，所以p＝2，
故E的方程为y2＝4x；
（2）证明：设直线AC方程为x＝my+n，A（x1，y1），C（x2，y2），B（x0，y0），
联立方程组，消去x整理得y2﹣4my﹣4n＝0，则Δ＝16m2+16n＞0，故m2+n＞0，
所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，
因为四边形ABCD是平行四边形，，
y0＝y1+y2﹣2＝4m﹣2，即B（4m2+2n﹣2，4m﹣2），
代入y2＝4x中，得（4m﹣2）2＝4（4m2+2n﹣2），
即，满足m2+n＞0，
所以直线AC方程为，即，
所以直线AC过定点．
18．【答案】（1）a＝1；
（2）；
（3）证明见解析．
【分析】（1）利用导数的几何意义求解；
（2）求出导函数f'（x）（x＞1），并设u（x）＝f'（x）（x＞1），求得，由于，因此根据2a≤0、2a≥1以及0＜2a＜1分类讨论f（x）＜0（x＞1）是否恒成立，从而得参数范围；
（3）由（2）不等式变形得，再用代x后变形及放缩得，然后令x＝2，3，…，n后相加可证．
【解答】解：（1）f'（x）＝lnx+1﹣2ax，
由题意曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线方程为x+y﹣1＝0，
则f'（1）＝1﹣2a＝﹣1，解得a＝1；
（2）f（x）＝xlnx﹣a（x2﹣1），x＞1，
f′（x）＝lnx+1﹣2ax，
令u（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞1），
则，
当2a≤0，即a≤0时，u'（x）＞0，u（x）即f′（x）是（1，+∞）上的增函数，
因此f′（x）＞f′（1）＝﹣2a＞0，
f（x）是增函数，
所以f（x）＞f（1）＝0，不合题意，舍去；
当2a≥1，即时，u'（x）＜0，u（x）即f'（x）是（1，+∞）上的减函数，
所以f'（x）＜f'（1）＝1﹣2a≤0，
所以f（x）是（1，+∞）上的减函数，
从而f（x）＜f（1）＝0恒成立；
当0＜2a＜1，即时，，
当时，u'（x）＞0，u（x）在单调递增，
时，u'（x）＜0，u（x）在单调递减，
又u（1）＝1﹣2a＞0，
所以时，u（x）＞0恒成立，
即f′（x）＞0恒成立，
此时f（x）在上单调递增，
因此f（x）＞f（1）＝0，与题意不合，舍去；
综上，
所以实数a的取值范围为；
（3）证明：由（2）知，当x＞1时，，
即，
从而，
所以，
又，
所以，
此不等式中分别令x＝2，3，…，n，
得，
将这n﹣1个不等式相加得．
19．【答案】（1）τ（613245）＝τ（15432）；
（2）；
（3）证明见解析．
【分析】（1）根据逆序的定义计算即可；
（2）由已知可得，利用等差数列的定义可求{an}的通项公式；
（3）利用定义求得，进而可求得bn，cn，构造函数，求导计算可证结论成立．
【解答】解：（1）在排列613245中，与6构成逆序的有5个，与3构成逆序的有1个，
与1，2，4，5构成逆序的均有0个，所以τ（613245）＝5+1＝6；
在排列15432中，与5构成逆序的有3个，与4构成逆序的有2个，与3构成逆序的有1个，与1，2构成逆序的均有0个，
所以τ（15432）＝3+2+1＝6．
故τ（613245）＝τ（15432）．
（2）由（1）知nan+1﹣2（n+1）an＝6n（n+1）•2n+1，
所以，
因为a1＝2，所以，
故数列是首项为1，公差为6的等差数列，
所以；
（3）因为，
所以在排列中，前面的10个数依次为2n，2n﹣1，2n﹣2，…，2n﹣9，排在后面的10个数依次为10，9，8，…，1，
所以，
因为1+2+…+10＝55，9+8+…+1+0＝45，
所以，
则，
设，
则，
当32≤x＜64时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞64时，f′（x）＞0，函数单调递增，
故x＝64时，函数取得最小值f（x）min＝f（64）＝124﹣24ln2，
所以，当x＝64时，等号成立．
取x＝2n（n≥5），则，
即，n≥5，
所以，
即
＝．