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初中数学北师大版九年级下册5 三角函数的应用测试题
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这是一份初中数学北师大版九年级下册5 三角函数的应用测试题，共32页。
一、选择题（每题3分，共30分）
1．图中的梯形ABCD是水坝的一个截面图，阴影部分是外坡面土方的部分．其中AD∥BC，∠C=90，∠B=45，∠DEC=60，AB=106m，AD＝5m，则坝底外坡面土方的水平宽度BE长为（ ）
A．103mB．(103−5)mC．(103+5)mD．(53+5)m
2．如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上.则斜坡CD的长度为（ ）.
A．803−120B．403−60C．120−603D．120−403
3． 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为37米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为（ ）
A．153米B．(37−153)米C．(45−153)米D．22.5米
4．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点.如图2021年10月16日，神舟十三号载人飞船从地面О处成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得AD=4000米，仰角为30°，3秒后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，则飞船从A到B处的平均速度为（ ）米/秒.（结果精确到1米；参考数据：3≈1.732，2≈1.414）
A．336B．335C．334D．333
5．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时40海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则下列说法正确的是（ ）
A．∠CBA=85°
B．点B到AC的距离为202海里
C．BC=206海里
D．点B在点C的南偏东65°的方向上
6．最近央视纪录片《航拍中国》中各地的美景震撼了全国观众，如图是航拍无人机从A点俯拍在坡比为3：4的斜坡CD上的景点C，此时的俯角为30°，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高200米到达B点，此时的俯角变为45°．已知无人机与斜坡CD的坡底D的水平距离DE为400米，则斜坡CD的长度为（ ）米（精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）
A．91.1B．91.3C．58.2D．58.4
7．如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=3，BD⊥AC于点D，若点E是线段BD上一动点，则CE+1010BE的最小值为（ ）
A．310B．3102C．53D．10
8．如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向4海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（ ）
A．（ 2 + 6 ）海里B．2 3 海里
C．（ 3 +1）海里D．2 2 海里
9．一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（ ）（结果保留小数点后两位）（参考数据： 3≈1.732，2≈1.414 ）
A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里
10．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2018B2018C2018D2018的边长是（ ）
A．（ 12 ）2017B．（ 12 ）2016
C．（ 33 ）2017D．（ 33 ）2016
二、填空题（每空3分，共27分）
11．图1所示是一种单臂篮球架，其侧面示意图如图2所示，其中支架AB垂直于地面BE，支架AC与AB的夹角为115°，篮筐DP与支架PC都平行于地面BE．现已知AB=2.50米，CA=1.30米，则篮筐DP距离地面的高度为 米．（精确到0.01米．参考数据：sin25°≈0.42，cs25°≈0.91，tan25°≈0.47）
12．图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA=OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得FA=54cm，EB=45cm，AB=48cm.
（1）椅面CE的长度为 cm.
（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为 cm（结果精确到0.1cm）.
13．疫情期间，小红在家里在图1所示的平板支架上网课，图2是她观看网课的侧面示意图，已知平板宽度AB＝20cm，支架底板宽度CD＝AB，支撑角∠ABC＝60°，支撑板CE＝BE＝6cm，小红坐在距离支架底板20cm处观看（即DF＝20cm），Q点是AB中点.当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于 cm；当落在屏幕中点的视线与屏幕构成的夹角（指锐角或直角）不小于75°时，能使观看平板视频的效果最佳，为保证最佳的观看效果，小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差等于 cm.
14．足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好. 当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点. 通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得∠CQA=∠ABQ（此时也有∠DQB=∠QAB）时，恰好能使球门AB的张角∠AQB达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点.如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD⊥AB于点D，AB=6米，BD=2米.某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q.
（1）tan∠AQB= ．
（2）已知对方守门员伸开双臂后，成功防守的范围为52米 ，若此时守门员站在张 角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，为了确保防守成功，MN中点与AB的距离至少为 ．
15．随着“科学运动、健康生活”的理念深入人心，跑步机已成为家居新宠，某品牌跑步机（如图1）的跑道可以旋转（如图2)，图3为跑道 CD 绕 D 点旋转到 DC′ 位置时的主视图，其中 AE 为显示屏， AF 为扶手，点 C 在直线 AE 上， GH 为可伸缩液压支撑杆， G，H 的位置不变， GH 的长度可变化，已知 AB=100cm，csB=13，∠EAB+∠B=180° ，则 BC= cm .若 BG=50cm，GH//AB，∠B= 2∠DHG ，且 A，H，C 恰好在同一直线上，则 AD= cm .
三、解答题（共7题，共63分）
16．（6分）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i=2：3的斜坡AB前进207m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34，计算结果用根号表示，不取近似值）．
17．（6分）2022年底，太忻一体化经济区将新建1994座5G基站．如图是建在坡度i=1：2.4的斜坡AM上的一个5G基站塔CD，在坡角顶点A处测得塔顶D的仰角为45°，沿斜坡步行52m到达B处，在B处测得塔顶D的仰角为63.4°，点A，B，C，D，M，N在同一平面内．求基站塔高CD．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin63.4°=0.89，cs63.4°=0.45，tan63.4°≈2.00）
18．（6分）如图是一个小商场的纵截面图（矩形 ABCD ）， AD 是商场的顶部， BC 是商场的地面，地面由边长为 80cm 的正方形瓷砖铺成，从 B 到 C 共有 25 块瓷砖， AB 和 CD 是商场的两面墙壁， MN 是顶部正中央的一个长方形的灯饰（ AM=DN ）.小张同学想通过学过的几何知识来测量该商场的高度（ AB ）和灯饰的长度（ MN ），于是去商场时带了一块镜子和一根激光笔，他先把激光笔挂在墙壁 CD 距地面两块砖高度（ CG 的长）的 G 处，镜子水平放在地面距离 C 两块砖的 F 处，发现激光笔的反射光照到了 N 处；再把激光笔挂在墙壁 AB 距地面两块砖高度（ LB 的长）的 L 处，镜子水平放在地面距离 B 三块砖的 P 处，发现激光笔的反射光恰好又照到了 N 处，请你帮忙计算 AB 的高度和 MN 的长度.
19．（10分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝130mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cs26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500， 3 ≈1.732）
20．（11分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．
（1）求教学楼AB的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以43米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．
21．（12分）小明家住在某小区一楼，购房时开发商赠送了一个露天活动场所，现小明在活动场所正对的墙上安装了一个遮阳棚BC，经测量，安装遮阳棚的那面墙AB高3m，安装的遮阳棚展开后可以使正午时刻房前能有2m宽的阴影处(AD)以供纳凉．已知正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，安装好的遮阳篷BC与水平面的夹角为10°，如下右图为侧面示意图．
（参考数据：sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）
（1）据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中点C）到地面的距离小于2.3m时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断此遮阳棚是否使得人进出时具有安全感？
（2）请计算此遮阳棚延展后的长度（即BC的长度）．（结果精确到0.1m）
22．（12分）太极揉推器是一种常见的公共健身器械，如图是某太极揉推器的实物图和侧面示意图．立柱OP高1.2m，底面直径为10cm，支架AB和CD长均为50cm，且均与立柱所夹锐角为45°，支点A，C到立柱顶端的垂直距离均为40cm，转盘的直径EF和GH长均为48cm，且分别与AB和CD垂直，点B，D分别是EF，GH的中点．
（1）该太极揉推器的直径EF和GH所在直线的夹角为 ；
（2）求该太极揉推器的高度h（即点E到地面的距离）；
（3）请直接判断该太极揉推器的高度h与宽度w（即线段FH在地面的正投影长）的大小关系：h w．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，∠C=90°，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=90°，
∴四边形ADCF为矩形，
∴FC=AD=5，AF=CD.
∵∠B=45°，AB=106，
∴AF=ABsin45°=103，BF=ABcs45°=103.
∵∠DEC=60°，CD=AF=103，
∴CE=CDtan60°=10，
∴BE=BC-CE=BF+CF-BC=103-5.
故答案为：B.
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，则四边形ADCF为矩形，FC=AD=5，AF=CD，利用三角函数的概念可得AF、BF、CE，然后根据BE=BC-CE=BF+CF-BC进行计算.
2．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形
∴AF=DE， DF=AE
设CD=x米，在Rt△CDE中，DE=12 x米，CE=32x米，
在Rt△BDF中，∠BDF=45°
∴BF=DF=AB-AF=60-12x（米）
∵DF=AE=AC+CE
∴203+32x=60-12x
解得：x=803-120（米）
故答案为：A
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形，设CD=x米，则DE=12 x米，CE=32x米，再结合DF=AE=AC+CE，可得203+32x=60-12x，最后求出x的值即可。
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设旗杆底部为点A，顶部为点B，无人机处为点C，
延长AB，交点C处的水平线于点D，
由题意得，AD=37米，CD=45米，∠DCB=30°，
在Rt△BCD中，tan30°=BDCD=BD45=33，
解得BD=153，
∴AB=AD−BD=(37−153)米.
故答案为：B.
【分析】设旗杆底部为点A，顶部为点B，无人机处为点C，延长AB，交点C处的水平线于点D，在Rt△BCD中，由tan30°=BDCD=BD45=33求出BD，利用AB=AD-BD即可求解.
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：依题意，AD=4000，∠ADO=30°，CD=460米，∠BOC=45°，
在Rt△AOD中，OA=AD×sin∠ADO=12AD=2000，OD=cs∠ADO×AD=32AD=20003
在Rt△BOC中，BO=OC=OD−CD=20003−460，
∴AB=OB−OA=20003−460−2000≈1004，
∴飞船从A到B处的平均速度为1004÷4≈335米/秒，
故答案为：C.
【分析】在Rt△AOD中，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出OA的长，由余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出OD的长，由线段的和差算出OC，根据等腰三角形可得BO的长，进而根据AB=OB-OA算出AB的长，最后根据路程、速度、时间三者的关系即可算出答案.
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过B作BD⊥AC于点D，如图所示：
由题意得∠CBA=25°+50°=75°，故A选项错；
∵∠BAC=∠2+∠3=(90°−70°)+(90°−50°)=60°，
∴在△BAD中，∠DBA=30°，
所以BD=AB×sin∠BAC=40×32=203海里， 故B选项错；
由图1可知，∠1=25°，所以D选项错；
∵∠BAC=180°−∠CBA−∠CAB=180°−75°−60°=45°，
∴BC=BD÷sin45°=203÷22=203×2=206海里，所以C选项符合题意；
故答案为：C．
【分析】过B作BD⊥AC于点D，由方位角及角的和差求出∠CBA=75°，∠BAC=60°，在△BAD中，利用BD=AB×sin∠BAC求出BD的长，据此判断A、B；利用平行线的性质可得∠1=25°，据此判断③；利用三角形内角和求出∠BAC的度数，利用BC=BD÷sin45°求出BC的长，即可判断D.
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，作CP⊥BE于点P，作CQ⊥DE于点Q，
由题意知∠ACP＝30°，∠BCP＝45°，
设AP＝x，则CP＝APtan∠ACP＝x33＝3x，
∵∠BCP＝45°，
∴BP＝CP，即3x＝200+x，
解得：x＝100+1003，
∴CP＝3x＝1003+300，
∵DE＝400，
∴QD＝QE﹣DE＝CP﹣DE＝1003+300﹣400＝1003﹣100，
∵CQQD＝34，
∴QDCD＝45，
则CD＝45QD＝45（1003﹣100）≈91.3（米），
故答案为：B．
【分析】作CP⊥BE于点P，作CQ⊥DE于点Q，设AP＝x，则CP＝APtan∠ACP＝x33＝3x，结合BP＝CP，即3x＝200+x，求出x的值，再求出QD＝QE﹣DE＝CP﹣DE＝1003+300﹣400＝1003﹣100，结合CQQD＝34，可得QDCD＝45，最后求出CD＝45QD＝45（1003﹣100）≈91.3（米）即可。
7．【答案】A
【知识点】垂线段最短；解直角三角形的应用；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，作EF⊥AB，CG⊥AB，
∴∠AGC=∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠ABD=90°，
∵AC=10， tanA=3， ，
∴CG=ACsinA=10×31010=310，
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∴∠A=∠BEF，
∴EF=BEcs∠BEF=BEcs∠A=1010BE，
∴CE+1010BE=CE+EF，
∴当C、E、F三点共线的时候，CE+EF有最小值，即 CE+EF=CG=310，
∴ CE+1010BE的最小值为310，
故答案为：A.
【分析】利用三角函数可知1010BE等于EF，再通过垂线段最短可知CE+1010BE的最小值等于CG的长.
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，作BD⊥OC于D，则船A离灯塔B的最近距离是BD的长．作AE⊥OB于E．
在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠ABE＝∠BAD﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45°，AB＝4，
∴AE＝BE＝ 22AB＝2 2 ．
在直角△AOE中，∵∠AEO＝90°，∠AOE＝30°，
∴OE＝ AEtan∠AOE ＝ 2233 ＝2 6 ，
∴OB＝OE+BE＝2 6 +2 2 ．
在直角△BOD中，∵∠ODB＝90°，∠BOD＝30°，
∴BD＝ 12OB＝ 6 + 2 ．
故答案为：A．
【分析】作BD⊥OC于D，则船A离灯塔B的最近距离是BD的长．作AE⊥OB于E．解直角△ABE，求出AE＝BE＝ 22AB＝2 2 ．解直角△AOE，求出OE＝ AEtan∠AOE ＝ 2233 ＝2 6 ，那么OB＝OE+BE＝2 6 +2 2 ．再解直角△BOD，得出BD＝ 12OB＝ 6 + 2
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，
∵AC=30，∠CAB=30°，∠ACB=15°，
∴∠ABC=135°，
又∵BE=CE，
∴∠ACB=∠EBC=15°，
∴∠ABE=120°，
又∵∠CAB=30°
∴BA=BE，AD=DE，
设BD=x，
在Rt△ABD中，
∴AD=DE= 3 x，AB=BE=CE=2x，
∴AC=AD+DE+EC=2 3 x+2x=30，
∴x= 153+1 = 15(3−1)2 ≈5.49，
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图形，作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= 3 x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 3 x+2x=30，解之即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质；解直角三角形的应用；探索图形规律
【解析】【解答】∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1sin30°= 12 ，则B2C2= B2E2cs30° = 33=(33)1 ，
同理可得：B3C3= 13=(33)2 ，
故正方形AnBnCnDn的边长是： (33)n−1 ，
则正方形A2018B2018C2018D2018的边长是： (33)2017 ，
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可知四边相等，四个内角为直角，进而求出外角分别为30度60度，再利用锐角三角函数求出，探究规律
11．【答案】3.05
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，过点A作AQ⊥CN于点Q，如图所示，则DM∥CN．
∵篮筐DP与支架PC都平行于地面BE，
∴四边形DMNC是平行四边形．
∵∠DMN=90°，
∴平行四边形DMNC是矩形．
同理可证：四边形AQNB是矩形．
∴DM=CN，QN=AB=2.5m，∠CAQ=115°-90°=25°．
在 Rt△ACQ 中，
∵sin∠CAQ=CQAC ，
∴CQ=AC•sin25∘≈1.30×0.42=0.546 ．
∴DM=CN=CQ+QN=0.546+2.50≈3.05 （米）．
故答案为：3.05．
【分析】先求出平行四边形DMNC是矩形，再利用锐角三角函数计算求解即可。
12．【答案】（1）40
（2）12.5
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形的应用；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）∵CE∥AB
∴∠ECB=∠ABF
∴tan∠ECB=tan∠ABF
∴BECE=AFAB
∴45CE=5448
∴CE=40（cm）
故答案为：40；
（2）如图2，延长AD，BE交于N，
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
在△ABF和△BAN中
∠OBA=∠OABAB=AB∠FAB=∠ABN=90°
∴△ABF≌△BAN（ASA）
∴BN=AF=54（cm）
∴EN=9（cm）
∵tan∠N=DENE=ABBN
即DE9=4854
∴DE=8
∴CD=32（cm）
∵点H是CD的中点
∴CH=DH=16cm
∵CD∥AB
∴△AOB∽△DOC
∴COOB=CDAB=3248=23
如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，
∵HC=HD，HP⊥CD
∴∠PHD=12∠CHD=15°，CP=DP
∵sin∠DHP=PDDH =sin15°≈0.26
∴PD≈16×0.26=4.16
∴CD=2PD=8.32
∵COOB=CDAB=23
即8.32AB=23
∴AB=12.48≈12.5（cm）
故答案为：12.5.
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ECB=∠ABF，从而可得tan∠ECB=BECE=tan∠ABF=AFAB，据此即可求解；
（2）如图2，延长AD，BE交于N， 证明△ABF≌△BAN（ASA），可得BN=AF=54（cm），从而求出EN=BN-BE=9，由tan∠N=DENE=ABBN求出DE=8cm，继而得出CD=32（cm），由点H是CD的中点可得CH=DH=16cm，证明△AOB∽△DOC可得COOB=CDAB=3248=23 如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，根据等腰三角形的性质得∠PHD=12∠CHD=15°，CP=DP，由sin∠DHP=PDDH求出PD，即得CD，根据COOB=CDAB=23即可求出AB.
13．【答案】183；（52 3 ﹣78）
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，延长PQ交FC延长线于点M，
由题意可知：PM⊥AB，∠ABC＝60°，
∴∠QMB＝30°，
∵Q点是AB中点.
∴QB＝ 12 AB＝10cm，
∴BM＝2QB＝20cm，QM＝ 3 QB＝10 3 cm，
∵CE＝BE＝6cm，∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝6cm，
∴BD＝CD﹣BC＝20﹣6＝14cm，
∴FM＝BM+BD+DF＝20+14+20＝54（cm），
∴PF＝ 33 FM＝18 3 （cm），
∴当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于18 3 cm，
∴PM＝2PF＝36 3 cm，
∴PQ＝PM﹣QM＝36 3 ﹣10 3 ＝26 3 （cm），
当∠P′QB＝75°时，P′F得最小高度，如图，延长P′Q交FC延长线于点N，
∴∠N+∠QBN＝∠P′QB，
∴∠N＝75°﹣60°＝15°，
∵∠QMB＝30°，
∴∠MQN＝15°，
∴∠MQN＝∠N＝15°，
∴MQ＝MN＝10 3 cm，
∴FN＝FM+MN＝（54+10 3 ）cm，
如图，过点Q作QH⊥BM于点H，
设OH＝xcm，则QM＝MN＝2xcm，MH＝ 3 xcm，
∴NH＝MN+MH＝（2x+ 3 x）cm，
∴tan15°＝ QHNH=P′FFN ，
∴tan15°＝ x2x+3x ＝2+ 3 ，
∴P′F＝（2+ 3 ）（54+10 3 ）＝（78﹣34 3 ）cm，
∴PP′＝PF﹣P′F＝18 3 ﹣（78﹣34 3 ）＝（52 3 ﹣78）cm.
故答案为：18 3 ；（52 3 ﹣78）cm.
【分析】延长PQ交FC延长线于点M，先证明△BCE是等边三角形，得BC＝6cm，再由BD＝CD﹣BC求得BD=14cm，进而求出FM=54cm，在含30°角的Rt△PMF，得PF＝ 33FM，求PF的长度即可；在含30°角的Rt△PMF中，得PM＝2PF＝363cm，进而求得PQ＝PM﹣QM＝263cm，当∠P′QB＝75°时，P′F得最小高度，再延长P′Q交FC延长线于点N，得∠N+∠QBN＝∠P′QB，求得∠N=15°，进而得∠MQN＝∠N＝15°，可得MQ＝MN＝103cm，进一步得FN=54+103cm，再过点Q作QH⊥BM于点H，设OH＝xcm，则QM＝MN＝2xcm，MH＝3xcm，NH=MN+MH＝（2x+3x）cm，根据tan15°＝QHNH=P'FFN=xx+3x，得P'F=（78﹣343）cm，再由PP′＝PF﹣P′F，代入数据求得PP′，PP′即为小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差.
14．【答案】（1）34
（2）176 米
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AQ于点E，
∵∠ADQ=∠QBD， ∠DQB=∠QAB，
∴△ADQ∽△QDB，
∴ADDQ=DQBD，
∴6+2DQ=DQ2，
∴DQ=4，
∴AQ= 82+42=45，BQ= 22+42=25，
∵∠AEB=∠QBD， ∠DQB=∠QAB，
∴△AEB∽△QDB，
∴AEDQ=BEBD=ABBQ，
∴AE4=BE2=625，
∴AE= 1255，BE= 655，
∴EQ=AQ-AE= 855，
∴tan∠AQB= BEEQ=655855=34；
故答案为： 34 ；
（2）如图，过NM中点O作OF⊥AB于点F，交AQ于点P，
∵守门员伸开双臂后，成功防守的范围为 52，
∴当MN= 52时才能确保防守成功，
∵ tan∠AQB= MNMQ=34，
∴MQ= 253，
∴ME=EQ-MQ= 855−253=14515，
∵∠MOP+∠APF=90°，∠QAD+∠APF=90°，
∴∠MOP=∠QAD，
∴tan∠MOP=tan∠QAD，
∴PMOM=DQAD=48=12，
∵OM= 12MN= 54，
∴PM= 12OM= 58，
∴OP= 58，
∴AP=EM+AE+PM= 83524，
∵PFAP=DQAQ=445=55，
∴PF= 8324，
∴OF=PF-OP= 176，
∴MN中点与AB的距离至少为 176米，
故答案为： 176米.
【分析】（1）过点B作BE⊥AQ于点E，先证出△ADQ∽△QDB，利用比例式求出DQ的长，从而求出AQ，BQ的长，再证出△AEB∽△QDB，利用比例式求出AE，BE的长，从而求出EQ的长，然后利用锐角三角函数定义即可求解；
（2）过NM中点O作OF⊥AB于点F，交AQ于点P，分别求出EM，PM，OP，PF的长，再利用OF=PF-OP求出OF的长，即可得出答案.
15．【答案】150；2503
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵点C在直线AE上，
∴∠EAB＋∠CAB＝180°，
∵∠EAB＋∠B＝180°，
∴∠CAB＝∠B，
∴AC＝BC，
如图，作AM⊥BC，垂足为M，
∴∠AMB＝∠AMC＝90°，
∵csB＝ 13 ，AB＝100，
∴AM＝AB•csB＝ 1003
∴BM＝ AB2−AM2 ＝ 20023 ，
∵AC＝BC，
在直角三角形AMC中，CM2＋AM2＝AC2，
∴（BC−BM）2＋AM2＝AC2＝BC2，
∴BC＝150（cm），
作CI⊥AB于I，DJ∥BC于J，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BI＝AI＝50cm，
∵AB∥GH且A、H、C三点共线，
∴△ABC∽△HGC，
∴GHGC=BABC=23 ，
∴GH＝ 23 GC＝ 23 （BC−BG）= 2003 cm，
∵DJ∥BC，
∴∠ADJ＝∠B＝2∠DHG，
∵AB∥GH，
∴∠ADH＝∠DHG，
∴∠ADJ＝∠ADC−∠ADH＝∠DHG，
∴DJ＝HJ，
∵AB∥GH，DJ∥BC，
∴四边形BGJD是平行四边形，
∴DJ＝BG＝50cm，
∴HJ＝50cm，
∴BD＝GJ＝GH−HJ＝ 2003 −50＝ 503 cm，
∴AD＝AB−BD＝100− 503 ＝ 2503 cm.
故答案是：150； 2503 .
【分析】先根据补角性质得出∠CAB=∠B，作AM⊥BC，垂足为M，然后利用三角函数及勾股定理求出BC的长；作CI⊥AB于I ， DJ∥BC于J，由等腰三角形性质求出BI，再证明△ABC∽△HGC，利用相似三角形性质得GH的长，然后证明四边形BGJD是平行四边形，根据平行四边形的性质即可解答.
16．【答案】解：延长BC，DE交于点G，过点B作BF⊥AD于点F，如图所示：
则∠AFB=∠BFD=90°，
∵斜面AB的坡度为i=2：3，
∴设BF=2x，则AF=3x，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：BF2+AF2=AB2，
即(2x)2+(3x)2=(207)2，
解得：x=20，负值舍去，
即BF=2×20=40(m)，
∵BC为水平方向，DE为竖直方向，
∴∠BGD=90°，
∵∠BFD=∠FDG=∠BGD=90°，
∴四边形BFDG为矩形，
∴DG=BF=40m，
∵∠BCG=60°，
∴在Rt△DCG中，CG=BGtan∠DCG=40tan60°=403=4033(m)，
∵∠ECG=37°，
∴在Rt△ECG中，EG=CG×tan∠ECG=4033×tan37°=4033×34=103(m)，
∴DE=DG−EG=(40−103)m．
答：古树DE的高度为(40−103)m．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意利用勾股定理求出x=20，再求出四边形BFDG为矩形， 最后利用矩形的性质和锐角三角函数计算求解即可。
17．【答案】解：如图，延长DB交AN于点E，过点B作BF⊥AN于点F，延长DC交AN于点G，则∠AFB=90°．
在Rt△ABF中，由斜坡AM的坡度i=1：2.4知
∴BFAF=12.4，
∴AF=2.4BF，
∵AB=52，
∴由勾股定理，得AF2+BF2=AB2，
即(2.4BF)2+BF2=522．解得BF=20．
∴AF=2.4×20=48．
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠DEG=63.4°，
由tan∠DEG=BFEF，tan63.4°≈2.00，得EF=12BF=10．
∵CG⊥AN于点G，
∴∠AGD=90°．
在Rt△DEG中，∠DEG=63.4°，
由tan∠DEG=DGEG，tan63.4°≈2.00，得EG=12DG．
在Rt△DAG中，∠AGD=90°，∠DAG=45°，
∴∠ADG=45°，AG=DG．
∵AG=AF−EF+EG，
∴DG=48−10+12DG．
∴DG=76．
∴AG=76．
∵斜坡AM的坡度为i=1：2.4，
∴CGAG=12.4．
∴CG=762.4≈31.67．
∴DC=DG−CG=76−31.67≈44.3（米）．
答：基站塔高CD约为44.3米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】做辅助线： 延长DB交AN于点E，过点B作BF⊥AN于点F，延长DC交AN于点G，在Rt△ABF中，已知AB和坡度利用勾股定理可求BF，AF，进而在Rt△BEF中可求EF；然后在Rt△DEG中利用 ∠DEG=63.4° 可得 EG=12DG ，进而在Rt△DAG中可得AG=DG=76， 然后在Rt△ACG中求出CG，最后利用DC=DG-CG即可求解。
18．【答案】解：过点P作PE⊥AD于点E，过点N作NO⊥BC于点O，如图，
根据题意，设 AB=PE=NO=a ， CG=CF=2×80=160 ，
∵LB为两块砖高度，BP为三块砖的长度，
∴LBPB=23 ，
由反射的性质，AB∥EP∥NO，
∴∠BLP=∠LPE=∠EPN=∠PNO，
∵∠B=∠PON=90°，
∴△BPL∽△OPN，
∴NOOP=LBPB=23 ，
∴OP=32a ，
同理可证△ONF∽△CGF，
∴NOOF=CGCF=1 ，
∴OF=NO=a ，
∵BC=BP+OP+OF+CF ， BC=80×25=2000 ，
∴BC=3×80+32a+a+160=2000 ，
解得 a=640 ；
∴AB的高度为640厘米；
∵CO=OF+CF=640+160=800 ，
又 AM=DN=CO=800 ，
∴MN=2000−2×800=400 ；
∴MN 的长度为400厘米；
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过P作PE⊥AD于点E，过N作NO⊥BC于点O，设AB=PE=NO=a，CG=CF=2×80=160，由题意得LBPB=23，由反射的性质知AB∥EP∥NO，根据平行线的性质得∠BLP=∠LPE=∠EPN=∠PNO，证△BPL∽△OPN，由相似三角形性质得OP=32a，同理OF=NO=a，再由BC=BP+OP+OF+CF=2000可求出a的值，根据CO=OF+CF可得CO，AM=DN=CO，据此不难求出MN.
19．【答案】（1）解：如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，
∴四边形CFMN是矩形，CN＝FM，
由题意可知，AC＝AB﹣CB＝130mm﹣40mm＝90mm，CD＝80mm，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，
在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80× 32 ＝40 3 mm＝FM，
∠DCN＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠DCB＝80°，
∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，
∵AM⊥DE，CN⊥DE，
∴AM∥CN，
∴∠A＝∠BCN＝50°，
∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，
在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝90×0.643≈57.87（mm），
∴AM＝AF+FM＝57.87+40 3 ≈127.2（mm），
答：点A到直线DE的距离约为127.2mm；
（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，
在Rt△BCD中，CD＝80mm，BC＝40mm，
∴tanD＝ BCCD=4080 ＝0.500，
∴∠D≈26.6°，
因此旋转的角度约为：60°﹣26.6°＝33.4°，
答：CD旋转的角度约为33.4°．
【知识点】解直角三角形的应用；旋转的性质
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）先求出 tanD＝ BCCD=4080 ＝0.500， 再求出 ∠D≈26.6°， 最后计算求解即可。
20．【答案】（1）解：过点B作BG⊥DC于点G，
根据题意可得：DC⊥AC，AB⊥AC，AC=243米，∠FDB=30°，
∵DC⊥AC，AB⊥AC，BG⊥DC，
∴四边形GCAB为矩形，
∴BG=AC=243米，
∵DF⊥DC，BG⊥DC，
∴DF∥BG，
∴∠DBG=∠FDB=30°，
∴DG=BG⋅tan30°=24米，
∵CD长为49.6米，
∴CG=AB=CD−DG=49.6−24=25.6（米），
答：教学楼AB的高度为25.6米．
（2）解：连接EB并延长，交DF于点H，
∵CE=1.6米，CG=25.6米，
∴EG=CG−CE=24米，
∵DG=EG=24米， BG⊥DC，
∴BD=BE，
∴∠BEG=∠BDG=90°−30°=60°，DE=DG+EG=48米，
∴DH=DE⋅tan60°=483（米），
∵无人机以43米/秒的速度飞行，
∴离开视线EB的时间为：48343=12（秒），
答：无人机刚好离开视线EB的时间为12秒．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出四边形GCAB为矩形，再利用矩形的性质求出BG=AC=243米， 最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）先求出EG=24米，再利用锐角三角函数求出DH的值，最后计算求解即可。
21．【答案】（1）解：过点C作CF⊥AD于点F，
设AE=xm，则BE=AB−AE=(3−x)m，
∵CE∥AD，
∴CF⊥CE，
∴四边形AECF为矩形，
∴AE=CF=xm，
在△CDF中，tan63.4°=tan∠CDF=CFDF≈2.00，即xDF≈2.00，
解得：DF≈x2，
∴CE=AF=AD+DF≈(2+x2)m，
在△BCE中，tan10°=tan∠BCE=BECE≈0.18，即3−x2+x2≈0.18，
解得：x≈2.4，
∵2.4米>2.3米，
∴此遮阳棚使得人进出时具有安全感．
（2）解：由（2）可得：AE=CF≈2.4m，
∴BE=3−2.4=0.6(m)，
在△BCE中，sin10°=sin∠BCE=BEBC≈0.17，即0.6BC≈0.17，
解得：BC≈3.5m，
答：此遮阳棚延展后的长度为3.5m．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的判定求出四边形AECF为矩形， 再求出 DF≈x2， 最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）根据题意先求出BE=0.6m，再利用锐角三角函数求出 0.6BC≈0.17， 最后计算求解即可。
22．【答案】（1）90°
（2）解：过点B作BJ⊥OP于点J，过点E作EI⊥BJ交BJ于点I，
在RtΔBEI中，∠BEI=45°，
∴EIBE=cs45°=22，
∴EI=22×24=122cm.
在RtΔBJA中，∠BAJ=45°，
∴AJBA=22，
∴AJ=22×50=252cm，
由题意知，OP=120cm，AP=40cm，
∴AO=80cm，
∴ℎ=EI+AJ+AO=122+252+80=(372+80)cm；
（3）>
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）延长FE，HG交于M，延长BA，DC交于点N，则∠BMD即为EF与GH所在直线的夹角，
由题意得，∠BNC=90°，∠ABE=∠CDG=90°，
在四边形MBND中，∠BMD=360°−∠MBN−∠BND−∠NDM=90°；
故答案为：90°
（3）过点B作BK//OP，过点F作FK//BJ，BK，FK相交于点K，则BK⊥FK，
由（2）可得，△FBK≅ΔBEL，
∴BK=EI=FK，
∴w=2(FK+BJ)+AC=2×372+10=(742+10)cm<ℎ，
即：ℎ>w
故答案为：>．
【分析】（1）延长FE，HG交于M，延长BA，DC交于点N，则∠BMD即为EF与GH所在直线的夹角，再求出∠BMD的度数即可；
（2）过点B作BJ⊥OP于点J，过点E作EI⊥BJ交BJ于点I，先求出EI=22×24=122 ，∠BAJ=45°，再求出AJ=22×50=252，最后利用线段和差可得ℎ=EI+AJ+AO=122+252+80=(372+80)；
（3）过点B作BK//OP，过点F作FK//BJ，BK，FK相交于点K，则BK⊥FK，根据△FBK≅ΔBEL，可得BK=EI=FK，再求出w的值并比较即可。
一、选择题（每题3分，共30分）
1．图中的梯形ABCD是水坝的一个截面图，阴影部分是外坡面土方的部分．其中AD∥BC，∠C=90，∠B=45，∠DEC=60，AB=106m，AD＝5m，则坝底外坡面土方的水平宽度BE长为（ ）
A．103mB．(103−5)mC．(103+5)mD．(53+5)m
2．如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上.则斜坡CD的长度为（ ）.
A．803−120B．403−60C．120−603D．120−403
3． 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为37米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为（ ）
A．153米B．(37−153)米C．(45−153)米D．22.5米
4．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务收得圆满成功，中国航天，又站在了一个新的起点.如图2021年10月16日，神舟十三号载人飞船从地面О处成功发射，当飞船到达点A时，地面D处的雷达站测得AD=4000米，仰角为30°，3秒后，飞船直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，则飞船从A到B处的平均速度为（ ）米/秒.（结果精确到1米；参考数据：3≈1.732，2≈1.414）
A．336B．335C．334D．333
5．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时40海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则下列说法正确的是（ ）
A．∠CBA=85°
B．点B到AC的距离为202海里
C．BC=206海里
D．点B在点C的南偏东65°的方向上
6．最近央视纪录片《航拍中国》中各地的美景震撼了全国观众，如图是航拍无人机从A点俯拍在坡比为3：4的斜坡CD上的景点C，此时的俯角为30°，为取得更震撼的拍摄效果，无人机升高200米到达B点，此时的俯角变为45°．已知无人机与斜坡CD的坡底D的水平距离DE为400米，则斜坡CD的长度为（ ）米（精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）
A．91.1B．91.3C．58.2D．58.4
7．如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=3，BD⊥AC于点D，若点E是线段BD上一动点，则CE+1010BE的最小值为（ ）
A．310B．3102C．53D．10
8．如图，在观测站O处测得船A和灯塔B分别位于正东方向和北偏东60°方向，灯塔B位于船A的北偏东15°方向4海里处，若船A向正东航行，则船A离灯塔B的最近距离是（ ）
A．（ 2 + 6 ）海里B．2 3 海里
C．（ 3 +1）海里D．2 2 海里
9．一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（ ）（结果保留小数点后两位）（参考数据： 3≈1.732，2≈1.414 ）
A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里
10．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2018B2018C2018D2018的边长是（ ）
A．（ 12 ）2017B．（ 12 ）2016
C．（ 33 ）2017D．（ 33 ）2016
二、填空题（每空3分，共27分）
11．图1所示是一种单臂篮球架，其侧面示意图如图2所示，其中支架AB垂直于地面BE，支架AC与AB的夹角为115°，篮筐DP与支架PC都平行于地面BE．现已知AB=2.50米，CA=1.30米，则篮筐DP距离地面的高度为 米．（精确到0.01米．参考数据：sin25°≈0.42，cs25°≈0.91，tan25°≈0.47）
12．图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA=OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得FA=54cm，EB=45cm，AB=48cm.
（1）椅面CE的长度为 cm.
（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为 cm（结果精确到0.1cm）.
13．疫情期间，小红在家里在图1所示的平板支架上网课，图2是她观看网课的侧面示意图，已知平板宽度AB＝20cm，支架底板宽度CD＝AB，支撑角∠ABC＝60°，支撑板CE＝BE＝6cm，小红坐在距离支架底板20cm处观看（即DF＝20cm），Q点是AB中点.当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于 cm；当落在屏幕中点的视线与屏幕构成的夹角（指锐角或直角）不小于75°时，能使观看平板视频的效果最佳，为保证最佳的观看效果，小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差等于 cm.
14．足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB的张角越大，射门越好. 当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点. 通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线CD上行进时，当存在一点Q，使得∠CQA=∠ABQ（此时也有∠DQB=∠QAB）时，恰好能使球门AB的张角∠AQB达到最大值，故可以称点Q为直线CD上的最佳射门点.如图2所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门一部分，CD⊥AB于点D，AB=6米，BD=2米.某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q.
（1）tan∠AQB= ．
（2）已知对方守门员伸开双臂后，成功防守的范围为52米 ，若此时守门员站在张 角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，为了确保防守成功，MN中点与AB的距离至少为 ．
15．随着“科学运动、健康生活”的理念深入人心，跑步机已成为家居新宠，某品牌跑步机（如图1）的跑道可以旋转（如图2)，图3为跑道 CD 绕 D 点旋转到 DC′ 位置时的主视图，其中 AE 为显示屏， AF 为扶手，点 C 在直线 AE 上， GH 为可伸缩液压支撑杆， G，H 的位置不变， GH 的长度可变化，已知 AB=100cm，csB=13，∠EAB+∠B=180° ，则 BC= cm .若 BG=50cm，GH//AB，∠B= 2∠DHG ，且 A，H，C 恰好在同一直线上，则 AD= cm .
三、解答题（共7题，共63分）
16．（6分）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i=2：3的斜坡AB前进207m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34，计算结果用根号表示，不取近似值）．
17．（6分）2022年底，太忻一体化经济区将新建1994座5G基站．如图是建在坡度i=1：2.4的斜坡AM上的一个5G基站塔CD，在坡角顶点A处测得塔顶D的仰角为45°，沿斜坡步行52m到达B处，在B处测得塔顶D的仰角为63.4°，点A，B，C，D，M，N在同一平面内．求基站塔高CD．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin63.4°=0.89，cs63.4°=0.45，tan63.4°≈2.00）
18．（6分）如图是一个小商场的纵截面图（矩形 ABCD ）， AD 是商场的顶部， BC 是商场的地面，地面由边长为 80cm 的正方形瓷砖铺成，从 B 到 C 共有 25 块瓷砖， AB 和 CD 是商场的两面墙壁， MN 是顶部正中央的一个长方形的灯饰（ AM=DN ）.小张同学想通过学过的几何知识来测量该商场的高度（ AB ）和灯饰的长度（ MN ），于是去商场时带了一块镜子和一根激光笔，他先把激光笔挂在墙壁 CD 距地面两块砖高度（ CG 的长）的 G 处，镜子水平放在地面距离 C 两块砖的 F 处，发现激光笔的反射光照到了 N 处；再把激光笔挂在墙壁 AB 距地面两块砖高度（ LB 的长）的 L 处，镜子水平放在地面距离 B 三块砖的 P 处，发现激光笔的反射光恰好又照到了 N 处，请你帮忙计算 AB 的高度和 MN 的长度.
19．（10分）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝130mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．（结果保留小数点后一位）
（1）若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度．（参考数据：sin40°≈0.643，cs40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cs26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.500， 3 ≈1.732）
20．（11分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．
（1）求教学楼AB的高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以43米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．
21．（12分）小明家住在某小区一楼，购房时开发商赠送了一个露天活动场所，现小明在活动场所正对的墙上安装了一个遮阳棚BC，经测量，安装遮阳棚的那面墙AB高3m，安装的遮阳棚展开后可以使正午时刻房前能有2m宽的阴影处(AD)以供纳凉．已知正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，安装好的遮阳篷BC与水平面的夹角为10°，如下右图为侧面示意图．
（参考数据：sin10°≈0.17，cs10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin63.4°≈0.89，cs63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）
（1）据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中点C）到地面的距离小于2.3m时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断此遮阳棚是否使得人进出时具有安全感？
（2）请计算此遮阳棚延展后的长度（即BC的长度）．（结果精确到0.1m）
22．（12分）太极揉推器是一种常见的公共健身器械，如图是某太极揉推器的实物图和侧面示意图．立柱OP高1.2m，底面直径为10cm，支架AB和CD长均为50cm，且均与立柱所夹锐角为45°，支点A，C到立柱顶端的垂直距离均为40cm，转盘的直径EF和GH长均为48cm，且分别与AB和CD垂直，点B，D分别是EF，GH的中点．
（1）该太极揉推器的直径EF和GH所在直线的夹角为 ；
（2）求该太极揉推器的高度h（即点E到地面的距离）；
（3）请直接判断该太极揉推器的高度h与宽度w（即线段FH在地面的正投影长）的大小关系：h w．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，∠C=90°，
∴∠C+∠D=180°，
∴∠D=90°，
∴四边形ADCF为矩形，
∴FC=AD=5，AF=CD.
∵∠B=45°，AB=106，
∴AF=ABsin45°=103，BF=ABcs45°=103.
∵∠DEC=60°，CD=AF=103，
∴CE=CDtan60°=10，
∴BE=BC-CE=BF+CF-BC=103-5.
故答案为：B.
【分析】过点A作AF⊥BC于点F，则四边形ADCF为矩形，FC=AD=5，AF=CD，利用三角函数的概念可得AF、BF、CE，然后根据BE=BC-CE=BF+CF-BC进行计算.
2．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形
∴AF=DE， DF=AE
设CD=x米，在Rt△CDE中，DE=12 x米，CE=32x米，
在Rt△BDF中，∠BDF=45°
∴BF=DF=AB-AF=60-12x（米）
∵DF=AE=AC+CE
∴203+32x=60-12x
解得：x=803-120（米）
故答案为：A
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，则四边形AEDF为矩形，设CD=x米，则DE=12 x米，CE=32x米，再结合DF=AE=AC+CE，可得203+32x=60-12x，最后求出x的值即可。
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：设旗杆底部为点A，顶部为点B，无人机处为点C，
延长AB，交点C处的水平线于点D，
由题意得，AD=37米，CD=45米，∠DCB=30°，
在Rt△BCD中，tan30°=BDCD=BD45=33，
解得BD=153，
∴AB=AD−BD=(37−153)米.
故答案为：B.
【分析】设旗杆底部为点A，顶部为点B，无人机处为点C，延长AB，交点C处的水平线于点D，在Rt△BCD中，由tan30°=BDCD=BD45=33求出BD，利用AB=AD-BD即可求解.
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：依题意，AD=4000，∠ADO=30°，CD=460米，∠BOC=45°，
在Rt△AOD中，OA=AD×sin∠ADO=12AD=2000，OD=cs∠ADO×AD=32AD=20003
在Rt△BOC中，BO=OC=OD−CD=20003−460，
∴AB=OB−OA=20003−460−2000≈1004，
∴飞船从A到B处的平均速度为1004÷4≈335米/秒，
故答案为：C.
【分析】在Rt△AOD中，根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出OA的长，由余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值可求出OD的长，由线段的和差算出OC，根据等腰三角形可得BO的长，进而根据AB=OB-OA算出AB的长，最后根据路程、速度、时间三者的关系即可算出答案.
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过B作BD⊥AC于点D，如图所示：
由题意得∠CBA=25°+50°=75°，故A选项错；
∵∠BAC=∠2+∠3=(90°−70°)+(90°−50°)=60°，
∴在△BAD中，∠DBA=30°，
所以BD=AB×sin∠BAC=40×32=203海里， 故B选项错；
由图1可知，∠1=25°，所以D选项错；
∵∠BAC=180°−∠CBA−∠CAB=180°−75°−60°=45°，
∴BC=BD÷sin45°=203÷22=203×2=206海里，所以C选项符合题意；
故答案为：C．
【分析】过B作BD⊥AC于点D，由方位角及角的和差求出∠CBA=75°，∠BAC=60°，在△BAD中，利用BD=AB×sin∠BAC求出BD的长，据此判断A、B；利用平行线的性质可得∠1=25°，据此判断③；利用三角形内角和求出∠BAC的度数，利用BC=BD÷sin45°求出BC的长，即可判断D.
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，作CP⊥BE于点P，作CQ⊥DE于点Q，
由题意知∠ACP＝30°，∠BCP＝45°，
设AP＝x，则CP＝APtan∠ACP＝x33＝3x，
∵∠BCP＝45°，
∴BP＝CP，即3x＝200+x，
解得：x＝100+1003，
∴CP＝3x＝1003+300，
∵DE＝400，
∴QD＝QE﹣DE＝CP﹣DE＝1003+300﹣400＝1003﹣100，
∵CQQD＝34，
∴QDCD＝45，
则CD＝45QD＝45（1003﹣100）≈91.3（米），
故答案为：B．
【分析】作CP⊥BE于点P，作CQ⊥DE于点Q，设AP＝x，则CP＝APtan∠ACP＝x33＝3x，结合BP＝CP，即3x＝200+x，求出x的值，再求出QD＝QE﹣DE＝CP﹣DE＝1003+300﹣400＝1003﹣100，结合CQQD＝34，可得QDCD＝45，最后求出CD＝45QD＝45（1003﹣100）≈91.3（米）即可。
7．【答案】A
【知识点】垂线段最短；解直角三角形的应用；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，作EF⊥AB，CG⊥AB，
∴∠AGC=∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠ABD=90°，
∵AC=10， tanA=3， ，
∴CG=ACsinA=10×31010=310，
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∴∠A=∠BEF，
∴EF=BEcs∠BEF=BEcs∠A=1010BE，
∴CE+1010BE=CE+EF，
∴当C、E、F三点共线的时候，CE+EF有最小值，即 CE+EF=CG=310，
∴ CE+1010BE的最小值为310，
故答案为：A.
【分析】利用三角函数可知1010BE等于EF，再通过垂线段最短可知CE+1010BE的最小值等于CG的长.
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，作BD⊥OC于D，则船A离灯塔B的最近距离是BD的长．作AE⊥OB于E．
在直角△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠ABE＝∠BAD﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45°，AB＝4，
∴AE＝BE＝ 22AB＝2 2 ．
在直角△AOE中，∵∠AEO＝90°，∠AOE＝30°，
∴OE＝ AEtan∠AOE ＝ 2233 ＝2 6 ，
∴OB＝OE+BE＝2 6 +2 2 ．
在直角△BOD中，∵∠ODB＝90°，∠BOD＝30°，
∴BD＝ 12OB＝ 6 + 2 ．
故答案为：A．
【分析】作BD⊥OC于D，则船A离灯塔B的最近距离是BD的长．作AE⊥OB于E．解直角△ABE，求出AE＝BE＝ 22AB＝2 2 ．解直角△AOE，求出OE＝ AEtan∠AOE ＝ 2233 ＝2 6 ，那么OB＝OE+BE＝2 6 +2 2 ．再解直角△BOD，得出BD＝ 12OB＝ 6 + 2
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，
∵AC=30，∠CAB=30°，∠ACB=15°，
∴∠ABC=135°，
又∵BE=CE，
∴∠ACB=∠EBC=15°，
∴∠ABE=120°，
又∵∠CAB=30°
∴BA=BE，AD=DE，
设BD=x，
在Rt△ABD中，
∴AD=DE= 3 x，AB=BE=CE=2x，
∴AC=AD+DE+EC=2 3 x+2x=30，
∴x= 153+1 = 15(3−1)2 ≈5.49，
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图形，作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= 3 x，AB=BE=CE=2x，由AC=AD+DE+EC=2 3 x+2x=30，解之即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质；解直角三角形的应用；探索图形规律
【解析】【解答】∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1sin30°= 12 ，则B2C2= B2E2cs30° = 33=(33)1 ，
同理可得：B3C3= 13=(33)2 ，
故正方形AnBnCnDn的边长是： (33)n−1 ，
则正方形A2018B2018C2018D2018的边长是： (33)2017 ，
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可知四边相等，四个内角为直角，进而求出外角分别为30度60度，再利用锐角三角函数求出，探究规律
11．【答案】3.05
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥BE于点M，过点C作CN⊥BE于点N，过点A作AQ⊥CN于点Q，如图所示，则DM∥CN．
∵篮筐DP与支架PC都平行于地面BE，
∴四边形DMNC是平行四边形．
∵∠DMN=90°，
∴平行四边形DMNC是矩形．
同理可证：四边形AQNB是矩形．
∴DM=CN，QN=AB=2.5m，∠CAQ=115°-90°=25°．
在 Rt△ACQ 中，
∵sin∠CAQ=CQAC ，
∴CQ=AC•sin25∘≈1.30×0.42=0.546 ．
∴DM=CN=CQ+QN=0.546+2.50≈3.05 （米）．
故答案为：3.05．
【分析】先求出平行四边形DMNC是矩形，再利用锐角三角函数计算求解即可。
12．【答案】（1）40
（2）12.5
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形的应用；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（1）∵CE∥AB
∴∠ECB=∠ABF
∴tan∠ECB=tan∠ABF
∴BECE=AFAB
∴45CE=5448
∴CE=40（cm）
故答案为：40；
（2）如图2，延长AD，BE交于N，
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA
在△ABF和△BAN中
∠OBA=∠OABAB=AB∠FAB=∠ABN=90°
∴△ABF≌△BAN（ASA）
∴BN=AF=54（cm）
∴EN=9（cm）
∵tan∠N=DENE=ABBN
即DE9=4854
∴DE=8
∴CD=32（cm）
∵点H是CD的中点
∴CH=DH=16cm
∵CD∥AB
∴△AOB∽△DOC
∴COOB=CDAB=3248=23
如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，
∵HC=HD，HP⊥CD
∴∠PHD=12∠CHD=15°，CP=DP
∵sin∠DHP=PDDH =sin15°≈0.26
∴PD≈16×0.26=4.16
∴CD=2PD=8.32
∵COOB=CDAB=23
即8.32AB=23
∴AB=12.48≈12.5（cm）
故答案为：12.5.
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ECB=∠ABF，从而可得tan∠ECB=BECE=tan∠ABF=AFAB，据此即可求解；
（2）如图2，延长AD，BE交于N， 证明△ABF≌△BAN（ASA），可得BN=AF=54（cm），从而求出EN=BN-BE=9，由tan∠N=DENE=ABBN求出DE=8cm，继而得出CD=32（cm），由点H是CD的中点可得CH=DH=16cm，证明△AOB∽△DOC可得COOB=CDAB=3248=23 如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，根据等腰三角形的性质得∠PHD=12∠CHD=15°，CP=DP，由sin∠DHP=PDDH求出PD，即得CD，根据COOB=CDAB=23即可求出AB.
13．【答案】183；（52 3 ﹣78）
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，延长PQ交FC延长线于点M，
由题意可知：PM⊥AB，∠ABC＝60°，
∴∠QMB＝30°，
∵Q点是AB中点.
∴QB＝ 12 AB＝10cm，
∴BM＝2QB＝20cm，QM＝ 3 QB＝10 3 cm，
∵CE＝BE＝6cm，∠ABC＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC＝6cm，
∴BD＝CD﹣BC＝20﹣6＝14cm，
∴FM＝BM+BD+DF＝20+14+20＝54（cm），
∴PF＝ 33 FM＝18 3 （cm），
∴当视线PQ与屏幕AB垂直时，小红的眼睛距离桌面的高度PF等于18 3 cm，
∴PM＝2PF＝36 3 cm，
∴PQ＝PM﹣QM＝36 3 ﹣10 3 ＝26 3 （cm），
当∠P′QB＝75°时，P′F得最小高度，如图，延长P′Q交FC延长线于点N，
∴∠N+∠QBN＝∠P′QB，
∴∠N＝75°﹣60°＝15°，
∵∠QMB＝30°，
∴∠MQN＝15°，
∴∠MQN＝∠N＝15°，
∴MQ＝MN＝10 3 cm，
∴FN＝FM+MN＝（54+10 3 ）cm，
如图，过点Q作QH⊥BM于点H，
设OH＝xcm，则QM＝MN＝2xcm，MH＝ 3 xcm，
∴NH＝MN+MH＝（2x+ 3 x）cm，
∴tan15°＝ QHNH=P′FFN ，
∴tan15°＝ x2x+3x ＝2+ 3 ，
∴P′F＝（2+ 3 ）（54+10 3 ）＝（78﹣34 3 ）cm，
∴PP′＝PF﹣P′F＝18 3 ﹣（78﹣34 3 ）＝（52 3 ﹣78）cm.
故答案为：18 3 ；（52 3 ﹣78）cm.
【分析】延长PQ交FC延长线于点M，先证明△BCE是等边三角形，得BC＝6cm，再由BD＝CD﹣BC求得BD=14cm，进而求出FM=54cm，在含30°角的Rt△PMF，得PF＝ 33FM，求PF的长度即可；在含30°角的Rt△PMF中，得PM＝2PF＝363cm，进而求得PQ＝PM﹣QM＝263cm，当∠P′QB＝75°时，P′F得最小高度，再延长P′Q交FC延长线于点N，得∠N+∠QBN＝∠P′QB，求得∠N=15°，进而得∠MQN＝∠N＝15°，可得MQ＝MN＝103cm，进一步得FN=54+103cm，再过点Q作QH⊥BM于点H，设OH＝xcm，则QM＝MN＝2xcm，MH＝3xcm，NH=MN+MH＝（2x+3x）cm，根据tan15°＝QHNH=P'FFN=xx+3x，得P'F=（78﹣343）cm，再由PP′＝PF﹣P′F，代入数据求得PP′，PP′即为小红眼睛距离桌面的最大高度和最小高度的差.
14．【答案】（1）34
（2）176 米
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AQ于点E，
∵∠ADQ=∠QBD， ∠DQB=∠QAB，
∴△ADQ∽△QDB，
∴ADDQ=DQBD，
∴6+2DQ=DQ2，
∴DQ=4，
∴AQ= 82+42=45，BQ= 22+42=25，
∵∠AEB=∠QBD， ∠DQB=∠QAB，
∴△AEB∽△QDB，
∴AEDQ=BEBD=ABBQ，
∴AE4=BE2=625，
∴AE= 1255，BE= 655，
∴EQ=AQ-AE= 855，
∴tan∠AQB= BEEQ=655855=34；
故答案为： 34 ；
（2）如图，过NM中点O作OF⊥AB于点F，交AQ于点P，
∵守门员伸开双臂后，成功防守的范围为 52，
∴当MN= 52时才能确保防守成功，
∵ tan∠AQB= MNMQ=34，
∴MQ= 253，
∴ME=EQ-MQ= 855−253=14515，
∵∠MOP+∠APF=90°，∠QAD+∠APF=90°，
∴∠MOP=∠QAD，
∴tan∠MOP=tan∠QAD，
∴PMOM=DQAD=48=12，
∵OM= 12MN= 54，
∴PM= 12OM= 58，
∴OP= 58，
∴AP=EM+AE+PM= 83524，
∵PFAP=DQAQ=445=55，
∴PF= 8324，
∴OF=PF-OP= 176，
∴MN中点与AB的距离至少为 176米，
故答案为： 176米.
【分析】（1）过点B作BE⊥AQ于点E，先证出△ADQ∽△QDB，利用比例式求出DQ的长，从而求出AQ，BQ的长，再证出△AEB∽△QDB，利用比例式求出AE，BE的长，从而求出EQ的长，然后利用锐角三角函数定义即可求解；
（2）过NM中点O作OF⊥AB于点F，交AQ于点P，分别求出EM，PM，OP，PF的长，再利用OF=PF-OP求出OF的长，即可得出答案.
15．【答案】150；2503
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵点C在直线AE上，
∴∠EAB＋∠CAB＝180°，
∵∠EAB＋∠B＝180°，
∴∠CAB＝∠B，
∴AC＝BC，
如图，作AM⊥BC，垂足为M，
∴∠AMB＝∠AMC＝90°，
∵csB＝ 13 ，AB＝100，
∴AM＝AB•csB＝ 1003
∴BM＝ AB2−AM2 ＝ 20023 ，
∵AC＝BC，
在直角三角形AMC中，CM2＋AM2＝AC2，
∴（BC−BM）2＋AM2＝AC2＝BC2，
∴BC＝150（cm），
作CI⊥AB于I，DJ∥BC于J，
∵△ABC是等腰三角形，
∴BI＝AI＝50cm，
∵AB∥GH且A、H、C三点共线，
∴△ABC∽△HGC，
∴GHGC=BABC=23 ，
∴GH＝ 23 GC＝ 23 （BC−BG）= 2003 cm，
∵DJ∥BC，
∴∠ADJ＝∠B＝2∠DHG，
∵AB∥GH，
∴∠ADH＝∠DHG，
∴∠ADJ＝∠ADC−∠ADH＝∠DHG，
∴DJ＝HJ，
∵AB∥GH，DJ∥BC，
∴四边形BGJD是平行四边形，
∴DJ＝BG＝50cm，
∴HJ＝50cm，
∴BD＝GJ＝GH−HJ＝ 2003 −50＝ 503 cm，
∴AD＝AB−BD＝100− 503 ＝ 2503 cm.
故答案是：150； 2503 .
【分析】先根据补角性质得出∠CAB=∠B，作AM⊥BC，垂足为M，然后利用三角函数及勾股定理求出BC的长；作CI⊥AB于I ， DJ∥BC于J，由等腰三角形性质求出BI，再证明△ABC∽△HGC，利用相似三角形性质得GH的长，然后证明四边形BGJD是平行四边形，根据平行四边形的性质即可解答.
16．【答案】解：延长BC，DE交于点G，过点B作BF⊥AD于点F，如图所示：
则∠AFB=∠BFD=90°，
∵斜面AB的坡度为i=2：3，
∴设BF=2x，则AF=3x，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：BF2+AF2=AB2，
即(2x)2+(3x)2=(207)2，
解得：x=20，负值舍去，
即BF=2×20=40(m)，
∵BC为水平方向，DE为竖直方向，
∴∠BGD=90°，
∵∠BFD=∠FDG=∠BGD=90°，
∴四边形BFDG为矩形，
∴DG=BF=40m，
∵∠BCG=60°，
∴在Rt△DCG中，CG=BGtan∠DCG=40tan60°=403=4033(m)，
∵∠ECG=37°，
∴在Rt△ECG中，EG=CG×tan∠ECG=4033×tan37°=4033×34=103(m)，
∴DE=DG−EG=(40−103)m．
答：古树DE的高度为(40−103)m．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意利用勾股定理求出x=20，再求出四边形BFDG为矩形， 最后利用矩形的性质和锐角三角函数计算求解即可。
17．【答案】解：如图，延长DB交AN于点E，过点B作BF⊥AN于点F，延长DC交AN于点G，则∠AFB=90°．
在Rt△ABF中，由斜坡AM的坡度i=1：2.4知
∴BFAF=12.4，
∴AF=2.4BF，
∵AB=52，
∴由勾股定理，得AF2+BF2=AB2，
即(2.4BF)2+BF2=522．解得BF=20．
∴AF=2.4×20=48．
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠DEG=63.4°，
由tan∠DEG=BFEF，tan63.4°≈2.00，得EF=12BF=10．
∵CG⊥AN于点G，
∴∠AGD=90°．
在Rt△DEG中，∠DEG=63.4°，
由tan∠DEG=DGEG，tan63.4°≈2.00，得EG=12DG．
在Rt△DAG中，∠AGD=90°，∠DAG=45°，
∴∠ADG=45°，AG=DG．
∵AG=AF−EF+EG，
∴DG=48−10+12DG．
∴DG=76．
∴AG=76．
∵斜坡AM的坡度为i=1：2.4，
∴CGAG=12.4．
∴CG=762.4≈31.67．
∴DC=DG−CG=76−31.67≈44.3（米）．
答：基站塔高CD约为44.3米．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】做辅助线： 延长DB交AN于点E，过点B作BF⊥AN于点F，延长DC交AN于点G，在Rt△ABF中，已知AB和坡度利用勾股定理可求BF，AF，进而在Rt△BEF中可求EF；然后在Rt△DEG中利用 ∠DEG=63.4° 可得 EG=12DG ，进而在Rt△DAG中可得AG=DG=76， 然后在Rt△ACG中求出CG，最后利用DC=DG-CG即可求解。
18．【答案】解：过点P作PE⊥AD于点E，过点N作NO⊥BC于点O，如图，
根据题意，设 AB=PE=NO=a ， CG=CF=2×80=160 ，
∵LB为两块砖高度，BP为三块砖的长度，
∴LBPB=23 ，
由反射的性质，AB∥EP∥NO，
∴∠BLP=∠LPE=∠EPN=∠PNO，
∵∠B=∠PON=90°，
∴△BPL∽△OPN，
∴NOOP=LBPB=23 ，
∴OP=32a ，
同理可证△ONF∽△CGF，
∴NOOF=CGCF=1 ，
∴OF=NO=a ，
∵BC=BP+OP+OF+CF ， BC=80×25=2000 ，
∴BC=3×80+32a+a+160=2000 ，
解得 a=640 ；
∴AB的高度为640厘米；
∵CO=OF+CF=640+160=800 ，
又 AM=DN=CO=800 ，
∴MN=2000−2×800=400 ；
∴MN 的长度为400厘米；
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过P作PE⊥AD于点E，过N作NO⊥BC于点O，设AB=PE=NO=a，CG=CF=2×80=160，由题意得LBPB=23，由反射的性质知AB∥EP∥NO，根据平行线的性质得∠BLP=∠LPE=∠EPN=∠PNO，证△BPL∽△OPN，由相似三角形性质得OP=32a，同理OF=NO=a，再由BC=BP+OP+OF+CF=2000可求出a的值，根据CO=OF+CF可得CO，AM=DN=CO，据此不难求出MN.
19．【答案】（1）解：如图2，过A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM，垂足为F，过点C作CN⊥DE，垂足为N，
∴四边形CFMN是矩形，CN＝FM，
由题意可知，AC＝AB﹣CB＝130mm﹣40mm＝90mm，CD＝80mm，∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，
在Rt△CDN中，CN＝CD•sin∠CDE＝80× 32 ＝40 3 mm＝FM，
∠DCN＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠DCB＝80°，
∴∠BCN＝80°﹣30°＝50°，
∵AM⊥DE，CN⊥DE，
∴AM∥CN，
∴∠A＝∠BCN＝50°，
∴∠ACF＝90°﹣50°＝40°，
在Rt△AFC中，AF＝AC•sin40°＝90×0.643≈57.87（mm），
∴AM＝AF+FM＝57.87+40 3 ≈127.2（mm），
答：点A到直线DE的距离约为127.2mm；
（2）旋转后，如图3所示，根据题意可知∠DCB＝80°+10°＝90°，
在Rt△BCD中，CD＝80mm，BC＝40mm，
∴tanD＝ BCCD=4080 ＝0.500，
∴∠D≈26.6°，
因此旋转的角度约为：60°﹣26.6°＝33.4°，
答：CD旋转的角度约为33.4°．
【知识点】解直角三角形的应用；旋转的性质
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）先求出 tanD＝ BCCD=4080 ＝0.500， 再求出 ∠D≈26.6°， 最后计算求解即可。
20．【答案】（1）解：过点B作BG⊥DC于点G，
根据题意可得：DC⊥AC，AB⊥AC，AC=243米，∠FDB=30°，
∵DC⊥AC，AB⊥AC，BG⊥DC，
∴四边形GCAB为矩形，
∴BG=AC=243米，
∵DF⊥DC，BG⊥DC，
∴DF∥BG，
∴∠DBG=∠FDB=30°，
∴DG=BG⋅tan30°=24米，
∵CD长为49.6米，
∴CG=AB=CD−DG=49.6−24=25.6（米），
答：教学楼AB的高度为25.6米．
（2）解：连接EB并延长，交DF于点H，
∵CE=1.6米，CG=25.6米，
∴EG=CG−CE=24米，
∵DG=EG=24米， BG⊥DC，
∴BD=BE，
∴∠BEG=∠BDG=90°−30°=60°，DE=DG+EG=48米，
∴DH=DE⋅tan60°=483（米），
∵无人机以43米/秒的速度飞行，
∴离开视线EB的时间为：48343=12（秒），
答：无人机刚好离开视线EB的时间为12秒．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）根据题意先求出四边形GCAB为矩形，再利用矩形的性质求出BG=AC=243米， 最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）先求出EG=24米，再利用锐角三角函数求出DH的值，最后计算求解即可。
21．【答案】（1）解：过点C作CF⊥AD于点F，
设AE=xm，则BE=AB−AE=(3−x)m，
∵CE∥AD，
∴CF⊥CE，
∴四边形AECF为矩形，
∴AE=CF=xm，
在△CDF中，tan63.4°=tan∠CDF=CFDF≈2.00，即xDF≈2.00，
解得：DF≈x2，
∴CE=AF=AD+DF≈(2+x2)m，
在△BCE中，tan10°=tan∠BCE=BECE≈0.18，即3−x2+x2≈0.18，
解得：x≈2.4，
∵2.4米>2.3米，
∴此遮阳棚使得人进出时具有安全感．
（2）解：由（2）可得：AE=CF≈2.4m，
∴BE=3−2.4=0.6(m)，
在△BCE中，sin10°=sin∠BCE=BEBC≈0.17，即0.6BC≈0.17，
解得：BC≈3.5m，
答：此遮阳棚延展后的长度为3.5m．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】（1）利用矩形的判定求出四边形AECF为矩形， 再求出 DF≈x2， 最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）根据题意先求出BE=0.6m，再利用锐角三角函数求出 0.6BC≈0.17， 最后计算求解即可。
22．【答案】（1）90°
（2）解：过点B作BJ⊥OP于点J，过点E作EI⊥BJ交BJ于点I，
在RtΔBEI中，∠BEI=45°，
∴EIBE=cs45°=22，
∴EI=22×24=122cm.
在RtΔBJA中，∠BAJ=45°，
∴AJBA=22，
∴AJ=22×50=252cm，
由题意知，OP=120cm，AP=40cm，
∴AO=80cm，
∴ℎ=EI+AJ+AO=122+252+80=(372+80)cm；
（3）>
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）延长FE，HG交于M，延长BA，DC交于点N，则∠BMD即为EF与GH所在直线的夹角，
由题意得，∠BNC=90°，∠ABE=∠CDG=90°，
在四边形MBND中，∠BMD=360°−∠MBN−∠BND−∠NDM=90°；
故答案为：90°
（3）过点B作BK//OP，过点F作FK//BJ，BK，FK相交于点K，则BK⊥FK，
由（2）可得，△FBK≅ΔBEL，
∴BK=EI=FK，
∴w=2(FK+BJ)+AC=2×372+10=(742+10)cm<ℎ，
即：ℎ>w
故答案为：>．
【分析】（1）延长FE，HG交于M，延长BA，DC交于点N，则∠BMD即为EF与GH所在直线的夹角，再求出∠BMD的度数即可；
（2）过点B作BJ⊥OP于点J，过点E作EI⊥BJ交BJ于点I，先求出EI=22×24=122 ，∠BAJ=45°，再求出AJ=22×50=252，最后利用线段和差可得ℎ=EI+AJ+AO=122+252+80=(372+80)；
（3）过点B作BK//OP，过点F作FK//BJ，BK，FK相交于点K，则BK⊥FK，根据△FBK≅ΔBEL，可得BK=EI=FK，再求出w的值并比较即可。
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