2024-2025学年北京市西城区回民学校高一上学期期中考试数学试题（含答案）

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这是一份2024-2025学年北京市西城区回民学校高一上学期期中考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∃x∈N,5xA. ∀x∈N,5xx3+1
C. ∀x∈N,5x≥x3+1D. ∀x∉N,5x≥x3+1
2.若a>b，则下列正确的是( )
A. b−cb2C. ac2>bc2D. 1a<1b
3.下列函数中，与y=x−1是同一函数的是( )
A. y=3x3−1B. y= x−12C. y=x2−1x+1D. y= x2−1
4.已知a=320.1，b=320.2，c=940.04，则a，b，c之间的大小关系为( )
A. c5.函数fx=x−9x2在下列哪个区间存在零点( )
A. 0,1B. 1,2C. 2,3D. 3,4
6.若函数fx的定义域为D，则“fx为奇函数”是“f0=0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.若函数fx=ax,x>13−5ax+2,x≤1在R上为减函数，则实数a的取值范围( )
A. 35,56B. 56,1C. 0,35D. ⌀
8.下列各式正确的是( )
A. 3−8=6(−8)2B. (3−π)2=3−π
C. nan=an>1,n∈N∗D. (na)n=an>1,n∈N∗
9.设函数f(x)=x2−6x+6,x≥03x+4,x<0，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3)，则x1+x2+x3的取值范围是( )
A. 203,263B. 203,263C. 113,6D. 113,6
10.设函数fx=1−ax,xA. − 2, 2B. 0, 2
C. − 2, 2∪2,+∞D. 0, 2∪2,+∞
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数fx=1x+2+ x−1的定义域为．
12.已知函数fx=x2−1,x≥1x−2,x<1，若fa=3，则a= ．
13.已知函数f(x)同时满足以下条件：
①定义域为R；②值域为[1,+∞)；③∀x∈R，都有f(x)=f(−x)．
试写出一个函数解析式f(x)= ．
14.方程组2x−y−3=0x2+2y2=6的解集．
15.已知符号x表示不超过x的最大整数，若函数fx=xx(x≠0)，给出下列四个结论：①当x∈0,1时，fx=0；②fx为偶函数；③fx在1,2单调递减；④若方程fx=a有且仅有3个根，则a的取值范围是34,45∪43,32.其中所有正确结论的序号是．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知全集U=R，集合A={x|xx−2≥0}，B={x|a(1)当a=−1时，求集合A∩B，A∪B，∁UA∩B；
(2)若∁UA⊆B，求实数a的取值范围．
17.(本小题12分)
求下列不等式的解集．
(1)x2−2x−1<0；
(2)1−3x≥1；
(3)1−xx≥2；
(4)ax2−x>0．
18.(本小题12分)
已知函数fx=x2−1x，
(1)判断函数fx的奇偶性？并证明；
(2)试用函数单调性的定义证明：fx在0,+∞上为增函数；
(3)若a>0，且fa2+a>f3a+15，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知二次函数fx图象过点−1,7，1,3，4,12．
(1)求函数fx的解析式；
(2)已知函数gx=fx−m−2x有两个不同的正数零点x1,x2．
(i)求m的取值范围；
(ii)若x1−x2=2，求m的值．
20.(本小题12分)
据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/ℎ)与时间t(ℎ)的函数图象如图所示，过线段OC上一点Tt,0作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(ℎ)内沙尘暴所经过的路程s(km).
(1)当t=4时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
21.(本小题12分)
已知集合A=a1,a2,⋯,an，其中n∈N∗且n≥4,ai∈N∗(i=1,2,⋯,n)，非空集合B⊆A，记T(B)为集合B中所有元素之和，并规定当B中只有一个元素b时，T(B)=b．
(1)若A={1,2,5,6,7,8},T(B)=8，写出所有可能的集合B；
(2)若A=3,4,5,9,10,11,B=b1,b2,b3，且T(B)是12的倍数，求集合B的个数；
(3)若ai∈{1,2,3,⋯,2n−1}(i=1,2,⋯,n)，证明：存在非空集合B⊆A，使得T(B)是2n的倍数．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.A
5.C
6.D
7.A
8.D
9.D
10.B
11.1,+∞
12.2
13.x2+1(答案不唯一)
14.2,1,23,−53
15.①③④
16.(1)由题意得A=−∞,0∪2,∞，∁UA=0,2，
当a=−1时，B=−1,1，
∴A∩B=−1,0,A∪B=−∞,1∪2,+∞，∁UA∩B=0,1．
(2)由(1)得，∁UA=0,2．
∵∁UA⊆B，∴a≤02a+3≥2，解得−12≤a≤0，
∴实数a的取值范围为−12,0．

17.(1)由x2−2x−1<0得(x−1)2<2，
解得− 2∴不等式的解集为x1− 2(2)由1−3x≥1得，1−3x≤−1或1−3x≥1，解得x≤0或x≥23，
∴不等式的解集为{x|x≤0或x≥23}．
(3)由1−xx≥2，1−3xx≥0，即3x−1x≤0，不等式等价于(3x−1)x≤0x≠0,
不等式的解集为x0(4)当a=0时，不等式转化为−x>0，不等式的解集为{x|x<0}．
当a≠0时，不等式转化为xax−1>0，
当a>0时，不等式可化为xx−1a>0，不等式的解集为{x|x<0或x>1a}，
当a<0时，不等式可化为xx−1a<0，不等式的解集为x1a综上得，当a=0时，不等式的解集为{x|x<0}，
当a>0时，不等式的解集为{x|x<0或x>1a}，
当a<0时，不等式的解集为x1a
18.(1)函数fx为奇函数.证明如下：
函数fx定义域−∞,0∪0,+∞，关于原点对称．
∵f−x=(−x)2−1−x=−x2−1x=−fx，∴fx为奇函数．
(2)∀x1,x2∈0,+∞，且x1fx1−fx2=x12−1x1−x22−1x2=x1−x2x1x2+1x1x2．
∵x2>x1>0，∴x1−x2<0，x1x2>0，x1x2+1>0，
∴fx1−fx2<0，即fx1∴fx在0,+∞上为增函数．
(3)∵a>0，∴a2+a>0，3a+15>0，
∵fx在0,+∞上为增函数，
∴a2+a>3a+15，解得a<−3或a>5，
∴a的取值范围为5,+∞．

19.(1)设二次函数的解析式为fx=ax2+bx+ca≠0，
由题意得，a−b+c=7a+b+c=316a+4b+c=12，解得a=1b=−2c=4,
∴函数解析式为fx=x2−2x+4．
(2)由(1)知fx=x2−2x+4，
∴gx=fx−m−2x=x2−2x+4−m−2x=x2−mx+4．
(i)∵gx有两个不同的正数零点x1,x2，
∴gx=x2−mx+4=0有两个不相等正实数根x1,x2，
∴Δ=−m2−4×1×4=m2−16>0x1+x2=m>0x1x2=4>0，解得m>4，
∴m的取值范围是4,+∞．
(ii)由(i)得，x1+x2=m,x1x2=4，
∴x1−x2= x1−x22= x1+x22−4x1x2= m2−16=2，
∴m2=20，
∵m>4，∴m=2 5．

20.解：(1)由图像可知，当t=4时，v=3×4=12，所以s=12×4×12=24km．
(2)当0≤t≤10时，s=12⋅t⋅3t=32t2；
当10当20s=12×10×30+10×30+(t−20)×30−12×(t−20)×2(t−20)=−t2+70t−550．
综上可知，s=32t2,t∈[0,10]30t−150,t∈(10,20]−t2+70t−550,t∈(20,35]．
(3)因为当t∈[0,10]时，smax=32×102=150<650，
当t∈(10,20]时，smax=30×20−150=450<650，
所以当t∈(20,35]时，令−t2+70t−550=650，
解得t1=30, t2=40．
因为20故沙尘暴发生30ℎ后将侵袭到N城．

21.(1)所有可能的集合B为：8，1,7，2,6，1,2,5．
(2)不妨设：b1所以3+4+5=12≤TB=b1+b2+b3≤30=9+10+11．
由题意，TB是12的倍数时，TB=12或TB=24．
当TB=12时，因为b1+b2+b3≥3+4+5=12，
所以当且仅当B=3,4,5时，TB=12成立，故B=3,4,5符合题意．
当TB=24时，
若b3=11，则b1+b2=13，故B=3,10,11或B=4,9,11符合题意；
若b3=10，则b1+b2=14，故B=5,9,10符合题意；
若b3=9，则b1+b2+b3≤4+5+9=18，无解．
综上，所有可能的集合B为3,4,5，3,10,11，4,9,11，5,9,10．
故满足条件的集合B的个数为4．
(3)(1)当n∉A时，设a1a1,a2,⋅⋅⋅,an,2n−a1,2n−a2,⋅⋅⋅,2n−an∈1,2,3,⋅⋅⋅,n−1,n+1,⋅⋅⋅,2n−1，
这2n个数取2n−2个值，故其中有两个数相等．
又因为a12n−a2>⋅⋅⋅>2n−an，
从而a1,a2,⋅⋅⋅,an互不相等，2n−a1,2n−a2,⋅⋅⋅,2n−an互不相等，
所以存在μ，ν∈1,2,⋅⋅⋅,n使得aμ=2n−aν．
又因aμ≠n，aν≠n故μ≠ν．
则B=aμ,aν，则TB=aμ+aν=2n，结论成立．
(2)当n∈A时，不妨设an=n，
则a1,a2,⋅⋅⋅,an−1(n≥4)，在这n−1个数中任取3个数，ai若aj−ai与ak−aj都是n的倍数，ak−ai=ak−aj+aj−ai≥2n，
这与ai,aj,ak∈0,2n−1矛盾．
则ai,aj,ak至少有2个数，它们之差不是n的倍数，不妨设a2−a1a2>a1不是n的倍数．
考虑这n个数：a1，a2，a1+a2，a1+a2+a3，⋅⋅⋅，a1+a2+⋅⋅⋅+an−1．
①若这n个数除以n的余数两两不同，则其中必有一个是n的倍数，又a1，a2<2n且均不为n，
故存在2≤r≤n−1，使得a1+a2+⋅⋅⋅+ar=pnn∈N∗．
若p为偶数，取B=a1,a2,⋅⋅⋅,ar，则TB=pn，结论成立；
若p为奇数，取B=a1,a2,⋅⋅⋅,ar,an，则TB=pn+n=p+1n，结论成立．
②若这n个数除以n的余数中有两个相同，则它们之差是n的倍数，又a2−a1，a1均不是n的倍数，
故存在2≤s若q为偶数，取B=as+1,as+2,⋅⋅⋅,at，则TB=qn，结论成立；
若q为奇数，取B=as+1,as+2,⋅⋅⋅,at,an，则TB=qn+n=q+1n，结论成立．
综上，存在非空集合B⊆A，使得TB是2n的倍数．