人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆课后复习题

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解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
直线与椭圆的位置关系：
判别式法，即将直线方程与圆锥曲线方程联立消去一个变量(如y)得出方程Ax2＋Bx＋C＝0：
①Δ＞0⇔有两个交点(相交)；②Δ＝0⇔有一个交点(相切)；③Δ＜0⇔没有交点(相离)．
(2)弦长问题：弦长公式＋韦达定理，即|AB|＝eq \r(1＋k2)·| x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·| y1－y2|.
(3)中点问题：点差法，即设点代入，然后作差，可以解决中点坐标与直线斜率之间的关系.
(4)巧设直线：
反设直线法，即过x轴上一点(a,0)的直线可设为x＝ty＋a，这样可避免对直线斜率存在性的讨论．
【题型一】 求椭圆方程
【典例分析】
求经过点和的椭圆的标准方程，并画出图形．
【变式训练】
1.已知椭圆C：过点，点A为其左顶点，且AM的斜率为，求椭圆C的方程．
2.求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别为，并且椭圆经过点．
(2)已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上，求C的方程．
【题型二】与椭圆有关的求轨迹
【典例分析】
已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程．

【变式训练】
1.已知圆的方程x2＋y2＝25，点A为该圆上的动点，AB与x轴垂直，B为垂足，点P分线段BA的比BP：PA=.
（1）求点P的轨迹方程并化为标准方程形式；
（2）写出轨迹的焦点坐标和准线方程.
2..设、分别为椭圆：的左、右两个焦点
（Ⅰ）若椭圆上的点到、两点的距离之和等于6，写出椭圆的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点M的轨迹方程.
3.一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程．

【题型三】 椭圆大题基础：韦达定理
【典例分析】
已知椭圆，点，C分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点的直线l（不与x轴重合）交M于A，B两点．
(1)求M的离心率及短轴长；
(2)是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

【变式训练】
1.已知椭圆：的上顶点为B，右焦点为F，直线与椭圆交于两点，若椭圆的右焦点恰好为的垂心，则直线的方程为____________．
【题型四】椭圆弦长
【典例分析】
椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且长轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求弦长.
【变式训练】
1.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为且过点，
(1)求椭圆的标准方程；
(2)倾斜角为45°的直线过椭圆的右焦点交椭圆于､两点，求
2.．已知椭圆的上顶点与椭圆的左，右顶点连线的斜率之积为．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，，求椭圆C的标准方程．
【题型五】 弦椭圆中点与中点弦
【典例分析】
已知椭圆C：的左右焦点分别为，，且，与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在C上．
(1)求C的方程；
(2)若过点的直线l交C于A，B两点，且M是AB的中点，求直线的斜率．
【变式训练】
1..已知椭圆C∶经过点，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.求椭圆C的标准方程；
2.已知椭圆的焦距为4，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的中点P在圆上，求m的值．
【题型六】 椭圆常规求面积
【典例分析】
.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆的右焦点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积.

【变式训练】
已知椭圆，直线与椭圆交于，两点，且的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)当时，斜率为的直线交椭圆于，两点（，两点在直线的异侧），若四边形的面积为，求直线的方程．
【题型七】直线过定点
【典例分析】
已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点A，B，与轴交于点E，线段AB的中点为P，直线过点E且垂直于（其中O为原点），证明直线过定点.

【变式训练】
1..已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．
(1)求直线的斜率k的取值范围；
(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．
【题型八】椭圆中的面积最值范围型
【典例分析】
已知点､分别是椭圆C：）的左､右焦点，点P在椭圆C上，当∠PF1F2=时，面积达到最大，且最大值为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l：与椭圆C交于A､B两点，求面积的最大值.

【变式训练】
已知椭圆：的长轴长为4，左、右顶点分别为，，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)求四边形面积的最大值；
【题型九】椭圆中的定值求解与证明
【典例分析】
已知椭圆的离心率为，若与圆相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为．
(1)求的值；
(2)过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值．
【变式训练】
已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
【题型十】椭圆中斜率定值
【典例分析】
已知分别是椭圆的左､右顶点，分别是的上顶点和左焦点.点在上，满足.
(1)求的方程；
(2)过点作直线（与轴不重合）交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.
【变式训练】
设椭圆：的离心率为，焦距为2，过右焦点的直线与椭圆交于A，两点，点，设直线与直线的斜率分别为，.
(1)求椭圆的方程；
(2)随着直线的变化，是否为定值？请说明理由.
【题型十一】椭圆：a=tb型
【典例分析】
已知、是椭圆的左、右两个焦点，其中，为坐标原点．
(1)以线段为直径的圆与直线相切，求的离心率；
(2)设为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点．若椭圆的焦距为，且，求的值．
【变式训练】
.设，分别是椭圆：的左、右焦点，的离心率为，点是上一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线交椭圆E于A，B两点，且，求直线的方程.
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在轴上，中心为坐标原点，经过点，.
（2）以点，为焦点，经过点.
2.已知点满足条件，求点的轨迹的方程.
3.椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过点，倾斜角为直线l与椭圆交于B，C两点，求．
4.已知椭圆：的左､右焦点分别为，，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，的中点坐标为.求椭圆的标准方程；
5.．在平面直角坐标系中，椭圆：与椭圆有相同的焦点，，且右焦点到上顶点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过椭圆左焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求的面积．
6.已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右顶点为B，上顶点为C，的内切圆的半径为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)点M为直线上任意一点，直线AM，BM分别交椭圆E于不同的两点P，Q．求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．
7.已知椭圆的上顶点E与其左、右焦点构成面积为1的直角三角形．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交C于两点，P是C上的动点，当时，求面积的最大值．
8.已知椭圆的长轴的两个端点分别为离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线垂直的直线记为l，直线交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值．
9.已知椭圆经过点 ，离心率为，过点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和 ，求证：为定值
10.椭圆经过点，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的右焦点作直线交于，两点，且，求．
培优第二阶——能力提升练
1..已知椭圆（）的离心率为，，是椭圆的两个顶点，如果左焦点F到直线AB的距离为，求该椭圆的方程．
2.如图，已知A，B是两定点，且．动点M到点A的距离是4，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，求当M变化时，动点P的轨迹方程．
3.已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程．
4.已知动点与平面上点，的距离之和等于.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若经过点的直线与曲线交于，两点，且点为的中点，求直线的方程.
5.已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．
6.已知点在椭圆C：（）上，椭圆C的左､右焦点分别为F1，F2，的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆O：（）相切，试判断直线AB是否过定点，并证明你的结论.
7.已知椭圆的离心率，点在椭圆C上．A，B分别为椭圆C的上下顶点，动直线l交椭圆C于P，Q两点，满足AP⊥AQ，AH⊥PQ，垂足为H．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求面积的最大值．
8..已知椭圆．
(1)若过椭圆的一个焦点引两条互相垂直的弦、．求证：是定值；
(2)若、在椭圆上且．求证：是定值．
9.已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
10.已知椭圆C：，，且椭圆C右焦点为，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过的直线l交椭圆C于A，B两点，若，求直线l的方程.
培优第三阶——培优拔尖练
1.已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为，求椭圆的标准方程；
2.已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程
3.已知直线：与椭圆：交于，两点．
(1)求的取值范围；(2)若，求的值．
4..已知椭圆：的左右焦点分别为，，且椭圆点任意一点满足.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的中点Р在直线上，求m的值.
5.已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．
6.设分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标.
7.已知，​为椭圆​的左、右焦点，点 ​为其上一点，且​.
(1)求椭圆 ​的标准方程；
(2)过点​的直线​与椭圆​相交于​两点，点​关于坐标原点​的对称点​，试问​的面积是否存在最大值? 若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
8.已知椭圆的左､右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.
9.已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和.
(1)求的方程；
(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值.
10.已知椭圆：的离心率为，且过点．右焦点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过右焦点为的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程．【提分秘籍】
基本规律
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性
质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
【提分秘籍】
基本规律
1.定义法：根据椭圆的定义来求轨迹方程
2.方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1，当m＝n>0时表示圆；当m>n>0或n>m>0时表示椭圆；当mn0，b>0)上两点，M为A,B中点，则（可用点差法快速证明）
【提分秘籍】
基本规律
圆锥曲线中求面积常规类型
（1）
(2)三角形恒过数轴上的定线段，可分为左右或者上下面积，转化为
(3)三角形恒过某定点，可分为左右或者上下面积，转化为
（4）四边形面积，注意根据题中条件，直接求面积或者转化为三角形面积求解。
【提分秘籍】
基本规律
直线过定点
1、直线多为y=kx+m型
2.目标多为求：m=f（k），则y=kx+f（k）
3.一些题型，也可以直接求出对应的m的值
【提分秘籍】
基本规律
1.可以借助均值不等式求最值。
2.分式型，多可以通过构造来求最值，如下几种常见的。
（1）
（2）与型，可以设mx+n=t，换元，简化一次项，然后构造均值或者对勾函数求解。
（3）型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解
【提分秘籍】
基本规律
求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【提分秘籍】
基本规律
弦长a=tb型
1.利用公式，可消去参数
2.可以直接借助韦达定理反解消去两根