初中数学北师大版（2024）九年级上册第六章 反比例函数3 反比例函数的应用巩固练习

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册第六章 反比例函数3 反比例函数的应用巩固练习，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，要围一个面积为20的矩形，若矩形的两邻边分别为、，则与的函数图象大致是（ ）.
A．B．
C．D．
2．已知反比例函数的图像经过点，则以下坐标所表示的点不在该反比例函数图像上的是（ ）
A．B．C．D．
3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ）
A．不大于B．大于C．不小于D．小于
4．已知反比例函数y＝（k为常数）与正比例函数的图象有交点，k的取值范围是（ ）
A．k＞0B．k＜0C．k＞3D．k＜3
5．将点P（3，4）向下平移1个单位长度后，落在函数的图象上，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，等腰直角三角形的顶点A在反比例函数的图象上，顶点B，C在反比例函数的图象上，且轴．若点C的坐标为，则的值为 （ ）
A．B．C．D．
7．函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在边OC上，且BD＝OC，以BD为边向下作矩形BDEF，使得点E在边OA上，反比例函数（k≠0）的图象经过边EF与AB交于点G．若OD＝，AE＝2，则k的值为（ ）
A．4B．C．D．6
9．在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象经过（a，m+2），（b，m），则代数式的值是（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣3
10．已知点（2，3）在反比例函数的图象上，则的值为 （ ）
A．-7B．7C．-5D．5
11．一次函数与反比例函数的图象有两个不同的交点，点，、、是函数图象上的三个点，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
12．如图，若一次函数与反比例函数的图象交两点，过点B作轴，垂足为C，且，则不等式的解集为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
二、填空题
13．已知双曲线与直线交于A、B两点(点A在点B的左侧)．如图所示，点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则下列结论：①；②AE=EF；③；④.其中正确的是： ．（填序号）
14．已知直线与交于A,B两点,且点A的横坐标为4,过原点O的另一条直线l交双曲线于P,Q两点(点P在第一象限),由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,则点P的坐标为 .
15．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记，点D到直线PA的距离为，则关于的函数解析式是 ．
16．双曲线y＝（n≠0）与直线y＝﹣x+3的一个交点横坐标为﹣1，则n＝ ．
17．如图，A为反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，O为坐标原点．设△AMN的面积为S，则的值为 ．

三、解答题
18．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，且．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点在这个反比例函数图象上，连接并延长交轴于点，且，求点的坐标．
19．【发现问题】
小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？
【解决问题】
小明尝试从函数图象的角度进行探究：
（1）建立函数模型
设一矩形的面积为4，周长为m ，相邻的两边长为x、y ，则． 即那么满足要求的（x，y）应该是函数 与 的图象在第_____象限内的公共点坐标．
（2）画出函数图象
①画函数 的图象；
②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则函数的图象可以看成是函数的图象向上平移_____个单位长度得到．
（3）研究函数图象
平移直线，观察两函数的图象；
①当直线平移到与函数 的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_____，周长m 的值为_____；
②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应数值m 的取值范围．
【结论运用】
（4）面积为8的矩形的周长m的取值范围为_____．
20．如图，直线与双曲线相交于点，与x轴交于点C点．

(1)求双曲线表达式；
(2)点P在x轴上，如果的面积为9，求点P的坐标．
21．如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2．
(1)请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数．
(2)求关于的函数表达式．
(3)移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值．
22．小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y（分钟）与录入文字的速度x（字/分钟）之间的函数关系图象如图所示．
(1)求y与x之间的反比例函数关系式．
(2)小明在开始录入，完成录入的时间为，求小明每分钟录入的字数．
23．在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为A(0，0)，B(6，0)，C(6，8)，D(0，8)，AC，BD交于点E．

(1)如图①，双曲线过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的表达式；
(2)如图②，双曲线与BC，CD分别交于点M，N，点C关于MN的对称点C′在y轴上．求证△CMN∽△CBD，并求点C′的坐标；
(3)如图③，将矩形ABCD向右平移m(m＞0)个单位长度，使过点E的双曲线与AD交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值．
24．如图，正方形ABCO的顶点A，C分别在x轴，y轴上，O为坐标原点，点B在第二象限，边长为m，双曲线线y=（x≠0）经过BC的中点H．
（1）用m的代数式表示出k；
（2）当m=3时，过B作直线BD，分别交x轴，y轴于G、F，分别交双曲线线y=（x≠0）的两个分支于E、D，求证：GE=DF；
（3）在（2）的前提下，将直线BD绕点B旋转适当的角度在第二象限与双曲线线y=（x≠0）交于P、Q，分别过P、Q作直线AC的垂线PM、QN，垂足为M、N，试探究PQ与PM+QN的数量关系并证明．
参考答案：
1．C
【详解】：∵一个矩形的面积为20，相邻两边分别为x、y，
∴y与x的函数关系的图象大致是：故选C
2．D
【分析】本题考查反比例函数图像上的点，根据反比例函数图像上的点的横纵坐标的乘积为，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：；
∵，
故点，，均在反比例函数的图像上，不在反比例函数的图像上，
故选D．
3．C
【分析】由题意设设，把（1.6，60）代入得到k=96，推出，当P=120时，，由此即可判断．
【详解】因为气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（）的反比例函数，所以可设，由题图可知，当时，，所以，所以.为了安全起见，气球内的气压应不大于120kPa，即，所以.
故选C.
【点睛】此题考查反比例函数的应用，解题关键在于把已知点代入解析式.
4．C
【分析】先根据正比例函数的解析式判断出函数图象所经过的象限，再根据反比例函数的性质判断出的取值范围．
【详解】解：由正比例函数可知直线过一、三象限，
反比例函数为常数）与正比例函数的图象有交点，
反比例函数为常数）位于一、三象限，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
5．C
【分析】首先求出P点平移后得到的点的坐标为（3，3），再利用待定系数法把点代入反比例函数关系式，即可求得k的值．
【详解】解：点P(3，4)向下平移1个单位长度后得到点(3，3)，
把(3，3)代入函数中，得k＝9，
故选C．
【点睛】此题主要考查了求反比例函数解析式，根据平移方式求点的坐标，正确求出P点平移后的点的坐标是解题的关键．
6．B
【分析】如图，过点C作于点D，由等腰直角三角形的性质可知，轴．由点在反比例函数的图象上，可得．设，得点B的坐标为，代入可得，求得，即可点A的坐标为，将其代入，即可求得．
【详解】解：如图，过点C作于点D，
∵是等腰直角三角形，即：，
则轴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴．
设，
∴点B的坐标为，
∴，解得（不合题意，舍去），，
∴点A的坐标为，将其代入，
即：，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查求反比例函数解析式及等腰直角三角形的性质，添加辅助线，利用等腰三角形的性质表示出点B的坐标是解决问题的关键．
7．A
【分析】根据一次函数解析式可得与轴交点在正半轴，进而排除B，C选项，继而结合图象判断一次函数与反比例函数的符号，即可求解．
【详解】解：∵，令，则，
∴与轴交点在正半轴，故B，C选项错误，
A选项中，一次函数，反比例函数比例系数，故A选项正确，
D选项中，一次函数，反比例函数比例系数，故D选项正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例数图象综合运用，掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．
8．C
【分析】连接DF，BE，由“HL”可证Rt△BDE≌Rt△BAE，可得AE＝DE＝2，由勾股定理可求EG，通过证明△DEO∽△EGA，可得 ，可求AG的长，即可求点G坐标，代入解析式可求k的值．
【详解】解：如图，连接DF，BE，
∵四边形OABC是矩形，四边形BDEF是矩形，
∴OC＝AB，BE＝DF，∠BAO＝∠BDE＝∠DEF＝90°，
∵BD＝OC，
∴BD＝AB，
在Rt△BDE和Rt△BAE中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BAE（HL），
∴AE＝DE＝2，
∴OE= ，
∵∠DEO+∠AEG＝90°，∠EDO+∠DEO＝90°，
∴∠AEG＝∠EDO，
又∵∠EOD＝∠EAG＝90°，
∴△DEO∽△EGA，
∴，
∴，
∴AG＝ ，
∵OA＝OE+AE＝+2＝，
∴点G（，），
∵反比例函数（k≠0）的图象经过点G，
∴k＝×＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，求出点G的坐标是本题的关键．
9．A
【分析】根据题意得到，从而得到，进一步得到a﹣b＝﹣2ab，代入变形后的代数式即可求得．
【详解】解：∵反比例函数y＝的图象经过两点
∴
∴，
∴＝2，
∴a﹣b＝﹣2ab，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．
10．D
【详解】试题分析：∵反比例函数的图象经过点（2，3），
∴，
解得 k=5．
故选D.
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
11．D
【分析】根据一次函数与反比例函数有两个不同的交点，确定出的取值范围，再根据反比例函数的性质求解即可；
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的交点问题，根据一元二次方程根的情况求参数，解题的关键是正确确定出的取值范围．
【详解】解：一次函数与反比例函数的图象有两个不同的交点，即：有两个不同的解，
∴，，，
∴，
∴函数图象在二、四象限，
则在每个象限内，随的增大而增大，
∵，
∴，
∵当时，，
∴，
故选：D．
12．D
【分析】根据题意可得，再由图象可得不等式的解集为或，根据，可得长为2，底边上的高为，然后由，可得，根据反比例函数的特征可得，可求出，即可求解．
【详解】解：由题知，，即为，
由图象可知，不等式的解集为或，
∵，
∴长为2，底边上的高为，
∴三角形的面积为，
∴，
∵点的图象在反比例函数的图象上，
∴，即，
∵，
∴，
∴不等式的解集为或．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数与不等式解集的关系，求出，利用数形结合的思想是解题的关键．
13．①③④
【分析】连接OC，联立双曲线与直线，可得，，可求得，根据双曲线与直线都关于点成中心对称，有，故①正确；根据，可得EOFC四点共圆，易证得，故③正确；过E点作交AB于点M，利用反证法假设成立，利用AAS可证，则有，根据，可得假设不成立，故②不正确；
过点作，交轴于点，连接，利用AAS可证，容易得出，，可得，故④正确；
【详解】解：如图1所示，连接OC，
联立，
解得：，．
点在点的左侧，
，．
∴
双曲线与直线都关于点成中心对称，
它们的交点也关于点成中心对称，即，即O是AB的中点，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴EOFC四点共圆，则有
∵，
∴
∴，故③正确；
如图2示，过E点作交AB于点M，
假设成立，
则在和中，
，
，
，
∵在中斜边大于直角边，即，与已知矛盾，
∴假设不成立，
∴，故②不正确；
过点作，交轴于点，连接，如图3．
则有，．
在和中，
，
，
，．
，
．
，
，
，
，故④正确；
综上所述，正确的是：①③④，
故答案是：①③④．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质、反证法等知识，熟悉相关性质和证明方法是解决本题的关键．
14．或（8，1）
【分析】作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AH⊥x轴于H，设P点坐标为（a，b），先确定A点坐标为（4，2），再利用A点坐标确定反比例函数解析式为y=，根据反比例函数的性质可得到四边形APBQ为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到S△OPA=S平行四边形APBQ=6，由于S矩形ONPM+S梯形AHNP=S△OPM+S△OPA+S△OAH，化简反比例函数的比例系数的几何意义和梯形的面积公式有8+（2+b）（4-a）=4+6+4，再把b=代入得（2+）（4-a）=12，解得a1=2，a2=-8（舍去），当a=2，b==4，所以P点坐标为（2，4）．
【详解】作PM⊥y轴于M,PN⊥x轴于N,AH⊥x轴于H,如图,
设P点坐标为(a,b)
把x=4代入y=x得y=2,则A点坐标为(4,2)，
把A(4,2)代入y=得k=4×2=8，
所以反比例函数解析式为y=，
∵点A与点B关于原点对称，点P与点Q关于原点对称，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴四边形APBQ为平行四边形，
∴S△OPA=S平行四边形APBQ=×24=6，
∵S矩形ONPM+S梯形AHNP=S△OPM+S△OPA+S△OAH，
∴8+(2+b)(4−a)=4+6+4，
∵b=，
∴(2+)(4−a)=12，
整理得a2+6a−16=0,解得a1=2,a2=−8(舍去)，
当a=2,b==4，
∴P点坐标为(2,4).
同理,当四边形BQPA是平行四边形时,点P的坐标是(8,1).
故答案为(2,4)或(8,1).
【点睛】本题综合考查了反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称；反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，以及点到直线的距离公式等知识点．
15．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE＝∠APB，再根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABP和△DEA相似，根据相似三角形对应边成比例可得 ，然后整理即可得到y与x的关系式．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ADBC，
∴∠DAE＝∠APB，
∵∠B＝∠AED＝90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴，
∴，
∴ ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，主要利用了相似三角形的判定与性质，勾股定理，求出相似三角形并根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
16．﹣4
【分析】先将x1代入yx3，得y=4，再将交点坐标代入反比例函数解析式求解．
【详解】解：把x = 1代入y=x + 3，得y= 4，
∴交点坐标为（1，4），
将（1，4）代入y=，得4=n
∴n=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题关键是掌握函数与方程的关系，掌握待定系数法求函数解析式．
17．-2
【分析】根据四边形AMON是矩形，即可得到S矩形AMON＝2S△AMN＝2S，依据反比例函数的比例系数k的几何意义，即可得到k＝﹣2S，进而得出的值．
【详解】解：∵AM⊥x轴于M，AN⊥y轴于N，∠MON＝90°，
∴四边形AMON是矩形，
∴S矩形AMON＝2S△AMN＝2S，
∵A为反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，
∴|k|＝2S，
又∵k＜0，
∴k＝﹣2S，
∴的值为﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查反比例函数的比例系数与三角形面积的比值问题，是两个无关联的两，抓住K与矩形ONAM的关系，而矩形与三角形的关系，这样两只建立起联系是解题关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键．
（1）先求得，即可求出反比例函数的解析式；
（2）过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标．
【详解】（1）解：轴，
，
∵，
∴，，
，
点A在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：如图，过点A作轴于点E，
，
四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
点A、C是反比例函数和一次函数的交点，
联立，
解得：或，
，
．
19．（1） 一；（2）①图见解析；②图见解析，
（3）①，8；②0个交点时，；2个交点时，
（4）
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及画函数图象、函数图象的平移、解一元二次方程等知识，利用类比和数形结合思想求解是解答的关键．
（1）根据x、y是边长求解即可；
（2）①利用描点法画函数 的图象即可；②利用描点法画函数的图象，的图象即可，根据图象平移规则：上加下减求解即可；
（3）①联立方程组，根据一元二次方程根的判别式求解即可； ②由①并结合图象可求解；
（4）仿照前面求解思路，联立方程组，利用方程有实数根求解即可．
【详解】解：（1）∵x、y是边长，∴，，
故满足要求的（x，y）应该是两个函数的图象在第一象限内的公共点坐标，
故答案为：一；
（2）①列表：
描点、连线得函数 的图象如图：
②列表：
描点、连线得函数的图象如图，
由得，函数的图象可以看成是函数的图象向上平移个单位长度得到，
故答案为：；
（3）由得，
由，得，此时，
解得，
∴当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为，周长m的值为8，
故答案为：，8；
②如图，
由①并结合图象知：0个交点时，；2个交点时，；
（4）当面积为8的矩形的周长是m时，相邻两边分别为x、y，则，，
∴，，
由得，
由题意，该方程有实数根，
则，解得，
故答案为：．
20．(1)
(2)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：
（1）把A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，即可确定出双曲线解析式；
（2）设，表示出的长，高为A纵坐标，根据面积求出x的值，确定出P坐标即可．
【详解】（1）把代入直线解析式得：，
解得：，
∴．
把代入，得
解得：，
∴双曲线解析式为；
（2）对于直线，令，则，
解得：，
∴．
设，可得，
∵，且，
∴，即，
解得：或．
∴点P的坐标为2,0或．
21．(1)图见解析，反比例函数
(2)
(3)
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键：
（1）描线，画出函数图象即可；
（2）待定系数法求出函数解析式即可；
（3）根据反比例函数的增减性，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图：
它是反比例函数．
（2）设这个反比例函数的表达式为
由图像可知，图像过，
∴，
∴．
（3）时，中随的增大而减小，
当的值最大时，最小．
即当时，
22．(1)
(2)小明每分钟录入70个字
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数与实际问题等知识点
（1）用待定系数发反比例函数解析式即可．
（2）先算出录入的时间，然后代入（1）的反比例函数求出x即可．
【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为，
将代入，得，解得，
故与之间的反比例函数关系式为．
（2）（分钟），
将代入，
得，
解得．
答：小明每分钟录入70个字．
23．(1)E(3，4)，
(2)证明见解析；C′(0，)
(3)m的值为3或12
【分析】（1）先根据矩形的性质求出E点坐标，然后代入到反比例函数解析式求解即可；
（2）由反比例函数图像上点的坐标特征得到DN·AD＝BM·AB，由BC＝AD，AB＝CD，即可推出＝，即可证明△CMN∽△CBD．得到∠CMN=∠CBD，则MN∥CD，求出直线BD的表达式为y＝－x＋8，由C，C′关于MN对称，得到CC′⊥BD，则可设直线CC′的解析式为，由此求解即可；
（3）分当AP＝AE时，当EP＝AE时，点P与点D重合，当PA＝PE时，三种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DE＝EB，
∵B(6，0)，D(0，8)，
∴E(3，4)，
∵双曲线过点E，
∴k1＝12，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵点M，N在反比例函数的图象上，
∴DN·AD＝BM·AB，
∵BC＝AD，AB＝CD，
∴DN·BC＝BM·CD，
∴＝，
∵∠MCN=∠BCD，
∴△CMN∽△CBD．
∴∠CMN=∠CBD，
∴MN∥CD，
∵B(6，0)，D(0，8)，
∴直线BD的表达式为y＝－x＋8，
∵C，C′关于MN对称，
∴CC′⊥MN，
∵MN∥BD，
∴CC′⊥BD，
∴可设直线CC′的解析式为，
∵C(6，8)，
∴，
∴，
∴直线CC′的表达式为y＝x＋，
∴C′(0，)；
（3）解：①当AP＝AE时，
∵A(0，0)，B(6，0)，C(6，8)，D(0，8)，
∴AB=6，BC=8，
∴，
∵E是AC与BD的交点，
∴AE=AP=5，
∴平移后P的坐标为(m，5)，E的坐标为(m＋3，4)，P，E在反比例函数图象上，
∴5m＝4(m＋3)，
∴m＝12；
②当EP＝AE时，点P与点D重合，
∵P(m，8)，E(m＋3，4)在反比例函数图象上，
∴8m＝4(m＋3)，
∴m＝3；
③当PA＝PE时，
∵P(m，n)，E(m＋3，4)，A(m，0)，
∴n＝，
解得n＝，
∵P，E在反比例函数图象上，
∴m＝4(m＋3)，
解得m＝－(舍)，
综上所述，满足条件的m的值为3或12．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，等腰三角形的性质，两点距离公式等等，熟知相关知识是解题的关键．
24．
【详解】试题分析：（1）只需求出点H的坐标，然后代入y=就可解决问题；
（2）作EM⊥x轴于M，DN⊥y轴于N，如图1．要证GE=DF，只需证△MEG≌△NFD，易得∠EGM=∠FDN，∠EMG=∠FND，只需证MG=DN．由m=3可得k=﹣，从而得到反比例函数的表达式为y=﹣．可设E的坐标是（a，﹣），D的坐标是（b，﹣），然后运用待定系数法求出直线BD的表达式，求出点G的横坐标，即可得到MG=DN，问题得以解决；
（3）通过度量可得PQ约为PM+QN的1.414倍，由此可以猜想PQ=（PM+QN）．过点P作PS∥x轴，交直线AC于S，过点Q作QR∥x轴，交直线AC于R，如图2．易证PS+QR=PM+QN=（PM+QN），只需证到PQ=PS+QR即可．可用待定系数法依次求出直线AC为y=x+3、直线PQ的表达式为y=k′x+3k′+3．，设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），易得PS+QR=（k′﹣1）（x1+x2）+6k′．由P（x1，y1），Q（x2，y2）是直线y=k′x+3k′+3与双曲线y=﹣的交点，可得x1、x2是方程k′x+3k′+3=﹣即2k′x2+6（k′+1）x+9=0的解，根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣，x1•x2=，从而得到PS+QR=，PQ2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=（k′2+1）（x1﹣x2）2=（k′2+1）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=，即可得到PQ=，从而得到PQ=PS+QR=（PM+QN）．
试题解析：解：（1）由题意可得点B的坐标为（﹣m，m），BC的中点H坐标为（﹣，m）．
∵双曲线y=（x≠0）经过BC的中点H，
∴k=﹣·m=﹣m2；
（2）作EM⊥x轴于M，DN⊥y轴于N，如图1．
∵k=﹣m2，m=3，
∴k=﹣，
∴反比例函数的表达式为y=﹣．
设E的坐标是（a，﹣），D的坐标是（b，﹣），
则OM=﹣a，DN=b．
设直线BD的解析式是y=px+q，
则，
解得：
则直线BD的表达式为y=x﹣，
令y=0，解得：x=a+b，
则xG=a+b，
∴MG=a+b﹣a=b，
∴MG=DN．
∵DN⊥y轴，MG⊥y轴，
∴DN∥MG，
∴∠EGM=∠FDN．
在△MEG和△NFD中，
，
∴△MEG≌△NFD（AAS），
∴GE=DF；
（3）PQ（PM+QN）．
证明：过点P作PS∥x轴，交直线AC于S，过点Q作QR∥x轴，交直线AC于R，如图2．
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠CAO=45°．
∵PS∥x轴，QR∥x轴，
∴∠PSA=∠QRA=∠CAO=45°．
∵PM⊥AC，QN⊥AC，
∴PS=PM，QR=QN，
∴PS+QR=PM+QN=（PM+QN）．
∵m=3，∴A（﹣3，0）、B（﹣3，3）、C（0，3）．
设直线AC的表达式为y=mx+n，
则有，
解得，
∴直线AC的表达式为y=x+3．
设直线PQ的表达式为y=k′x+b′，
∵点B在直线PQ上，
∴﹣3k′+b′=3，
∴b′=3k′+3，
∴直线PQ的表达式为y=k′x+3k′+3．
设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），
则有yS=yP=y1=k′x1+3k′+3，yR=yQ=y2=k′x2+3k′+3，
∴xS+3=y1，xR+3=y2，
∴xS=y1﹣3，xR=y2﹣3，
∴PS=y1﹣3﹣x1=k′x1+3k′+3﹣3﹣x1=（k′﹣1）x1+3k′，
QR=y2﹣3﹣x2=k′x2+3k′+3﹣3﹣x2=（k′﹣1）x2+3k′，
∴PS+QR=（k′﹣1）（x1+x2）+6k′．
∵P（x1，y1），Q（x2，y2）是直线y=k′x+3k′+3与双曲线y=﹣的交点，
∴x1、x2是方程k′x+3k′+3=﹣即2k′x2+6（k′+1）x+9=0的解，
∴x1+x2=﹣=﹣，x1·x2=
∴PS+QR=（k′﹣1）•[﹣]+6k′=6k′﹣=，
PQ2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2
=（x1﹣x2）2+[（k′x1+3k′+3）﹣（k′x2+3k′+3）]2
=（k′2+1）（x1﹣x2）2=（k′2+1）[（x1+x2）2﹣4x1x2]
=（k′2+1）[（﹣）2﹣4·]=，
∴PQ=，
∴PQ=PS+QR=（PM+QN）．
考点：反比例函数综合题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
C
C
B
A
C
A
D
题号
11
12








答案
D
D








x
1
2
4
8
y
4
2
1
x
0
1
y
0