2024-2025学年北京市西城区第十三中学高三上学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市西城区第十三中学高三上学期期中考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=−1,0,1，集合B={x∈Z|x2−2x≤0}，那么A∪B等于( )
A. −1B. 0,1C. 0,1,2D. −1,0,1,2
2.设i是虚数单位，若复数z满足z3−i=10，则在复平面内复数z对应的点的坐标为( )
A. 1,3B. 3,1C. −1,−3D. −3,−1
3.已知向量a,b满足a+b=2,x,a−b=−2,1，且a2−b2=−1，则x=( )
A. −3B. 3C. −1D. 1
4.已知函数f(x)=ln(e+x)+ln(e−x)，则f(x)是( )
A. 奇函数，且在(0,e)上是增函数B. 奇函数，且在(0,e)上是减函数
C. 偶函数，且在(0,e)上是增函数D. 偶函数，且在(0,e)上是减函数
5.已知x3−ax25的展开式中的常数项为−80，则其展开式中x−5的系数为( )
A. 16B. 32C. 64D. 80
6.直线y=kx+2与圆(x−2)2+(y−3)2=4相交于M,N两点，若MN≥2 3，则k的取值范围是( )
A. −34,34B. − 3, 3C. − 33, 33D. 0,43
7.已知双曲线C的一个焦点是F10,2，渐近线为y=± 3x，则C的方程是( )
A. x2−y23=1B. x23−y2=1C. y2−x23=1D. y23−x2=1
8.已知α，β均为第一象限角，则“α0的离心率为 32，且经过点C2,1．
(1)求E的方程；
(2)过点N0,1的直线交E于点A,B(点A,B与点C不重合).设AB的中点为M，连接CM并延长交E于点D.若M恰为CD的中点，求直线AB的方程．
20.已知函数f(x)= xlnx
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求证：f(x)0，
要证明f(x)an−a1，
所以a3−a2,a4−a2,a5−a2,...,an−a1∈T，且互不相等，
所以a3−a2=a2−a1,a4−a2=a3−a1,...,an−a2=an−1−a1，
则a2−a1=a3−a2=a4−a3=−an−1，所以A为等差数列，充分性成立；
(3)由题意知：集合T=xx=aj−ai,1≤ii1,j2>i2，
则2i12j1−i1−1=2i22j2−i2−1，
若i1≠i2，不妨设i1>i2，则2i1−i22j1−i1−1=2j2−i2−1，
因为j1>i1,j2>i2，则2i1−i22j1−i1−1为偶数，2j2−i2−1为奇数，矛盾，
故i1=i2,j1=j2，
所以数列A：2，22，23，…，2n得到的aj−ai彼此相异，
所以PT=1+2+3+...+n−1=nn−12．