高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置练习题

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知识点 1 圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别是外离、外切、相交、内切、内含．外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切．
2、圆与圆的位置关系的判断
（1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d．
（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
消元，一元二次方程
知识点 2两圆的公切线
1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线．
2、两圆公切线的条数
知识点 3 圆与圆的公共弦
1、公共弦的定义：圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦．
2、公共弦所在直线的方程
圆：，
圆：，
则为两相交圆公共弦方程.
【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程；
（2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程.
1、两圆公切线方程的确定
（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程；
（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程．
2、公共弦长的求法
（1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
（2）几何法：将两圆作差得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长．
3、圆系方程及其应用技巧
具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程。
（1）过直线与圆的交点的圆系方程是：
（）
（2）以为圆心的同心圆系方程是：；
（3）与圆同心的圆系方程是；
（4）过同一定点的圆系方程是．
题型一 圆与圆的位置关系判断
【例1】（23-24高二上·四川南充·月考）圆和圆，则这两圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．内切D．外切
【答案】C
【解析】由已知两圆心坐标分别为，半径分别为1，6，
，两圆内切．故选：C．
【变式1-1】（23-24高二上·陕西西安·月考）已知，则两圆的位置关系为（ ）
A．相切B．外离C．内含D．相交
【答案】D
【解析】因为可化为，则，半径，
因为可化为，则，半径，
则，因为，
所以两圆相交.故选：D.
【变式1-2】（23-24高二上·广西河池·月考）两圆和的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
【答案】A
【解析】圆可化为：，
设圆心为，
圆可化为：，
设圆心为，
，，
故两圆外离.故选：A.
【变式1-3】（23-24高二上·河北承德·月考）已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为 ．
【答案】内含
【解析】因为圆：，圆：，
所以圆心距，
而两圆半径之差，故两个圆内含．
【变式1-4】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·月考）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是（ ）
A．内切B．相交C．外切D．相离
【答案】C
【解析】圆，所以，半径为，
圆的圆心，半径为，
到直线的距离为，
由圆的弦长公式可得： ，即，半径为，
因为，两圆半径和为，所以两个圆外切，故选：C
题型二 由圆与圆的位置关系求参数
【例2】（23-24高二上·四川成都·月考）已知两圆和相交，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由圆，设圆心且半径，
由圆，设圆心且半径，由，
所以时，两圆相交，则，故选：C.
【变式2-1】（23-24高二上·广东·月考）已知圆：和圆：内切，则 ．
【答案】8
【解析】圆：，圆心，半径为，
圆：，圆心，半径，
因为两圆内切，所以，解得（舍去负值）．
【变式2-2】（23-24高二上·江苏·月考）已知圆与圆，若圆与圆外切，则实数m的值是 ．
【答案】4
【解析】圆的圆心坐标为，半径，
圆，
可化为的圆心坐标为，半径，
由两圆相外切，可得，
即，得或（舍去），
故，故答案为：
【变式2-3】（23-24高二上·广西北海·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则由，得到，整理得到，
又点在圆上，所以与圆有交点，
又的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
所以，解得，故选：D.
【变式2-4】（23-24高二上·湖北恩施·月考）若存在，使直线与的交点在圆：上，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】直线过定点，直线过定点，
线段的中点，显然，即直线，
因此的交点在以点为圆心，为半径的圆上，除点外，
则点的轨迹方程为圆且，
又圆的圆心，半径为1，
依题意，圆与圆有公共点，则有，而，即
因此，所以实数的取值范围为.故选：A
题型三 由圆与圆的位置关系确定方程
【例3】（23-24高二上·江西九江·月考）经过点，且与圆相切于原点的圆的方程为 .
【答案】
【解析】由题意已知圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所求圆与圆切于原点，则圆心在直线上，设圆心为，
又圆过点及原点，所以圆心在直线上，即，，
所以圆方程为．
【变式3-1】（23-24高二上·广东江门·期中）已知圆，则圆O关于直线对称的圆的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设圆心关于直线的对称点为，
则，解得，
所以对称圆的圆心为，
所以对称圆的方程为即.故选：A.
【变式3-2】（22-23高二上·上海青浦·月考）与两圆，都相切，且半径为3的圆一共有（ ）个
A．9B．7C．5D．3
【答案】B
【解析】设圆圆心，半径，
圆心，半径.
由已知圆，半径.
当圆与两圆都外切时，有，即有，
可得在的垂直平分线上，即，
由，可得，有2个圆满足；
当圆与圆相外切，与圆相内切时，
有，即，解得，即有2个圆满足；
同理，当圆与圆相外切，与圆相内切时，有2个圆满足；
当圆与两圆都内切时，有，即有，
解得，即有1个圆满足.
综上所述，共有7个圆满足情况.故选：B.
【变式3-3】（23-24高二上·江苏镇江·期末）已知圆
(1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程．
【答案】(1)或；(2)或
【解析】（1）圆
化为标准方程为，
所以圆C的圆心为，半径为
①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意．
②若直线的斜率存在，设直线的方程为即
由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，
所以，即，
解得，所以直线方程为
综上，所求直线的方程为或
（2）依题意，设
又已知圆C的圆心为，半径为2，
由两圆外切，可知，
所以，解得或
所以或，
所以所求圆D的方程为或
题型四 两圆的公切线问题
【例4】（23-24高二上·江苏连云港·月考）两圆与的公切线有（ ）条
A．1B．2C．3D．0
【答案】C
【解析】的圆心为，半径为1，
的圆心为，半径为2，
则圆心距，故两圆外切，
故公切线有3条.故选：C
【变式4-1】（23-24高二上·浙江宁波·期中）在坐标平面内，与点距离为3，且与点距离为1的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【解析】到点距离为3的点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，
到点距离为1的点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，
则所求直线即为两圆的公切线，
因为，且，
可知两圆相离，有4条公切线，所以符合题意的直线有4条.故选：D.
【变式4-2】（23-24高二上·河北张家口·月考）写出同时与圆和圆都相切的一条直线方程 .
【答案】（或或，答案不唯一）
【解析】圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
，所以两圆外切，
由、相减并化简得：
，即一条公切线方程为.
直线的方程为，
设与直线平行的公切线方程为，
则，解得或，
所以.
故答案为：（或或，答案不唯一）
【变式4-3】（23-24高二上·山西朔州·期中）已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直.
(1)求的值；
(2)若直线与圆､圆分别切于两点，求的最大值.
【答案】(1)；(2)最大值为3
【解析】（1）如图，由题意可知与圆相切，与圆相切，
且，
故，
即.
（2）作于点H，连接PQ，
在中，，
其中，
故，
又，当且仅当时取等号，
故，即的最大值为3.
题型五 根据两圆的公切线条数求参数
【例5】（23-24高二上·甘肃庆阳·月考）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ．
【答案】3或
【解析】因为两圆有一条公切线，所以两圆内切．
圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
而两圆圆心距，即，解得的值为3或．
【变式5-1】（23-24高二上·安徽·期中）已知圆，圆，其中．若圆，仅有2条公切线，则a的值可能是 （给出满足条件的一个值即可）．
【答案】5（答案不唯一，填写5，6，7，8，9均可）
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
所以，
因为圆，仅有条公切线，所以圆，相交，
所以，即，所以或，
又，所以或或或或.
【变式5-2】（23-24高二下·上海·月考）已知圆与圆有3条公切线，则的最大值为 .
【答案】/
【解析】由圆，可得圆心，半径为，
圆，可得圆心，半径为，
因为有3条公切线，则两圆外切，则，
即
根据基本不等式可得，解得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.
【变式5-3】（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为圆：与：恰好有4条公切线，
所以圆与外离，所以，解得或，
即实数的取值范围是.故选：D.
题型六 相交圆的公共弦方程
【例6】（23-24高二上·湖北龙岩·月考）圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】联立，相减可得，故选:C
【变式6-1】（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）圆和的公共弦所在直线方程为 ．
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
所以圆心距，
所以两圆相交，有公共弦，
由，可得即为公共弦所在直线方程，
【变式6-2】（23-24高二上·江苏南京·期中）已知圆与圆的公共弦所在直线与轴垂直，则实数的值为（ ）
A．－4B．－2C．2D．4
【答案】D
【解析】，
两方程相减得到公共弦所在直线方程为
公共弦所在直线方程与轴垂直，，解得故选：D
【变式6-3】（23-24高二上·浙江·月考）已知圆，直线，P为上的动点，过点P作的切线，，切点分别为A，B，则直线所过的定点坐标为 .
【答案】
【解析】
设为直线上一点，则，
过点P作圆的切线，，则M，A，P，B四点共圆，
该圆以为直径，
则方程为，
整理为，
直线的方程即两圆的公共弦方程，
联立，
两圆相减，的方程即.
又，可得，
解得则直线过定点.
题型七 相交圆的公共弦长问题
【例7】（23-24高二上·安徽淮北·月考）圆和的公共弦的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，两圆作差可得相交弦为，
，即圆心，半径为，
所以圆心到的距离为，
所以公共弦的长度为.故选：B
【变式7-1】（23-24高二上·湖南常德·月考）两圆与的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】由题意可知该两圆的公共弦方程为，
易知圆的圆心为原点，半径为，
则原点到公共弦的距离，
由弦长公式可知公共弦长.故选：B
【变式7-2】（23-24高二上·福建三明·期中）若圆与圆的公共弦长为，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【解析】圆与圆两式相减，
整理得公共弦所在直线方程为，
又，圆心为，半径为2，公共弦长为，
则圆心到直线的距离
，
化简得，解得：．验证知符合题意.故选：A.
【变式7-3】（22-23高二上·河南安阳·期中）已知圆与圆交于、两点，且四边形的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由题意可知，，，，，
所以，，所以，，
设，则为的中点，
故四边形的面积为，则，
故，所以，，
，又因为，
所以，，解得，因此，.故选：C.
题型八 圆系方程的应用
【例8】（22-23高二上·重庆·月考）求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设所求圆的方程为，
则，
则圆心坐标为，代入直线，可解得.
故所求圆的方程为，即.故选：A.
【变式8-1】（23-24高二下·全国·课堂例题）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ．
【答案】
【解析】设圆的方程为：，
整理得到：，
因为圆过，代入该点得到：即，
故圆的方程为：即，
【变式8-2】（23-24高三下·江苏苏州·月考）求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程.
【答案】
【解析】设过直线和圆的交点的圆系方程，
可设为，
即，
可得圆的半径为，
故当时对应圆的半径最小，且最小半径为.
故所求圆的方程为.
【变式8-3】（23-24高二上·安徽六安·月考）已知圆，圆.
(1)证明：圆与圆相交；
(2)求两圆的公共弦长；
(3)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【解析】（1）因为圆，即，圆心，半径，
圆，即，圆心，半径，
且，可知，
所以圆与圆相交.
（2）由（1）可知：圆与圆相交，
圆与圆 的方程之差即为两圆公共弦所在的直线，
可得，即，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为，
因为圆心到直线的距离，
所以两圆的公共弦长.
（3）设所求圆的方程为，
即，
可知圆心坐标为，
因为圆心在直线上，可得，解得，
所以所求圆的方程为.
题型九 圆与圆的综合问题
【例9】（23-24高二上·广东佛山·月考）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切．
(1)求圆的方程；
(2)已知圆与圆交于、两点，过直线上（除线段部分）一点分别作两圆的切线，切点分别为点、，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）设圆心，则，可得，即圆心，
又因为圆与轴相切，则圆的半径为，
因为圆过点，则，解得，
故圆心，圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）将圆和圆的方程作差可得，即直线的方程为.
设点，则，
过直线上（除线段部分）一点分别作两圆的切线，切点分别为点、，
设切线与圆切于点，切线切圆于点，
，
，
所以，，故.
【变式9-1】（23-24高二上·江西南昌·月考）已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为．
(1)求边所在直线方程；
(2)以为圆心作一个圆，使得三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，并记该圆为圆，过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为边上的高线所在直线的方程为，
且直线的斜率为，则，故直线的方程为，即，
联立直线和直线的方程可得，解得，即点，
设点，则线段的中点为，
由题意可得，解得，
即点，则，即；
（2）因为，
，
，
则，故圆的半径为，
所以，圆的方程为，
由与圆相切，故,
又，故取最小值，四边形面积最小，
则当为点到直线的距离时，
即时，四边形面积最小，
设，有，解得，故，
由与圆相切，故、、、四点共圆，
切该圆以为直径，圆心为，即，半径为，
即该圆方程为，即，
又圆的方程为，即，
两圆方程作差得，即直线为.
【变式9-2】（23-24高二上·河北保定·期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切.
(1)求的“欧拉线”方程；
(2)若圆M与圆有公共点，求a的范围；
(3)若点在的“欧拉线”上，求的最小值.
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）因为，所以是等腰三角形，
由三线合一得：的外心、重心、垂心均在边的垂直平分线上，
设的欧拉线为，则过的中点，且与直线垂直，
由可得：的中点，即，所以，
故的方程为.
（2）因为与圆相切，故，
圆的圆心坐标为，半径，
则要想圆与圆有公共点，
只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，
故，所以.
（3）因为，
所以该式子是表示点到点、点的距离之和，
又，
所以上述式子表示直线上的点到点、点的距离之和的最小值.
设点关于直线的对称点为，
则有解得，即，所以，
所以直线上的点到点、点的距离之和的最小值为.
【变式9-3】（23-24高二上·河北保定·月考）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆.
(1)求圆的方程；
(2)过点向圆作切线，切点分别是，求直线的方程.
(3)若点，当在上运动时，求的最大值和最小值.
【答案】(1)；(2)；(3)最大值为，最小值为.
【解析】（1）设，由得，
即，整理得①.
（2），所以以为直径的圆的方程为，
即②，
①-②并整理得直线的方程为.
（3）依题意，满足，
，
设，
所以
，
所以最大值为，最小值为.位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
交点个数
0
1
2
1
0
d与，的关系
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
公切线条数
4条
3条
2条
1条
无公切线