数学九年级上册第六章 反比例函数3 反比例函数的应用学案设计

这是一份数学九年级上册第六章 反比例函数3 反比例函数的应用学案设计，共9页。学案主要包含了旧知再现，新知初探，图表导思，自主解答，归纳提升，完善解答，一题多变，母题变式等内容，欢迎下载使用。
【旧知再现】
反比例函数的系数k的几何意义
过反比例函数图象上任意一点向两坐标轴引垂线，与坐标轴所围成的矩形面积是一个定值，为__|k|__．
【新知初探】
阅读教材P158—P159完成下面问题：
反比例函数与一次函数的综合应用
1．反比例函数y＝ eq \f(k1,x) (k1≠0)与正比例函数y＝k2 x(k2≠0)
(1)当比例系数同号时，所在象限__相同__，有__2__个交点，交点关于__坐标原点__对称．
(2)当比例系数异号时，所在象限__不同__，__0__个交点．
2．反比例函数y＝ eq \f(k1,x) (k1≠0)与一次函数y＝k2x＋b(k2≠0)
求双曲线y＝ eq \f(k1,x) (k1≠0)与一次函数y＝k2x＋b(k2≠0)的交点就是求该方程组__ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(k1,x)，,y＝k2x＋b)) __的解．
【图表导思】
如图，y＝ eq \f(k1,x) 与y＝k2x＋b交于A(1，2)，B(－2，－1)，回答下列问题：
1．求y＝ eq \f(k1,x) 和y＝k2x＋b的解．
【解析】由图可知解为x＝1或x＝－2.
2．求 eq \f(k1,x) ＞k2x＋b的解集．
【解析】由图可知解集为x12).
(2)结合实际，令y＝ eq \f(108,x) 中，y≤0.45，解得x≥240.
即从药物燃烧开始，至少需要经过240分钟后，才能进入室内．
【归纳提升】
解决反比例函数应用题的一般思路
1．从实际问题中抽象出函数模型．
2．代入已知对应值确定待定系数，建立反比例函数关系式．
3．根据自变量的取值求出函数值．
4．根据因变量的取值求自变量．
变式一：巩固
(2021·甘肃质检)某项研究表明：人的眼睛疲劳系数y与睡眠时间t(h)之间的函数关系如图所示．其中，当睡眠时间少于4小时(0＜t＜4)时，眼睛疲劳系数y与睡眠时间t(h)成反比例函数；当睡眠时间不少于4小时(4≤t≤6)时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0，根据图象，回答下列问题：
(1)求当睡眠时间不少于4小时(4≤t≤6)时，眼睛疲劳系数y与睡眠时间t之间的函数表达式；
(2)如果某人睡2小时后，再连续睡m小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求m的值．
【解析】(1)根据题意，设当4≤t≤6时，眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数表达式为：y＝kt＋b(k≠0).
∵它经过点(4，2)和(6，0)，
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4k＋b＝2，,6k＋b＝0)) 解得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1，,b＝6，))
∴当睡眠时间不少于4小时时，眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数表达式是y＝－t＋6.
(2)当睡眠时间少于4小时(0＜t”“0)图象上的两点，AB⊥x轴．
(1)如图1，当△ABC是边长为2的等边三角形时，求k的值；
(2)如图2，当AC＝BC时，连接OA，随着点A在反比例函数图象上移动，四边形OACB的面积是否为定值？若是，请用含k的代数式表示这个定值；若不是，请说明理由．
【解析】(1)如图1，设点A(a，2)，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝ eq \r(3) ，BD＝1，
则C(a＋ eq \r(3) ，1)，
∵点A，C在同一个反比例函数的图象上，
∴2a＝a＋ eq \r(3) ，∴k＝2× eq \r(3) ＝2 eq \r(3) .
(2)四边形OACB的面积是定值，理由如下：
设A(a， eq \f(k,a) )，过点C作CD⊥AB于点D，
∵AC＝BC，
∴BD＝ eq \f(k,2a) ，即点C的纵坐标为 eq \f(k,2a) .
∵点C在反比例函数的图象上，
∴C(2a， eq \f(k,2a) )，∴CD＝a，
∴△ABC的面积为 eq \f(1,2) AB·CD＝ eq \f(1,2) · eq \f(k,a) ·a＝ eq \f(k,2) ，
∵S△OAB＝ eq \f(k,2) ，
∴四边形OACB的面积是k，为定值．
【母题变式】
如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y＝ eq \f(a,x) (a≠0)的图象在第一象限交于A，B两点，A点的坐标为(m，4)，B点的坐标为(3，2)，连接OA，OB，过B作BD⊥y轴，垂足为D，交OA于C.若OC＝CA，
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)在直线BD上是否存在一点E，使得△AOE是以AO为直角边的直角三角形，直接写出所有可能的E点坐标．
【解析】见全解全析
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