高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线同步测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线同步测试题，共19页。试卷主要包含了双曲线定义，双曲线标准方程和几何性质，渐近线求法结论，渐近线的一些二级结论，离心率，焦点三角形与正弦定理，焦点三角形面积公式等内容，欢迎下载使用。

1.双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0).
2.双曲线标准方程和几何性质
性质：
①动点P到同侧焦点F2的距离最小值为：|PF2|最小＝|A2F2|＝c－a；
②焦点到渐近线的距离为：|F2M|＝b；
4.渐近线求法结论：
可直接令方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)等号右边的常数为0，化简解得；
可巧设共渐近线双曲线：
与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ (λ≠0)．
5.渐近线的一些二级结论：
（1）焦点到渐近线的距离为b
（2）定点到渐近线的距离为
（3）准线与对称轴的交点到渐近线的距离为
（4）双曲线的焦点在渐近线上的射影对十周两定点的张是直角
（5）双曲线的定点在渐近线上的射影对两准线与对称轴的交点张直角
（6）一直线交双曲线的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M，则.
（7）过双曲线上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，O为坐标原点则有如下结论：
①OM·ON=a2+b2；②；③
7.离心率：
①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
8.焦点三角形与正弦定理
设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
9.焦点三角形面积公式
双曲线（a＞0,b＞）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.
【题型一】求轨迹
【典例分析】
已知定点，动点Q在圆O：上，PQ的垂直平分线交直线 OQ于M点，若动点M的轨迹是双曲线，则m的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式训练】
1.圆的半径为定长，是圆所在平面上与不重合的一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是________
①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤一个点
2.已知定点，，是圆：上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是
A．直线B．圆
C．椭圆D．双曲线
3.已知圆及点，为圆周上一点，的垂直平分线交直线于点，则动点的轨迹方程为__________．
河北省阜城中学2017-2018学年高二上学期第五次月考数学（文）试题
【题型二】方程与图像
【典例分析】
（2021·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）已知实数，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.已知曲线，点为曲线上任意一点，若点，，则面积的最大值为______．
2.方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：①在上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是；④的图像不经过第一象限，其中正确结论的个数是___________
3.若直线与曲线有且仅有三个交点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【题型三】求双曲线的方程
【典例分析】
在矩形中，，，把边AB分成n等份，在的延长线上，以的n分之一为单位长度连续取点.过边AB上各分点和点作直线，过延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，如图建立平面直角坐标系，则点P满足的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1.若实轴长为2的双曲线上恰有4个不同的点满足，其中，，则双曲线C的虚轴长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线（，）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3.如图，双曲线：（，）的左、右焦点为，，过，作圆：的切线，四条切线围成的四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【题型四】双曲线第一定义
【典例分析】
设是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值是（ ）.
A．4B．5C．6D．3
【变式训练】
1..已知双曲线：，分别是双曲线的左、右焦点，为右支上一点，在线段上取“的周长中点”，满足，同理可在线段上也取“的周长中点”.若的面积最大值为1，则________．
2.．已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于__________.
3.已知分别为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，关于直线的对称点为关于直线的对称点为，则当最小时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【题型五】 双曲线焦半径（第二定义）
【典例分析】
若点P为双曲线上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线的距离之比为离心率e，若C的右支上存在点Q，使得Q到左焦点的距离等于它到直线的距离的6倍，则双曲线的离心率的取值范围是______．
【变式训练】
1.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为________．
2.已知为双曲线(，)左支上一点，，为其左右焦点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3.已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与在第一象限的交点为，直线与交于另一点．若的面积为，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【题型六】双曲线第三定义
【典例分析】
已知双曲线与直线交于两点，点为上一动点，记直线的斜率分别为，曲线的左、右焦点分别为．若，且的焦点到渐近线的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．曲线的离心率为
C．若，则的面积为
D．若的面积为，则为钝角三角形

【变式训练】
1.已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则
A．B．
C．2D．-2
2.已知平行四边形的四个顶点均在双曲线上，为坐标原点，为线段的中点且的斜率之积为3，则双曲线的离心率为_________.
3.在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________
【题型七】双曲线渐近线
【典例分析】
已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是（ ）
A．B．
C．D．

【变式训练】
已知双曲线，过轴上点的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），直线
2.如图，设，是双曲线的左、右焦点，过点作渐近线的平行线交另外一条渐近线于点，若的面积为，离心率满足，则双曲线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3.已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A．B．3C．D．4
【题型八】焦点三角形
【典例分析】
已知､分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线的渐近线的距离为2，点在双曲线上，且，则三角形的面积为___________.
【变式训练】
1.已知的顶点，分别为双曲线左、右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于__________．
2.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A．x21B．
C．D．
3.双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（ ）
A．B．C．32D．42
【题型九】离心率1：焦点直角三角形型
【典例分析】
已知双曲线的左、右焦点分别为 ，点在双曲线上．若为直角三角形，且，则双曲线的离心率为 _______________________ ．
【变式训练】
1.如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2.已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）
A．B．2C．D．
3.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，四边形的周长与面积满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【题型十】离心率2：双三角形余弦定理型
【典例分析】
双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，直线l过F1与C的左支和右支分别交于A，B两点，是等边三角形，若x轴上存在点Q且满足，则C的离心率为___________.
【变式训练】
1.已知双曲线的左、右焦点分别为，设过的直线与的右支相交于两点，且，，则双曲线的离心率是______.
2.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线于P，Q两点，且，，则双曲线的离心率为________.
3..已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.
【题型十一】离心率3：共焦点椭圆与双曲线
【典例分析】
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则
A．B．
C．D．
【变式训练】
1.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．3C．6D．
2..我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知、是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是
A．B．C．D．2
3.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【题型十二】离心率4：焦点弦定比分点
【典例分析】
已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，且，则双曲线C的离心率的取值范围为________．
【变式训练】
1.已知双曲线的左、右焦点分别是、，是其右支上的两点，，则该双曲线的方程是（ ）
A．B．C．D．
2.已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
3.已知F1、F2是双曲线E ：( a >0， b >0）的左、右焦点，过F1的直线与双曲线左、右两支分别交于点P、Q．若，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【题型十三】焦点三角形内心
【典例分析】
已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1.已知F1，F2分别为双曲线的左焦点和右焦点，过F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，△AF1F2的内切圆半径为r1，△BF1F2的内切圆半径为r2，若r1=2r2，则直线l的斜率为（ ）
A．1B．C．2D．
2.过双曲线的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B.已知O为坐标原点，若△OAB的内切圆的半径为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．或4D．或2
3.已知双曲线：，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的第一象限内的点，点为的内心，的面积的取值范围是__________．
【题型十四】计算之小题大做：韦达定理
【典例分析】
.已知双曲线，直线l经过C的左焦点F，与C交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．则C离心率的取值范围是______．
【变式训练】
双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【题型十五】计算之小题大做：暴力计算
【典例分析】
如图所示，，是双曲线上的三个点，点，关于原点对称，线段经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，（为坐标原点）．若直线与的左支有交点，则的离心率的取值范围为______．
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1．双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（ ）
A．B．C．或D．
2．在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（ ）．
A．一条线段B．一条射线C．一个椭圆D．双曲线的一支
3．若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
4．若动圆与圆和圆都外切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．双曲线的一支B．圆
C．抛物线D．双曲线
5．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，点M与C的焦点不重合，点M关于的对称点分别为A，B，线段MN的中点Q在C的右支上．若，则C的实轴长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
6．已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
7．双曲线的左右焦点分别是，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限交于点A，在第二象限交于点B，若，则双曲线的离心率为_______________．
8．已知双曲线方程，为双曲线的右焦点，则的取值范围是___________.
9．过双曲线的左焦点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，过A，B分别作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q.若，则双曲线的离心率为___________.
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与y轴的正半轴交于点B，连接，，分别交双曲线的渐近线于点E，F.若四边形OFBE为平行四边形，则该双曲线的离心率为______.
培优第二阶——能力提升练
1．如图，已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝1，则双曲线的离心率是（ ）
A．3B．2C． D．
2．已知双线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M在C的右支上运动，的内心为I，若，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
3．若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的焦距为（ ）
A．8B．10C．12D．16
4．已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为，则正实数的值为（ ）
A．8B．4C．1D．
5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
6．已知F为双曲线C：的左焦点，过F作圆的切线，切点为T，延长FT交C于点P，若M为线段FP的中点，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为________．
8．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点 之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程 的解为____________
9．已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为 __．
10．过抛物线上一点P(4，4)作两条直线PA，PB（点A,B在抛物线上），且它们的斜率之积为定值4，则直线AB恒过定点____.
培优第三阶——培优拔尖练
1．已知双曲线：(，)的一条渐近线被圆截得的线段长不小于8，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线的右焦点为F，，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，且，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则的最大值为（ ）
A．48B．49C．50D．42
3．已知双曲线：，若存在斜率为1的直线与的左､右两支分别交于点，，且线段的中点在圆：上，则的离心率的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
4．双曲线与直线相交于两个不同的点，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
5．双曲线的右焦点为，设、为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．4B．2C．D．
6．已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知双曲线：的右焦点为，以为圆心，以为半径的圆交双曲线的右支于，两点（为坐标原点），的一个内角为，则双曲线的离心率为_______．
8．设，为椭圆：与双曲线的公共左、右焦点，椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，是以线段为底边的等腰三角形，且．若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是_______．
9．已知双曲线G的方程，其左、右焦点分别是，，已知点P坐标为，双曲线G上点，满足，则______．
10．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M，N两点（点M位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为___________.标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1 (a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
实轴|A1A2|＝2a；虚轴|B1B2|＝2b；
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
【提分秘籍】
基本规律
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.
【提分秘籍】
基本规律
双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0)
【提分秘籍】
基本规律
第二定义与焦半径（了解）：若点P为双曲线上任意一点，则P满足性质：点P到右焦点的距离与它到直线的距离之比为离心率e，
双曲线（a＞0,b＞）的焦半径公式：( ,
当在右支上时，,.
当在左支上时，,
【提分秘籍】
基本规律
第三定义：AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.
中点性质：
AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
【提分秘籍】
基本规律
（1）焦点到渐近线的距离为b
（2）定点到渐近线的距离为
（3）准线与对称轴的交点到渐近线的距离为
（4）双曲线的焦点在渐近线上的射影对十周两定点的张是直角
（5）双曲线的定点在渐近线上的射影对两准线与对称轴的交点张直角
（6）一直线交双曲线的渐近线于A.B两点。A,B的中点为M，则.
（7）过双曲线上任意一点P做切线，分别角两渐近线于M,N两点，O为坐标原点则有如下结论：
①OM·ON=a2+b2；②；③
【提分秘籍】
基本规律
双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．
【提分秘籍】
基本规律
共焦点椭圆与双曲线
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则．
【提分秘籍】
基本规律
【提分秘籍】
基本规律
焦点三角形的内切圆与双曲线实轴切于实轴定点。且圆心在过定点垂直与实轴的直线上。