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    初中数学北师大版(2024)九年级上册8 图形的位似达标测试

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    这是一份初中数学北师大版(2024)九年级上册8 图形的位似达标测试,共21页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题
    1.如图,以点为位似中心,作的一个位似三角形,,,的对应点分别为,,,与的比值为,若两个三角形的顶点及点均在如图所示的格点上,则的值和点的坐标分别为( )
    A.2,(2, 8)B.4,(2, 8)C.2,(2, 4)D.2,(4, 4)
    2.如图,在平面直角坐标系中,五边形与五边形为位似图形,位似中心是原点,点坐标为,,则点的坐标为( )
    A.B.C.D.
    3.如图,将正方形ABCD放于平面直角坐标系中,已知点A(﹣4,2),B(﹣2,2),以原点O为位似中心把正方形ABCD缩小得到正方形A′B′C′D′,使OA′:OA=1:2,则点D的对应点D′的坐标是( )
    A.(﹣8,8)B.(﹣8,8)或(8,﹣8)
    C.(﹣2,2)D.(﹣2,2)或(2,﹣2)
    4.如图,以点为位似中心,作四边形的位似图形,已知,若四边形的面积是4,则四边形面积是( )
    A.6B.9C.16D.18
    5.如图,以点O为位似中心,把的各边长放大为原来的2倍得到,以下说法中错误的是( )

    A.B.点A,O,三点在同一条直线上
    C.D.
    6.下列3个图形中是位似图形的有( )
    A.1个B.2个C.3个D.0个
    7.如图,在平面直角坐标系中,以原点O为位似中心,若A点坐标为,C点坐标为,,则线段长为( )
    A.2B.4C.D.
    8.2022年2月4日,第二十四届冬季奥林匹克运动会在北京隆重开幕.此次冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的.在下面的四个图中,能由下图经过平移得到的是( )
    A.B.C.D.
    9.如图中的两个三角形是位似图形,点的坐标为,则它们位似中心的坐标是( )
    A.B.C.D.
    10.如图,与位似,点O是它们的位似中心,其中位似比为,则与的面积之比是( )
    A.B.C.D.
    11.如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,已知BO:OE=2:1,则△ABC与△DEF的面积比是( )
    A.9:1B.4:1C.3:1D.2:1
    12.如图,BC∥ED,下列说法不正确的是( )
    A.两个三角形是位似图形
    B.点A是两个三角形的位似中心
    C.B与D、C与E是对应位似点
    D.AE:AD是相似比
    二、填空题
    13.如图,和是以点O为位似中心的位似图形,若,的面积等于3,则的面积 .

    14.如图,和位似,位似比为,位似中心是原点,点坐标是,则点的坐标为 .
    15.如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,OA=AD,则△ABC与△DEF的面积比为 .
    16.如图,已知与位似,位似中心为点,且的面积与的面积比为,则的比值为
    17.平面坐标系中,点P(3,4)是线段AB上一点,以原点为位似中心把△AOB扩大到原来的2倍,则点P对应的点的坐标是 .
    三、解答题
    18.如图,与是位似图形.
    (1)在网格中建立平面直角坐标系,使得点A的坐标为,点的坐标为,则点B的坐标为______.
    (2)以点A为位似中心,在网格图中作,使和位似,且位似比是1∶2;
    (3)在图上标出与的位似中心P,并写出点P的坐标为______,计算四边形的周长为______.
    19.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,建立如图所示的平面直角坐标系,并给出了格点△ABC(顶点为网格线的交点).
    (1)若△A1B1C1与△ABC以点O为对称中心对称,画出△A1B1C1.
    (2)若△A2B2C2,与△ABC以点O为位似中心位似,A2B2=2AB,在第四象限,画出△A2B2C2.
    20.综合与实践
    主题:某数学实践小组以标准对数视力表为例,探索视力表中的数学知识
    操作:步骤一:用硬纸板复制视力表中视力为0.1,0.2所对应的“E”,并依次编号为①,②,垂直放在水平桌面上,开口的底部与桌面的接触点为,;
    步骤二:如1图所示,将②号“E”沿水平桌面向右移动,直至从观测点O看去,对应顶点,与点O在一条直线上为止.
    结论:这时我们说,在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同.
    探究:(1)①如1图,与之间存在什么关系?请说明理由;
    ②由标准视力表中的,,可计算出时,___________mm;
    运用:(2)如果将视力表中的两个“E”放在如2图所示的平面直角坐标系中,两个“E”字是位似图形,位似中心为点O,①号“E”与②号“E”的相似比为,点P与点Q为一组对应点.若点Q的坐标为,则点P的坐标为___________.
    21.(1)【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形.
    第一步,对折矩形纸片()(图),使与重合,得到折痕,把纸片展平(图②).
    第二步,如图③,再一次折叠纸片,使点落在上的处,并使折痕经过点,得到折痕,折出,,得到.
    请证明是等边三角形.
    (2)【数学思考】
    如图④,小明画出了图③的矩形和等边三角形.他发现,在矩形中把经过图形变化,可以得到图⑤中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程.
    (3)【问题解决】
    已知矩形一边长为,另一边长为.对于每一个确定的的值,在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图,并写出对应的的取值范围.
    22.若绕点逆时针旋转后,与构成位似图形,则我们称与互为“旋转位似图形”.

    (1)知识理解:
    如图①,与互为“旋转位似图形”.
    ①若,,,则 ;
    ②若,,,则 ;
    (2)知识运用:
    如图②,在四边形中,,于点,,求证:与互为“旋转位似图形”;
    (3)拓展提高:
    如图③,为等边三角形,点为的中点,点是边上的一点,点为延长线上的一点,点在线段上,,且与互为“旋转位似图形”.若,,求.
    参考答案:
    1.A
    【分析】利用勾股定理求出DA1与DA的值,然后相比即可求出k值;连接DB并延长至B1,使DB1=2DB,连接DC并延长至C1,使DC1=2DC,然后顺次连接A1,B1,C1,然后根据平面直角坐标系写出点C1的坐标即可得解.
    【详解】根据勾股定理DA=,
    DA1=,
    ∴k==2,
    C1的坐标为(2,8).
    故选A.
    【点睛】本题考查了利用位似变换作图,以及位似变换的性质,位似比的求解,是基础题,找出对应点的位置是解题的关键.
    2.D
    【分析】根据题意得到位似比,从而求得点的坐标;
    【详解】解:
    ∵五边形与五边形为位似图形,位似中心是原点,
    ∴得到位似比为
    又∵点坐标为
    ∴,
    故选:D
    【点睛】本题考查了位似图形的性质,熟练掌握位似比的性质是解题的关键.
    3.D
    【分析】根据如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行解答.
    【详解】∵点A(﹣4,2),B(﹣2,2),以原点O为位似中心把正方形ABCD缩小得到正方形A′B′C′D′,使OA′:OA=1:2,
    ∴点D的坐标是:(﹣4,4),
    ∴点D的对应点D′的坐标是:(﹣2,2)或(2,﹣2).
    故选D.
    【点睛】本题考查位似变换:位似图形与坐标,在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k.
    4.B
    【分析】本题主要考查了位似图形的性质.根据位似图形的性质可得,即可求解.
    【详解】解:∵四边形和四边形是位似图形,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∵四边形的面积是4,
    ∴四边形面积是9.
    故选:B
    5.A
    【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答.
    【详解】∵点O为位似中心,把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C',
    ∴,,,点A,O,三点在同一条直线上.
    ∴,
    综上,只有选项A错误,符合题意.
    故选A.
    【点睛】本题考查了位似变换:如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.位似的性质:两个图形必须是相似形;对应点的连线都经过同一点;对应边平行(或共线).
    6.B
    【详解】由位似图形的定义:“如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这两个图形叫做位似图形”分析可知,上面3个图形中,第1个和第3个图形是位似图形,第2个图形不是位似图形,即3个图形中位似图形有2个.
    故选B.
    7.C
    【分析】
    根据题意求出位似比,根据位似比计算即可.
    【详解】
    解:∵以原点O为位似中心,A点坐标为,C点坐标为,
    ∴线段与线段的位似比为,
    ∵,
    ∴,
    故选:C.
    【点睛】
    本题考查的是位似变换的概念和性质,根据题意求出位似比是解题的关键.
    8.B
    【分析】根据轴对称得到A,根据平移得到B,根据旋转得到C,根据位似得到D.
    【详解】解:A.是通过轴对称看得到,故选项A不正确,不符合题意;
    B.通过平移可以得到,故选项B正确,符合题意;
    C.通过旋转可以得到,故选项C不正确,不符合题意;
    D.通过缩小位似变换看得到,故选项D不正确,不符合题意;
    故选B.
    【点睛】本题考查四种变换,掌握轴对称变换,平移变换,旋转变换,位似变换是解题关键.
    9.A
    【分析】根据位似图形的概念作出位似中心,根据坐标与图形性质解答.
    【详解】解:如图,点O为两个三角形的位似中心,
    ∵点M的坐标为(3,2),
    ∴位似中心O的坐标为(0,2),
    故选:A.
    【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质,掌握位似图形的对应顶点的连线相交于一点是解题的关键.
    10.D
    【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质,掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.根据位似图形的概念得到,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算,得到答案.
    【详解】解:与位似,其中位似比为,
    与的面积之比为,
    故选:D.
    11.B
    【分析】根据位似图形的位似比等于相似比,相似相似三角形的面积比等于相似比的平方,进而得到答案.
    【详解】△ABC与△DEF位似,
    BO:OE=2:1,
    故选:B.
    【点睛】本题考查的是位似图形的概念和性质,掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
    12.D
    【分析】根据位似变换的概念判断即可.
    【详解】解:A、∵BC∥ED,
    ∴△ADE∽△ABC,
    ∵△ADE与△ABC对应点的连线相交于一点,对应边平行或在同一条直线上,
    ∴△ADE与△ABC是位似图形,本选项说法正确,不符合题意;
    B、点A是两个三角形的位似中心,本选项说法正确,不符合题意;
    C、B与D、C与E是对应位似点,本选项说法正确,不符合题意;
    D、AE:AD不是相似比,AE:AC是相似比,本选项说法错误,符合题意;
    故选:D.
    【点睛】本题考查的是位似变换的概念,两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.
    13./
    【分析】本题考查的是位似变换,相似三角形的判定和性质.根据位似变换的概念得到,,从而得到得到,根据相似三角形的性质求出,再根据相似三角形的性质计算即可.
    【详解】解:∵,
    ∴,
    ∵和是以点O为位似中心的位似图形,
    ∴,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∵的面积等于3,
    ∴的面积为.
    故答案为:
    14.
    【分析】本题主要考查了位似变换,直接利用位似图形的性质得出对应点坐标.
    【详解】解:∵和位似,位似中心是原点O,和的相似比为,B点坐标是,
    ∴点D的坐标为:即.
    故答案为:.
    15.1:4
    【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF,根据相似三角形的性质求出,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可.
    【详解】解:∵△ABC与△DEF位似,
    ∴△ABC∽△DEF,,
    ∴△OAB∽△ODE,
    ∴==,
    ∴△ABC与△DEF的面积比=()2=,
    故答案为:1:4.
    【点睛】本题考查了位似,相似知识.解题的关键在于求出相似比.
    16.
    【分析】
    本题考查了位似变换:位似图形必须是相似形,位似图形对应点的连线都经过同一点;对应边平行或共线.
    利用位似性质得到,,进而可解答.
    【详解】解:∵与位似,位似中心为点O,
    ∴,
    ∴,
    ∵的面积与面积之比为,
    ∴,
    ∴.
    故答案为:.
    17.(6,8)或(﹣6,﹣8).
    【分析】根据位似变换的性质计算即可.
    【详解】点P(3,4)是线段AB上一点,以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍,
    则点P的对应点的坐标为(3×2,4×2)或(3×(﹣2),4×(﹣2)),即(6,8)或(﹣6,﹣8),
    故答案为(6,8)或(﹣6,﹣8).
    【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质,在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k.
    18.(1)
    (2)见解析
    (3),
    【分析】(1)根据题意找到原点以及坐标轴的位置,建立平面直角坐标系,进而求得点的坐标即可;
    (2)根据题意找到的中点即可画出;
    (3)连接交于点,则点即为所求,根据坐标系写出点的坐标即可,根据网格的特点以及勾股定理求得四边形的周长即可.
    【详解】(1)如图,
    点B的坐标为,
    故答案为:;
    (2)如图,
    (3)如图,
    点的坐标是−1,1,
    的周长为:

    故答案为:−1,1,.
    【点睛】本题考查了平面直角坐标系,坐标与图形,画位似三角形,求位似中心,勾股定理,掌握以上知识是解题的关键.
    19.(1)见解析;(2)见解析
    【分析】(1)利用中心对称的性质作出的对应点,即可;
    (2)利用位似变换的性质分别作出的对应点即可.
    【详解】解:(1)如图,△A1B1C1即为所求;
    (2)如图,△A2B2C2即为所求.
    【点睛】本题考查了作图-位似变换,,中心对称,解题的关键是掌握位似变换,中心对称的性质,正确作出图形.
    20.(1)①相等,见解析;②43.2;(2)
    【分析】本题考查了相似三角形的的应用,位似的性质.
    (1)①根据题意证明,从而得到,即可得到;②把,,,代入即可求解.
    (2)根据位似比为,代入数据计算即可.
    【详解】解:(1)①.
    由题意得,
    ∴,
    ∴,


    ②,,,,


    故答案为:.
    (2)①号“E”与②号“E”的相似比为,点P与点Q为一组对应点.若点Q的坐标为,
    点P的坐标为,即,
    故答案为:.
    21.(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析
    【分析】(1)由折叠的性质和垂直平分线的性质得出,,得出即可;
    (2)由旋转的性质和位似的性质即可得出答案;
    (3)由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算,画出图形即可;
    【详解】解:(1)由折叠的性质得:是的垂直平分线,是的垂直平分线,
    ,,

    是等边三角形.
    (2)以点为中心,在矩形中把逆时针方向旋转适当的角度,
    得到;
    再以点为位似中心,将放大,使点的对应点落在CD上,得到;
    如图⑤所示;
    (3)矩形的一边长为,等边三角形边上的高为边长的倍,根据题意,如图所示(答案不唯一)
    【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定,旋转的性质,位似的性质,勾股定理,掌握以上知识是解题的关键.
    22.(1)①27°;②
    (2)见解析
    (3)
    【分析】(1)①依据和互为“旋转位似图形”,可得,依据相似三角形的对应角相等,即可得到;
    ②依据,可得,根据,,,即可得出;
    (2)依据,即可得到,进而得到,再根据,,即可得到,进而得出和互为“旋转位似图形”;
    (3)利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可.
    【详解】(1)①和互为“旋转位似图形”,


    又,,

    ②,

    ,,,


    故答案为:;;
    (2),,

    ,即,
    又,


    又,,



    绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形,
    和互为“旋转位似图形”;
    (3)点为的中点,

    由题意得:,




    由勾股定理可得,


    【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定及性质,等腰直角三角形的判定及性质,勾股定理的综合运用.在解答时添加辅助线等腰直角三角形,利用相似形的对应边成比例是关键.
    题号
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    7
    8
    9
    10
    答案
    A
    D
    D
    B
    A
    B
    C
    B
    A
    D
    题号
    11
    12








    答案
    B
    D








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