初中数学苏科版（2024）九年级上册第1章 一元二次方程1.4 用一元二次方程解决问题当堂检测题

这是一份初中数学苏科版（2024）九年级上册第1章 一元二次方程1.4 用一元二次方程解决问题当堂检测题，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．某楼盘2016年房价为每平方米15600元，经过两年连续降价后，2018年房价为每平方米12400元．设该楼盘这两年房价每年平均降低率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．15600(1-2x)=12400B．2×15600(1-2x)=12400
C．15600(1-x)2=12400D．15600(1-x2)=12400
2．命题人“魔力”去参加同学聚会，每两个人相互赠送礼品，他发现共送礼40件，若设有x人参加聚会，根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
3．有一块长30m、宽20m的矩形田地，准备修筑同样宽的三条直路(如图)，把田地分成六块，种植不同品种的蔬菜，并且种植蔬菜面积为基地面积的．设道路的宽度为m，下列方程：①；②；③.其中正确的是( )
A．①②B．①③C．②③D．③
4．参加一次绿色有机农产品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，参加这次交易会的公司共有（ ）
A．9家B．10家C．22家D．23家
5．某水果园2020年水果产量为40吨，2022年水果产量为60吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率是，则根据题意可列方程为（ ）
A．B．C．D．
6．某电池厂2023年1～5月份的电池产量如图所示．设从1月份到3月份，该厂电池产量的平均月增长率为，根据题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆人次，前三个月累计进馆750人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
8．八年级班部分学生去春游时，每人都和同行的其他每一人合照一张双人照，共照了双人照片张，则同去春游的人数是（ ）
A．B．C．D．6
9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=20，CE=15，CF=7，AF=24，则BE的长为（ ）
A．10B．C．15D．
10．某小区附近新建一个游泳馆，馆内矩形游泳池的面积为，且游泳池的宽比长短．设游泳池的长为，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在宽为、长为的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要，则修建的路宽应为（ ）
A．B．C．D．
12．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共．若设主干长出x个支干，则可列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．某家用电器经过两次降价，每台零售价由1800元下降到1458元.若两次降价的百分率相同，设这个百分率为x，则可列出关于x的方程为 .
14．由于成本上涨，某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的50元涨到了72元．设平均每次涨价的百分率为x，则由题意可列方程为， ．
15．男篮世界杯小组赛，每两队之间进行一场比赛，小组赛共进行了6场比赛，设该小组有x支球队，则可列方程为 ．
16．如图，在一块长8m、宽6m的矩形绿地内，开辟出一块矩形的花圃，使花圃四周的绿地等宽，已知绿地的面积与花圃的面积相等，求花圃四周绿地的宽．设花圃四周绿地的宽为xm，可列方程为 (不需要化简)．

17．某商品连续两次降价后的价格比降价之前减少了，则平均每次降价的百分率
三、解答题
18．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．
(1)求出m的值；
(2)经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率．
19．全国各地都在推行新型农村医疗合作制度，村民每人每年交400元，就可以加入合作医疗，每年先由自己支付医疗费，年终时可得到按一定比例返回的返回款．小东与同学随机调查了他们镇的一些农民，根据收集到的数据绘制了以下的统计图．请根据以下信息解答问题：
(1)本次调查村民中参加合作医疗卫生人数占总调查人数的百分比 ，被调查的村民中，有 人参加合作医疗得到了返回款；
(2)该镇若有10000个村民，请你估计有多少人参加了合作医疗？
(3)要使两年后该镇村民参加合作医疗的人数增加到9680人，假设这两年的年增长率相同，求这两年的平均增长率？
20．维康药店购进一批口罩进行销售，进价为每盒40元，如果按照每盒50元的价格进行销售，每月可以售出500盒．后来经过市场调查发现，若每盒口罩涨价元，则口罩的销量每月减少10盒．
(1)维康药店要保证每月销售此种口罩盈利6000元，又要使消费者得到实惠，则每盒口罩可涨价多少元？
(2)若使该口罩的月销量不低于300盒，则每盒口罩的售价应不高于多少元？
21．某商店经销的某种商品，每件成本为30元.经市场调查，当售价为每件70元时，可销售20件.假设在一定范围内，售价每降低2元，销售量平均增加4件.如果降价后商店销售这批商品获利1200元，问这种商品每件售价是多少元？
22．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．

(1)求道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10125元？
23．如图，正方形中，点E、F分别在、上，是等边三角形．

(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若等边三角形的边长为2，求正方形的周长．
24．课本呈现：
问题探究：
(1)小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成证明；
(2)如图，将正方形沿图中虚线剪成①②③④四块图形（其中），用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），求的值．

参考答案：
1．C
【详解】分析：首先根据题意可得2017年的房价=2016年的房价×（1+增长率），2018年的房价=2017年的房价×（1+增长率），由此可得方程．
详解：解：设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意得：
15600(1-x)2=12400，
故选C．
点睛：本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
2．B
【分析】由于每两个人相互赠送礼品，所以x人共送礼件，据此即可列出方程.
【详解】解：设有x人参加聚会，根据题意可列方程，
故选：B.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、列出所需的方程是解题的关键.
3．C
【分析】设道路的宽度为xm，根据“种植蔬菜面积为基地面积的”列出方程进行判断即可．
【详解】解：设道路的宽度为xm，根据题意得
（30﹣2x）（20﹣x）=30×20×，故③正确；
∵种植蔬菜面积为矩形菜地面积的，
∴三条直路的面积为矩形菜地面积的，
根据题意得，故①错误，②正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，此类题在中考中比较常见，最简单的方法就是将道路平移到耕地的两侧，即可解决．
4．B
【分析】每家公司都与其他公司签订了一份合同，设有x家公司参加，那么每个公司都要签订（x-1）份合同，但每两家公司签订的合同只有一份，所以签订的合同共有份．
【详解】解：设有x家公司参加，依题意可得，
，
整理得：，
解得：．
答：共有10家公司参加商品交易会．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及不重复计数问题．两两之间互相签订合同，只能算一份，属于典型的不重复计数问题，解答过程中一定要注意舍去不符合题意的解．
5．A
【分析】根据2022年的产量=2020年的产量，即可列出方程．
【详解】解：根据题意列出方程为，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
6．B
【分析】
本题考查了一元二次方程的应用， 设从1月份到3月份，该厂家口罩产量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可，从折线统计图获取数据建立一元二次方程是解题的关键．
【详解】
解：依题意得：．
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于750，列方程即可．
【详解】解：设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程为，
故选D．
8．A
【分析】设同去春游的人数是人，由每人都和同行的其他每一人合照一张双人照且共照了双人照片36张，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设同去春游的人数是人，
依题意，得：，
解得：，（舍去）．
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．C
【详解】分析：根据平行四边形的面积，可得设 则在Rt中，用勾股定理即可解得.
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∴
设 则
在Rt中，
即
解得（舍去），

故选C．
点睛：考查了平行四边形的面积，平行四边形的性质，勾股定理等，难度较大,根据面积得出是解题的关键.
10．A
【分析】因为游泳池的长为xm，那么宽可表示为（x-10）m，根据面积为300，即可列出方程．
【详解】解：因为游泳池的长为xm，那么宽可表示为（x-10）m；
则根据矩形的面积公式：x（x-10）=300；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握“矩形面积=长×宽”是关键．
11．C
【分析】要求修建的路宽，就要设修建的路宽应为x米，根据题意可知：(矩形的宽-路宽)×(矩形的长-路宽) =耕地面积，依此列出等量关系解方程即可．
【详解】解：设修建的路宽应为x米
根据等量关系列方程得：(20-x)(30-x) =504，
解得：（不合题意，舍去），
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
12．B
【分析】根据题意，若设主干长出x个支干，则根据主干、支干和小分支总数共，列出方程即可．
【详解】解：设主干长出x个支干，则x个支干长出个小分支，
根据题意，得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意列出一元二次方程是解题的关键．
13．1800(1-x)2=1458
【分析】设家用电器平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是1800（1﹣x），第二次后的价格是1800（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【详解】设降价的百分率为x，根据题意列方程得：
1800（1-x）2=1458
故答案为1800（1-x）2=1458．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
14．
【分析】可先表示出第一次涨价后的价格，然后可得第二次涨价后的价格，根据两次连续涨价，每件售价由原来的50元涨到了72元列方程即可．
【详解】解：设平均每次涨价的百分率为x，
则第一次涨价后的价格为，第二次涨价后的价格为，
∴可列方程为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
15．/
【分析】设该小组有x支球队，根据每两队之间进行一场比赛，可知共比赛了场，由此列一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设该小组有x支球队，
由题意知：，
整理，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据等量关系列出一元二次方程．
16．(8-2x)(6-2x)= ×8×6
【分析】根据题意，即可得到矩形花圃的面积为矩形的一半，根据题意表示出矩形花圃的宽和长，根据矩形的面积列出等式即可．
【详解】解：矩形花圃的宽为6-2x，矩形花圃的长为8-2x，
∵绿地的面积与花圃面积相等，
∴（6-2x）（8-2x）=×8×6，
故答案为：（6-2x）（8-2x）=×8×6.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为，利用原价平均每次降价的百分率）经过连续两次降价后的价格（原价当成，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
平均每次降价的百分率是．
故答案为：．
18．(1)10
(2)所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为
【分析】（1）根据“每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．”列出方程，即可求解；
（2）根据题意，得小颖号召了n人.小丽号召了（n+2）人，小红号召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人，从而得到小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，再根据“小红的成功率比小颖的两倍少10%，”列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：
m（m+1）+m+1=121，即（m+1）2=121，
∴m+1=±11，
解得：m1=10，m2=-12（舍去）
答：m的值为10；
（2）解：根据题意，得小颖号召了n人，小丽号召了（n+2）人，小红号召了[17-（n+2）-n]=（15-2n）人，
∴小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，
∵小红的成功率比小颖的两倍少10%，
∴，
解得：n=4，
∴所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，
答：所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
19．(1)80%，16；(2)该镇估计有8000人参加了合作医疗；(3)估计有8000人参加了合作医疗，年增长率为10%．
【分析】（1）用参加合作医疗卫生人数除以总人数；用参加合作医疗卫生人数乘以得到返回款的比例；
（2）用10000乘以参加合作医疗卫生人数占总调查人数的百分比；
（3）设出增长率，列出方程求得增长率即可．
【详解】解：(1)共调查了320+80＝400(人)．
∴本次调查村民中参加合作医疗卫生人数占总调查人数的百分比是＝80%，
参加合作医疗得到了返回款的人数320×5%＝16人；
故答案为80%，16；
(2)10000×80%＝8000(人)；
答：该镇估计有8000人参加了合作医疗；
(3)设年增长率为x，由题意知8000×(1+x)2＝9680，
解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1(舍去)，
即年增长率为10%．
答：年增长率为10%．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．
20．(1)每盒口罩可涨价5元；
(2)每盒口罩的售价应不高于60元．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用．
（1）设每盒口罩需涨价x元，根据“每盒口罩涨价元，则口罩的销量每月减少10盒”表示出销售量，由售价-进价=利润列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设每盒口罩的售价为m元，由关键描述语“该口罩的月销量不低于300盒”列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每盒口罩可涨价x元，
由题意，得：，
解得：，
要使消费者得到实惠，则取．
答：每盒口罩可涨价5元；
（2）解：设每盒口罩的售价为m元，
则，
解得：．
答：每盒口罩的售价应不高于60元．
21．每件商品售价60元或50元时，该商店销售利润达到1200元.
【分析】根据题意得出，(售价-成本)(原来的销量+2降低的价格)=1200，据此列方程求解即可.
【详解】解：设每件商品应降价元时，该商店销售利润为1200元.
根据题意，得
整理得：，
解这个方程得：，.
所以，或50
答：每件商品售价60元或50元时，该商店销售利润达到1200元.
【点睛】本题考查的知识点是生活中常见的商品打折销售问题，弄清题目中的关键概念，找出题目中隐含的等量关系式是解决问题的关键.
22．(1)道路的宽为5米
(2)每个车位的月租金上涨25元时，停车场的月租金收入为10125元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键．
（1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；
（2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可；
【详解】（1）解：根据道路的宽为米，
则，
整理得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为5米．
（2）解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为10125元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
答：每个车位的月租金上涨25元时，停车场的月租金收入为10125元．
23．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明，得到，即可得证；
（2）根据等边三角形的性质，等边对等角和平角的定义进行求解即可；
（3）勾股定理求出的长，设，根据，得到的长，再利用勾股定理求出的值，即可．
【详解】（1）证明：∵正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，即：；
（2）由（1）知，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴；
（3）∵的边长为，
∴，
在中，，
∴，
设，则：，
在中，，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∴正方形的周长．
【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，一元二次方程和二次根式的混合运算．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图2，则，，待定系数法求得直线的解析式为：，当时，，可知点在直线的下方，当时，，可知点在直线的上方，进而可得拼合的长方形内部有空隙；
（2）如图3，由拼图前后的面积相等得：，整理得：，由，可得，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图2，

∵，，
设直线的解析式为：，
将代入，解得，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴点在直线的下方，
当时，，
∴点在直线的上方，
∴拼合的长方形内部有空隙；
（2）解：如图3，

由拼图前后的面积相等得：，
整理得：，
∵，
∴，
解得：或（负值不合题意，舍去）．
∴的值为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，完全平方公式，一元二次方程的应用．解题的关键在于理解题意以及对知识的灵活运用．
直觉的误差
有一张的正方形纸片，面积是．把这张纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是四边形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了，这是为什么？
小明给出如下证明：如图2，可知，，，
∵，∴．
∵，∴，∴．
因此、、三点不共线．同理、、三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
B
A
B
D
A
C
A
题号
11
12








答案
C
B