人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课后测评

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【题型一】空间向量基底
【典例分析】
（2022·全国·高二课时练习）已知是空间的一组基底，则下列向量中能与，构成一组基底的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量共面基本定理可知，，均与，共面即可得出答案.
【详解】因为，，，
所以由空间向量共面基本定理可知，，均与，共面，不能构成一组基底，故A、B、D错误，C正确.
故选：C．
【变式训练】
1.（2023·全国·高二专题练习）已知是空间一个基底，，，一定可以与向量，构成空间另一个基底的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论．
【详解】由题意和空间向量的共面定理，
结合向量（）+（）＝2，
得与是共面向量，
同理与是共面向量，
所以与不能与、构成空间的一个基底；
又与和不共面，
所以与、构成空间的一个基底．
故选：C．
2.（2021·全国·高二课时练习）若为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】A：分析得到向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
B：分析得到向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
C：分析得到 是不共面向量，因此能构成一组基底，
D：分析得到向量是共面向量，因此不能构成一组基底.
【详解】A：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
B：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
C：因为为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若不构成一组基底，则有，所以向量是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此能构成一组基底，
D：因为，所以向量是共面向量，因此不能构成一组基底.故选：C.
3.（2021·上海市松江二中高二期中）已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】C
【解析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明、、三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明中的向量不共面
【详解】解：，，，共面，不能构成基底，排除；
，，，共面，不能构成基底，排除；
，，，共面，不能构成基底，排除；
若、，共面，则，则、、为共面向量，此与为空间的一组基底矛盾，故、，可构成空间向量的一组基底．
故选：．
【题型二】基底表示向量
【典例分析】
（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则等于（ ）
A．B．
C．-D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的线性运算法则计算求解.
【详解】因为点P在A1C上，且A1P：PC=2：3，所以所以
故选：B.

【变式训练】
1.（2022·全国·高二课时练习）已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果.
【详解】设在基底下的坐标为，
则，
所以，解得，故在基底下的坐标为.故选：B.
2.（2022·全国·高二专题练习）如图的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BMBB1，D1ND1D，若，则x+y+z＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量的三角形法则、向量的运算性质即可得出.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：B．
3.（2022·全国·高二课时练习）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的基本定理，结合中点的性质求解即可
【详解】 ，
其中 为中点，有 ，故可知 ，
则知 为 的中点，故点 满足 ， ．
故选：A
【题型三】共面
【典例分析】
（2022·全国·高二课时练习）已知空间中四个点，，，，为空间的一组基底，则下列说法正确的是（ ）
A．，，，四点共线
B．，，，四点共面，但不共线
C．，，，四点不共面
D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的基底分析判断即可.
【详解】∵为空间的一组基，
∴，，三个向量不共面，即O，A，B，C四点不共面．而，，不一定为单位向量，
∴ABD错误，C正确，
故选：C．

【变式训练】
1.（2021·全国·高二课时练习）已知空间四点，，，共面，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求得、、的坐标，根据题意可知存在实数、，使得，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，进而可求得实数的值.
【详解】依题意得，，，
、、、四点共面，、、共面，
存在实数、，使得，
即，所以，解得.故选：D.
2.（2022·重庆市巫山大昌中学校高二期末）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在使得，由此得出正确选项.
【详解】不妨设.
对于A选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故A选项错误.
对于B选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故B选项错误.
对于C选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故C选项错误.
对于D选项，，由于的竖坐标为，故在平面上，也即四点共面.下面证明结论一定成立：
由，得，
即，故存在，使得成立，也即四点共面.
故选：D.
3.（2022·全国·高二期末）已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.
【详解】设，若点与点共面,,则，只有选项D满足，.故选D.
【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点与点共面时，且,则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
【题型四】 空间向量概念综合
【典例分析】
（2022·全国·高二）下列命题中正确的个数是（ ）．
①若与共线，与共线，则与共线．
②向量，，共面，即它们所在的直线共面．
③如果三个向量，，不共面，那么对于空间任意一个向量，存在有序实数组，使得．
④若，是两个不共线的向量，而（且），则是空间向量的一组基底．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】举例，判断①，由向量共面的定义判断②，由空间向量基本定理判断③，由共面向量定理和空间向量基本定理判断④．
【详解】①当时，与不一定共线，故①错误；
②当，，共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内，
故②错误；
由空间向量基本定理知③正确；
④当，不共线且时，，，共面，故④错误．
故选：B．
【变式训练】
1.（2021·广东·顺德市李兆基中学高二期中）以下命题
①是共线的充要条件；
②若是空间的一组基底，则是空间的另一组基底；
③．
其中正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】①共线，反之不成立，即可判断出结论；
②利用基底的定义即可判断出真假；
③，即可判断出真假．
【详解】①，共线，反之不成立，
是，共线的充分不必要条件，因此不正确；
②若，，是空间的一组基底，假设共面，
则存在唯一一组实数，使成立，
即，
所以，显然无解，
假设不成立，即不共面，
则，，是空间的另一组基底，正确；
③，而不一定等于1，
因此不正确．
其中正确的命题有一个．
故选：．
2.（2019·安徽·阜阳市第三中学高二期末（理））以下四个命题中正确的是（ ）
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底
C．为直角三角形的充要条件是
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
【答案】B
【分析】根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析，，可判断这三个结论的正误；根据向量垂直的充要条件，及直角三角形的几何特征，可判断的真假.
【详解】对A，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，中忽略三个基底不共面的限制，故A错误；
对B，若为空间向量的一组基底，则三个向量互不共面；则，也互不共面，故可又构成空间向量的一组基底，故正确；
对C，的为直角为直角三角形，但为直角三角形时，可能为锐角，此时，故C错误；
对D，任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，故D错误；
故选：B．
3.（2022·全国·高二课时练习）在以下命题中，不正确的个数为( )
①是，b共线的充要条件；②若∥，则存在唯一的实数λ，使＝λ；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；④若{，，}为空间的一个基底，则{＋，＋，＋}构成空间的另一个基底；⑤ |(·)·|＝||·||·||.
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】利用不等式||﹣||≤||等号成立的条件判断①即可；利用与任意向量共线，来判断②是否正确；利用共面向量定理判断③是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可判断④；代入向量数量积公式验证即可判断⑤．
【详解】对①，∵向量、同向时，，∴不满足必要性，∴①错误；
对②，当为零向量，不是零向量时，不存在λ使等式成立，∴②错误；
对③，若P，A，B，C四点共面，则存在唯一使得.
则，即.
又＝2－2－，所以，方程无解，故③错误；
对④，用反证法，若{}不构成空间的一个基底；
设⇒x（x﹣1）⇒x（1﹣x），即，，共面，∵{}为空间的一个基底，∴④正确；
对⑤，∵|（）|＝||×||×|cs，|×||≤||||||，∴⑤错误．
故选C．
【题型五】空间向量数量积
【典例分析】
（2021·辽宁实验中学高二期中）已知正四面体的棱长为，为中点，为中点，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【分析】利用向量为基底表示，再根据数量积求解即可.
【详解】解：如图，因为为中点，为中点
所以，
因为正四面体的棱长为，
所以
故选：A
【变式训练】
1.（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（ ）
A．B．C．a2D．a2
【答案】A
【分析】利用向量的中点公式表示和，然后利用向量的数量积公式运算即可求解.
【详解】由题意，正四面体ABCD如图所示，
因为E，F分别是BC，AD的中点，
所以，，
又因为正四面体ABCD的棱长都为a，所以，
故(a2cs60°+a2cs60°)a2．故选：A．
2.（2022·全国·高二课时练习）四面体OABC的所有棱长都等于，E，F，G分别为OA，OC，BC中点，则___________.
【答案】##0.5
【分析】取定空间的一个基底，用基底表示，，再计算空间向量数量积作答.
【详解】四面体OABC的所有棱长都等于，则此四面体是正四面体，不共面，
，因E，F，G分别为OA，OC，BC中点，
则，，
所以.
故答案为：
3.
如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量运算求得.
【详解】依题意，分别是的中点，
所以，
三角形是等边三角形，且边长为.
所以.
故选：B
【题型六】空间向量求长度
【典例分析】
（2022·全国·高二课时练习）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解.
【详解】解：，
，
，
，所以，故选：B
【变式训练】
1.（2022·全国·高二专题练习）在平行六面体中，，，，则（ ）
A．B．5C．D．3
【答案】B
【分析】由，则结合已知条件及模长公式即可求解.
【详解】解：，
所以，
所以，
故选：B.
2.（2022·广东汕头·高二期末）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将用基底表示，然后利用空间向量数量积的运算性质可求得结果.
【详解】因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，
，
则
.
故选：D.
3.（2021·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解.
【详解】在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，
则
，
又，，，
则，，
因此，
.故选：B
【题型七】数量积最值与范围
【典例分析】
（2022·全国·高二课时练习）已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解
【详解】设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，
所以，，
所以，
又点Р在正方体表面上运动，
所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小 ，且最小为；
所以，
所以的取值范围为，
故选：B
【变式训练】
1.（2021·全国·高二专题练习）已知球的半径为，、是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】作出图形，取线段的中点，利用向量的加法法则可得，，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围.
【详解】作出图形，取线段的中点，连接、、、、，可知，
由勾股定理可得，且有，
由向量的加法法则可得，，
.
，由向量的三角不等式可得，
，所以，.
因此，的取值范围是.故选：B.
2.（2022·全国·高二课时练习）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，则的最大值是_______.
【答案】
【分析】由列方程，利用已知条件化简，结合基本不等式求得的最大值.
【详解】依题意是空间单位向量，且，，，
，
，
当且仅当时等号成立，所以，
所以.故答案为：
3.（2022·全国·高二专题练习）正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解
【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则，
所以，
故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，
又，
所以，，
所以的取值范围为．故选：D．
【题型八】空间长度最值与取值范围
【典例分析】
（2021·全国·高二期末）如图，直三棱柱中，侧棱长为，，，点是的中点，是 侧面（含边界）上的动点.要使平面， 则线段的长的最大值为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取上靠近的四等分点为E，由题易知，再利用空间向量证得，即当F在上时，平面，然后求得答案.
【详解】取上靠近的四等分点为E，连接,当点F在上时，平面，证明如下：
因为直三棱柱中，侧棱长为， ，，点是的中点，所以平面，所以
以为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴建系；
所以
即
此时，即
所以平面，故当F在上时，平面，
很明显，当E、F重合时，线段最长，此时故选A
【变式训练】
1.（2021·全国·高二专题练习）棱长均为3的三棱锥，若空间一点满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据空间向量基本定理知，与，，共面, 则的最小值为三棱锥的高，由条件求出三棱锥的高即可.
【详解】由，根据空间向量基本定理知，与，，共面.
则的最小值为三棱锥的高，，
设为在面上的射影，由条件可得三棱锥为正三棱锥.
连接并延长交于点,则
所以, 所以故选：A．
2.（2019·湖北武汉·高一期末）设点是棱长为的正方体的棱的中点，点在面所在的平面内，若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等，则点到点的最短距离是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以为原点，为轴为轴 为轴，建立空间直角坐标系，计算三个平面的法向量，根据夹角相等得到关系式：，再利用点到直线的距离公式得到答案.
【详解】`以为原点，为轴为轴 为轴，建立空间直角坐标系.
则易知：平面的法向量为
平面的法向量为设平面的法向量为：
则，取
平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等
或看作平面的两条平行直线，到的距离.
根据点到直线的距离公式得，点到点的最短距离都是： 故答案为B
3.（2018·北京一零一中双榆校区高二期中）正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，平面A1B1C1D1内的一动点P，满足到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，则线段PA长度的最小值为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，由题意得点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上，由此可得点P坐标间的关系，然后根据空间中两点间的距离公式求解可得结果．
【详解】如图，以A1D1的中点为原点，以A1D1为x轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
由于动点P到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，
所以点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上．由题意得，在平面内，抛物线的方程为，
设点P的坐标为，则，所以，
又，所以当时，有最小值，且．故选C．
【题型九】空间角度范围最值
【典例分析】
（2022·全国·高二专题练习）如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的取值范围为（ ） （参考数据：
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】取的中点，作点在平面内的投影，过作交于点，连结、，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，，，利用求出的关系，然后根据的范围求角的范围.
【详解】解：取的中点，作点在平面内的投影，过作交于点，连结、，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系如图，
根据题意，得，0，，，0，，，，，，，，
设，，，
则，，，，，，，0，，，
，，，
记为直线与直线所成的角，则即为直线与直线所成的角，
，点的轨迹在平面内是以为圆心，为半径的圆，
，，又为锐角或直角，，
，则直线与直线所成角的取值范围为，，故选：B．
【变式训练】
1.（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此求得，即可得解.
【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示
则，，，，，
设，则，
设平面的法向量为
则，令，得
所以，
由于，，，
，，，
由于，所以故选：D
2.（2022·全国·高二专题练习）如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段上，E、F分别为、的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】首先以，，三直线为，，轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，，，，从而可求出向量的坐标，由得到，对函数求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出的最大值．
【详解】解：根据已知条件，，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则：， ， ；在线段上，设， ；
；；设，；
函数是一次函数，且为减函数，；
在恒成立，；在上单调递减；
时，取到最大值．故选：．
3.（2018·上海·曹杨二中高二期末）在正方体中，点（异于点）是棱上一点，则满足与，所成的角为45°的点的个数为
A．0B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】建立空间坐标系，通过分类讨论，利用向量法求异面直线所成的夹角，即可找出满足条件的点P的个数．
【详解】
如图建立坐标系，不妨设棱长，则，，
①在中，，因此．同理, , 与成角都为．故当P位于棱, , 上时，与所成角都为，故不满足条件．
②当点P位于棱AD上时，设，，则，，若，满足于所成角为，则，即，无正数解（舍），同理当P位于上时，也不符合题意．
③当P位于棱上时，设，则，，若满足于所成角为，则，即，因为，所以，满足条件，此时．
④同理可求得棱上一点，棱上一点也满足题意，其它棱上没有满足条件的点P．
综上，满足条件的P点共有3个，故选B
【题型十】 轨迹
【典例分析】
（2023·全国·高二专题练习）在直三棱柱中，，，为该三棱柱表面上一动点，若，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将三棱柱补形为正方体，容易找到BC的中垂面，因为，所以确定点P在中垂面内，通过几何关系求解中垂面与三棱柱相交的轨迹长度即可.
【详解】因为，，所以可将直三棱柱补形为边长为2的正方体，取的中点E，F，G，H，K，L按顺序连接.，，如图所示，
正方体中，，，
所以面，
所以，因为，所以.
同理可得，
因为，所以面，其中为正六边形.
因为E，G，H，L为的中点，所以M，N为的四等分点，
根据正方体对称性，知O为MN中点也是BC中点，因为，所以点P在过点O垂直于BC的平面内，即点P在面内.
又因为点P在三棱柱表面上，所以P点的轨迹为五边形MNEFG，
，由正六边形及正方体对称性可知
，故点P的轨迹长度为，故选：B
【变式训练】
1.（2021·全国·高二专题练习）空间向量，，，，，，且，，若点P满足，且，，，，则动点P的轨迹所形成的空间区域的体积为__________.
【答案】
【解析】先分析若，，，时，点在图中的点，
由，，，可得，，，可以得出点在三棱锥内，计算三棱锥的体积即可求解.
【详解】因为，，，，
当，，时，点在图中的点，
因为，当，时，
同理，，
，，，
由知点在内，
而，，，，
所以点在三棱锥内，
且，，，
过作平面的垂线，垂足为，
由三余弦定理可得：，即，
所以，所以，
，
所以三棱锥的体积为，
故答案为：.
2.（2022·全国·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，E、F分别是棱AD、上的中点．若点P为侧面正方形内（含边）动点，且存在x、，使成立，则点P的轨迹长度为_________．
【答案】
【分析】由题知，共面，即平面，取中点，连接、、，易证平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，由勾股定理计算可得.
【详解】解：因为成立，所以共面，即平面，
如图，取中点，连接、、，
根据正方体的性质得，，平面，平面，平面，，同理可证平面，且，所以平面平面，所以点在上运动，点的轨迹为线段，因为，，由勾股定理得，故答案为：.
3.（2021·全国·高二期末）已知三棱锥的所有棱长均为2，为的中点，空间中的动点满足，，则动点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将正四面体放入正方体，建立空间直角坐标系，求得点满足的方程，判断出点的轨迹为圆，求得圆的半径，由此计算出圆的周长也即的轨迹长度.
【详解】正四面体放入正方体，则正方体的棱长为，建立空间直角坐标系如图所示，
，设，，.由于，，所以，即，
即，即，
表示球心为，半径为的球.
表示垂直于平面的一个平面.所以的轨迹是上述平面截球面所得圆.
球心到平面的距离为，
所以截得的圆的半径，所以截得的圆，也即点的轨迹的长度为.
故选：C
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1.（2022·全国·高二课时练习）若为空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是______．（填序号）
①，，； ②，，；
③，，； ④，，．
【答案】③
【分析】根据空间向量基本定理判断可得；
【详解】解：由空间向量基本定理得：
对于①，，所以，，三个向量共面；
对于②，，所以，，三个向量共面；
对于③，因为为空间的一个基底，所以与不共线，所以，也不共线，
且与 、共面，与、共面，又、、三个向量不共面，
所以，，不共面，故，，可以作为一组基底；
对于④，，所以，，三个向量共面，
故答案为：③．
2.（2022·浙江·高二开学考试）在平行六面体中，为的中点，为的中点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，根据空间向量的线性运算表达，再联立求解即可.
【详解】设则.
所以，，所以.
故选：C
3.（2022·江苏镇江·高二开学考试）已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数__________．
【答案】##
【分析】根据四点共面的等价条件以及，可得出关于的两个表达式，可得出关于的方程组，即可解得实数的值.
【详解】因为、、、四点共面，则存在、使得，
所以，，
所以，，
因为，即，所以，，
因为，即，
所以，，可得，解得.故答案为：.
4.（2022·全国·高二课时练习）在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（ ）
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．O，A，B，C四点中任意三点不共线
【答案】B
【分析】根据基底的含义，非零向量不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，即可判断
【详解】因为为基底，所以非零向量不在同一平面内，
即O，A，B，C四点不共面，
所以A、C、D选项说法正确，B错误．
故选：B
5.（2022·全国·高二课时练习）已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
【答案】D
【分析】在四面体中，取定一组基底向量，表示出，，再借助空间向量数量积计算作答.
【详解】四面体的所有棱长均为2，则向量不共面，两两夹角都为，
则，
因点E，F分别为棱AB，CD的中点，则，，
，
所以.
故选：D
6.（2022·全国·高二专题练习）已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点､满足，，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方可得答案.
【详解】以向量为基底向量，

所以 所以 故选：D
7.（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.
【详解】设与的夹角为．由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，
故选：C．
8.（2021·浙江省杭州学军中学高二期中）如图，二面角的大小为，，分别在平面，内，，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由向量加法可得，再利用向量的模长公式，结合向量数量积公式，化简整理式子即可得到答案.
【详解】，，
与夹角大小为二面角的大小, ，，
又利用向量加法运算知，
，
，即
解得：
故选：A.
9.（2022·全国·高二课时练习）已知，.若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】由，，根据与的夹角为钝角，由且求解.
【详解】因为，，所以，
因为与的夹角为钝角，所以且，由，得，
所以.若与的夹角为，则存在，使，即，
所以，解得，故答案为：
培优第二阶——能力提升练
1.（2021·全国·高二课时练习）设且是空间的一组基底，给出下列向量组：
①；② ③ ④
其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．
【答案】②③④
【分析】作一个平行六面体，用共点A的三条棱的向量表示已知的基底向量，求出图形中表示的向量，观察图形判断作答.
【详解】如图，平行六面体中，设，
则，，因四点共面，则向量共面，
而四点不共面，则向量不共面，又四点不共面，则不共面，
四点不共面，则也不共面，
所以可以作为空间的基底的向量组是②③④.
故答案为：②③④
2.（2022·福建·厦门海沧实验中学高二期中）如图，在四面体中，，，，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由平面向量的线性运算求解．
【详解】连接，因为，所以，因为，所以，
所以．故选：C．
3.（2021·福建·厦门双十中学高二期中）已知，若三向量共面，则实数=_____.
【答案】
【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组，求解方程组即可确定的值.
【详解】由题意可知，存在实数满足：，
据此可得方程组：，求解方程组可得：.
故答案为．
4.（2021·河北·石家庄市第十二中学高二期中）下列关于空间向量的说法中，正确的有___________.
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则
②若非零向量，，满足，，，则有
③是，共线的充分不必要条件
④若，共线，则
【答案】①③
【分析】由空间向量基本定理可判断①；根据空间向量的位置关系可判断②；由向量的数量积以及充分条件和必要条件的定义可判断③；根据共线向量的定义可判断④，进而可得正确答案.
【详解】对于①：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；
对于②：若非零向量，，满足，，，则与不一定共线，故②不正确；
对于③：由可得：
，可得，即，所以，反向共线，故充分性成立，若，共线则，当时，不成立，故是，共线的充分不必要条件，故③正确；
对于④：若，共线，则或与重合，故④不正确；
所以正确的有①③，
故答案为：①③.
5.（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，.若E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以为基底表示出，利用向量夹角公式计算出异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设，则构成空间的一个基底，
，，
.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A
6.（2021·安徽·高二阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则AM的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题知，再求向量的模即可得答案.
【详解】解：∵，
∴ ，
∴．
故选：C．
7.（2022·全国·高二专题练习）已知是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算和数量积运算可得，根据正方体的特点确定最大值和最小值，即可求解.
【详解】设正方体内切球的球心为，则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径，
所以，，
所以，
又点Р在正方体表面上运动，
所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为；
当为内切球与正方体的切点时，最小，且最小值为；
所以，
所以的取值范围为，
故选：C.
8.（2022·河南·洛宁县第一高级中学高二阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】首先在中利用余弦定理求出，然后由空间向量的运算法则可得，变形可得，由二次函数的知识可得答案.
【详解】根据题意，在中， ，所以
所以==
则时，取得最小值，则的最小值为.故选：B
9.（2020·浙江·湖州中学模拟预测）已知点是正方体表面上一动点，且满足，设与平面所成的角为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据已知条件求得动点的轨迹方程，再由直线与平面的夹角可得出最值.
【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，，则，因为，
所以，即
，所以点的轨迹为以点为球心、为半径的球与正方体表面的交线，
即为如图的，，，要使得与底面所成的角最大，
则与底面的交点到点的距离最短，从而点在上，且在上，
则，从而，所以的最大值为，
故选：A．
培优第三阶——培优拔尖练
1.（2019·安徽蚌埠·高二期末（理））已知，，，则“”是“，，构成空间的一个基底”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由共面向量定理可得：：当“”时，，易得：，，不共面，即，，能构成空间的一个基底，
当，，能构成空间的一个基底，则，，不共面，解得：，综合得解
【详解】解：当“”时，，
易得：，，不共面，即，，能构成空间的一个基底，
即“”是“，，构成空间的一个基底”的充分条件，
当，，能构成空间的一个基底，则，，不共面，
设，，共面，
即，解得：，即，
即，，能构成空间的一个基底时，m的取值范围为：，
即当，，能构成空间的一个基底，不能推出，
即“”是“，，构成空间的一个基底”的不必要条件
综合得：“”是“，，构成空间的一个基底”的充分不必要条件，
故选A．
2.（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则选项中与向量相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】解：平行六面体中，与的交点为，设，，，
所以，
则，
所以．
故选：A．
3.（2022·全国·高二课时练习）在正方体中，点M和N分别是矩形ABCD和的中心，若点P满足，其中，且，则点P可以是正方体表面上的点________.
【答案】（或C或边上的任意一点）
【分析】因为点P满足，其中，且，所以点三点共面，只需要找到平面与正方体表面的交线即可.
【详解】解：因为点P满足，其中，且，
所以点三点共面，
因为点M和N分别是矩形ABCD和的中心，
所以,
连接，则,所以即为经过三点的平面与正方体的截面，
故点P可以是正方体表面上的点（或C或边上的任意一点）
故答案为：（或C或边上的任意一点）
4.（2021·全国·高二专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．若与共线，与线，则与共线
B．向量，，共面，即它们所在的直线共面
C．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ
D．零向量是模为0，方向任意的向量
【答案】D
【分析】假设为零向量，可判断选项A；
根据向量的特征，可判断选项B；
根据向量共线定理，可判断选项C；
根据零向量的定义，可判断选项D.
【详解】由于零向量与任意向量共线，所以若为零向量，则与关系不确定，A错；
因为向量是可以平行移动的，因此向量共面时，它们所在的直线不一定共面，B错；
共线向量定理中，当不是零向量时，才存在唯一的实数λ，使=λ，否则λ可能不存在，C错；
根据零向量的定义可知，零向量的模为0，方向是任意的，D显然正确.
故选：D.
5.（2022·全国·高二课时练习）如图所示，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么（ ）．
A．B．
C．D．与不能比较大小
【答案】C
【分析】由题设易得，且，应用向量数量积的运算律化简，进而比较它们的大小关系.
【详解】∵E是BC的中点，，
∴，即．
不妨设空间四边形的各边和对角线长均为1，又，，两两之间的夹角均为60°，
∴．
故．
故选：C
6.（2022·全国·高二单元测试）如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先求出 ，，，，，，再计算即可.
【详解】解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，
则 ，，，，，，
则
故选：B.
7.（2021·全国·高二专题练习）已知棱长为的正方体，点在空间直角坐标系的轴上移动，点在平面上移动，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取的中点，连接，求得，取的中点，连接、、、、、，求得，求出的最大值，分析可得，即可求得结果.
【详解】取的中点，连接，如下图所示：
因为平面，平面，则，
因为为的中点且，故，
取的中点，连接、、、、、，如下图所示：
因为为的中点且四边形为正方形，故为的中点，
又因为为的中点，故，
所以，，当且仅当、、三点共线且在线段上时，等号成立，
所以，
.因此，的最大值为.故选：D.
8.（2022·全国·高二专题练习）如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】利用坐标法，设，可得动点P到直线的距离为，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则，
设，则，∴动点P到直线的距离为
，当时取等号，
即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故选：D.
9.（2022·江西鹰潭·高二期末（理））如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设线段的中点为，连接，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，然后以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，且，求出的最大值，利用空间向量法可求得的最大值.
【详解】设线段的中点为，连接，
，为的中点，则，
，则，，同理可得，，
，平面，
过点在平面内作，垂足为点，
因为，所以，为等边三角形，故为的中点，
平面，平面，则，
，，平面，
以点为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为是边长为的等边三角形，为的中点，则，
则、、、，由于点在平面内，
可设，
其中，且，从而，
因为，则，所以，，
故当时，有最大值，即，
故，即有最大值，
所以，.故选：D.【提分秘籍】
1.基本零向量能否作为基向量？
不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面
2.基底的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
【提分秘籍】
基本规律
用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
【提分秘籍】
基本规律
证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
【提分秘籍】
基本规律
1.空间向量数量积的定义：
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b．
2.空间向量数量积的性质：
①a⊥b⇔a·b＝0；
②a·a＝|a|2＝a2；
③|a·b|≤|a||b|；
④(λa)·b＝λ(a·b)；
⑤a·b＝b·a(交换律)；
⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
【提分秘籍】
基本规律
1.在空间直角坐标系中，设，，则两点间的距离___．
2.
【提分秘籍】
基本规律
夹角
（1）求异面直线所成的角
若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有=______ .
（2）求直线和平面所成的角
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有______=_______.
（3）求二面角
如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则________为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则=______=_______
（4）求平面与平面的夹角
平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角_________=___________.
【提分秘籍】
基本规律
求轨迹基本思路：设点-列式-化简-变量范围