2024届北京市育才学校高三上学期期中测试数学试题含答案

这是一份2024届北京市育才学校高三上学期期中测试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合,则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】先解不等式得集合A，再求并集的结果.
【详解】因为，所以 ，选D.
【点睛】本题考查一元二次不等式解集以及并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
2．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.
【详解】对于A：函数定义域为，故函数不具有奇偶性，故A错误；
对于B：函数为奇函数且在定义域上单调递增，故B正确；
对于C：函数为奇函数，但是在定义域上不具有单调性，故C错误；
对于D：函数定义域为，故函数不具有奇偶性，故D错误；
故选：B
3．已知向量，.若与垂直，则（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】B
【分析】根据向量垂直的坐标表示求出，再由向量的坐标求模即可.
【详解】因为与垂直，，，
所以，解得，
所以，故.
故选：B
4．已知直线平面，表示直线，表示平面，有以下四个结论：①；②；③；④若与相交，则与相交.其中正确的结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】根据线线，线面的位置关系，线面垂直的性质，面面的位置关系及面面垂直的判定定理，逐项分析即得.
【详解】对于①，或，故①错误；
对于②，，，又，所以，故②正确；
对于③，，，故③正确；
对于④，若与相交，则与相交或平行，故④错误.
故正确的结论的个数是2.
故选：C.
5．中，“”是“”的（ ）条件
A．充分而不必要B．必要而不充分
C．充分且必要D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件及三角函数可得解.
【详解】因为时，，而时，或.
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
6．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的图象，利用“五点法”求解即可.
【详解】由图知，，
，∴，
又，
，
∴函数的解析式为．
故选：D
7．若是首项为1，公比为3的等比数列，把的每一项都减去2后，得到一个新数列，设的前项和为，对于任意的，下列结论正确的是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
【答案】C
【分析】根据题意得出，据此可得，再由分组求和求即可.
【详解】由题意，，，
所以，
，
故选：C
8．已知向量，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面共线向量的坐标表示可得，结合二倍角的正切公式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
所以，得，
所以.
故选：A.
9．在直角梯形中，已知，，，，，若为的中点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可知，由，再利用两个向量的数量积的定义，运算求解即可.
【详解】解：由题意可知，，，.
，.
，，
.
故选：D.
【点睛】本题考查两个向量的加减法法则，以及几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题.
10．“开车不喝酒，喝酒不开车”.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（ ）小时，才能开车？（精确到1小时）（参考数据：，）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式，根据对数运算求解即可.
【详解】设小时后，该驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，
则有，即，
取常用对数，可得，
即，
所以，
即至少经过5小时，血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，才能开车.
故选：C
二、填空题
11．记为等差数列的前项和.已知，，则 .
【答案】
【解析】首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案.
【详解】由题知：，解得.
所以.
故答案为：
12．已知平面向量、满足，且，，则向量与的夹角为 ．
【答案】
【分析】设平面向量与的夹角为，利用平面向量数量积的运算性质以及定义求出的值，结合的取值范围可求得的值.
【详解】设平面向量与的夹角为，则，
，，因此，.
故答案为：.
三、双空题
13．从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥，则它的体积与正方体体积的比为 ；它的表面积与正方体表面积的比为 .

【答案】 /
【分析】根据三棱锥及正方体的体积计算可得几何体体积比，计算正三棱锥表面积及正方体表面积即可得解.
【详解】设正方体棱长为1，由图知，切去的4个三棱锥体积相等，故截去的三棱锥的体积之和为，
而正方体的体积为，所以正三棱锥的体积为，
故正三棱锥与正方体体积之比为；
因为正三棱锥的每条棱长为，所以表面积为，
又正方体的表面积为，故表面积之比为.
故答案为：；
四、填空题
14．将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 .
【答案】/
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】
当时
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
15．已知函数以下结论正确的序号是 .
①在区间上是增函数
②
③若函数在上有6个零点，则6个零点的和
④若方程恰有3个实根，则
【答案】②③
【分析】根据的周期性判断区间单调性判断①，利用周期性求得即可判断②，
转化为与的交点问题，应用数形结合法及对称性求零点的和判断③，根据函数图象求得与交点个数为2或3时的临界值，即可得范围判断④.
【详解】由可知，当时以3为周期的函数，
故在上的单调性与在上的单调性相同，而当时，
对称轴方程为，故在上不单调，故①错误；
因为，，故，故②正确；
作出的函数图象如图所示：

由于在上有6个零点，故直线与在上有6个交点，
不妨设，，由图象知:，关于直线对称，，关于直线对称，，关于直线对称，∴，故③正确；
直线过定点，在同一平面直角坐标系内作出，图象，如图，

若直线经过，则，若直线与相切，
则消元可得：，令可得，解得或（舍），
若直线与在(0,3)上的图象相切，由对称性得：．
因为恰有3个实根，故直线与有3个交点，
∴或，故④错误.
故答案为：②③．
五、解答题
16．在中，.
(1)求B；
(2)若，___________.求a.
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)；
(2)①；②
【分析】（1）根据题目条件，由正弦定理得，化简即可求出.
（2）若选①，由余弦定理得：，即可解得a 的值 .
若选②，利用两角和的正弦函数公式可求得的值，由正弦定理即可解得a 的值.
【详解】（1）因为，由正弦定理得：，因为，所以，所以，即，即
，即，又，所以.
（2）若选①，则 在 中，由余弦定理得：，可得：，解得：，或（舍），可得.
若选②，，则，
由正弦定理：，可得：，解得：.
17．已知等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若等比数列，，，求的通项公式；
(3)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等差数列列出方程求出公差即可得解；
（2）根据等比数列的通项公式求出公比得解；
（3）利用分组求和及等差、等比数列的求和公式得解.
【详解】（1）由题意，，即，解得，
所以.
（2）由题意，，，即，
所以.
（3）因为，
所以
.
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形.且平面，，分别为，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若，求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连结，即可得到，从而得证；
（2）由线面垂直的性质得到，再由，即可证明平面，从而得证；
（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连结，
，分别为，的中点，，
平面，平面，
平面；
（2）因为平面，平面，所以，
又为正方形，所以，因为，平面，
所以平面，又平面，所以平面平面
（3）如图，以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，
，， ，，
，，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
平面的法向量，
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值是.
19．为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：
（Ⅰ）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查.求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；
（Ⅱ）现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析，（Ⅲ）见解析
【分析】（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为.参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，利用古典概率计算公式即可得出概率.
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.利用超几何分布列计算公式即可得出.
（Ⅲ）答案不唯一.示例：虽然概率非常小，但是也可能发生，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.
【详解】（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为.
参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，
所以
（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.
，，.
X的分布列为：
.
（Ⅲ）答案不唯一.
答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.
指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.
答案示例2：无法确定.理由如下：
指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：.
虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.
【点睛】本题考查古典概型，离散型随机变量的分布列和数学期望，以及根据概率统计做分析和决策等相关问题，属于中档题.
20．已知函数，是常数.
(1)求函数的图象在点处的切线的方程；
(2)证明函数的图象在直线的下方；
(3)讨论函数零点的个数.
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求出的方程；
（2）两函数作差构造新函数，利用导数求最值，可证结论；
（3）把函数零点的个数看作两个函数的公共点的个数，结合图象讨论可得解.
【详解】（1）因为，，
所以，，，
所以函数在点处的切线的方程为，
即.
（2）证明：令，其中；
，令得.
当时，，为增函数；当时，，为减函数；
所以有最大值，即时，，
所以函数的图象在直线的下方.
（3）令，即，
由（1）知，当时，直线与曲线相切于点，
此时只有一个零点；
作图象，直线恒过.
当时，直线与的图象有且只有一个交点，即只有一个零点；
当时，直线与的图象有两个交点，即有两个零点；
当时，直线与的图象没有交点，即无零点.
综上可知，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；
当时，有两个零点.
21．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”.如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为Sn.
（1）求P1，P2；
（2）若Pn≥2020，求n的最小值；
（3）是否存在实数a，b，c，使得数列{Sn}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，说明理由.
【答案】（1）P1＝5；P2＝9.（2）n的最小值为10.（3）存在；a，b，c满足的条件为或者
【解析】（1）因原数列有3项，经第1次拓展后增加两项，可得项数P1；经第2次拓展后增加4项，可得项数P2.
（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n次拓展后的项数为Pn，则经第n+1次拓展后增加的项数为Pn﹣1，可得Pn+1＝Pn+（Pn﹣1）＝2Pn﹣1，变形利用等比数列的通项公式即可得出.
（3）设第n次拓展后数列的各项为a，a1，a2，a3，…，am，c.可得Sn＝a+a1+a2+a3+…+am+c，因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，可得Sn+1＝a+（a+a1）+a1+（a1+a2）+a2+（a2+a3）+…+am+（am+c）+c，可得Sn+1＝3Sn﹣（a+c），变形利用等比数列的通项公式即可得出.
【详解】（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数P1＝3+2＝5；
经第2次拓展后的项数P2＝5+4＝9.
（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，
由数列经第n次拓展后的项数为Pn，则经第n+1次拓展后增加的项数为Pn﹣1，
所以Pn+1＝Pn+（Pn﹣1）＝2Pn﹣1
所以Pn+1﹣1＝2Pn﹣2＝2（Pn﹣1），
由（1）知P1﹣1＝4，
所以，
由，即2n+1≥2019，解得n≥10
所以n的最小值为10.
（3）设第n次拓展后数列的各项为a，a1，a2，a3，…，am，c
所以Sn＝a+a1+a2+a3+…+am+c
因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，
所以Sn+1＝a+（a+a1）+a1+（a1+a2）+a2+（a2+a3）+…+am+（am+c）+c
即Sn+1＝2a+3a1+3a2+…+3am+2c
所以Sn+1＝3Sn﹣（a+c），
得
由S1＝2a+3b+2c，则，
若使Sn为等比数列，则或
所以，a，b，c满足的条件为或者.
【点睛】本题考查了新定义、数列递推关系、等比数列通项公式与求和公式、转化方法，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于难题.
X
0
1
2
P