黑龙江省大庆市肇源县九年一贯制学校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份黑龙江省大庆市肇源县九年一贯制学校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，∽，OA：：3，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
2.下列函数属于二次函数的是( )
A. B. C. D.
3.下列坐标满足关系式的是( )
A. B. C. D.
4.河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为( )
A. 米
B. 米
C. 18米
D. 21米
5.已知，如图，梯形ABCD中，，，，，则CD的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知点、、在函数的图象上，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.A，B分别为抛物线上两点，且线段轴，若点A的纵坐标为3，则线段AB的长为( )
A. 3B. 6C. D.
8.若函数，则当函数值时，自变量x的值是( )
A. B. 4C. 或4D. 4或
9.下列命题中，真命题是
A. 一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形
B. 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是矩形
C. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
10.在中，若，均为锐角，且，则的度数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.点，在抛物线上，且，则______填“>”“<”或“=”
12.若与成正比例，当时，，则y与x的函数关系式为______.
13.以大约与水平成角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离单位：与标枪出手的速度单位：之间大致有如下关系：，如果抛出40m，那么标枪出手时的速度是______精确到
14.为锐角，且关于x的方程有两个相等的实数根，则______.
15.已知等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为，那么该等腰三角形的腰长等于______.
16.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B、C两点的俯角分别为、已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，求热气球离地面的高度______结果保留整数参考数据：，，
17.对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④时，y随x的增大而减小，其中正确结论为______.
18.如图，在等腰直角三角形ABC中，，，D是AC上一点，若，则AD的长为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分
计算：
20.本小题8分
计算：
21.本小题8分
某片绿地的形状如图所示，其中：，，，，，求AD，BC的长结果精到1m，参考数据：
22.本小题8分
2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售十分火爆，出现了“一墩难求”的现象．据统计，某特许零售店2021年11月的销量为3万件，2022年1月的销量为万件．
求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年2月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
23.本小题8分
为了深入推进劳动教育，开展劳动实践活动，某校打算建一个长方形菜地.菜地的一面利用学校边墙墙长，其他三面用栅栏围住，但要开一扇1m宽的进出口不需要栅栏，求共用10m栅栏围住的菜地的面积最大为多少平方米.
24.本小题8分
如图，在中，，，点M在线段CA上，从C向A运动，速度为；同时点N在线段AB上，从A向B运动，速度为设运动时间为
当t为何值时，？
当t为何值时，的面积最大？最大值是多少？
25.本小题8分
如图，“五一”休假李明观察到一古城楼BC上方有一旗杆AB，已经测得古城楼BC高为20m，李明想测量旗杆AB的高度，于是在D处观测得旗杆顶部A的仰角为，观测得旗杆底部B的仰角为，求旗杆AB的高度结果保留一位小数.参考数据：，，，
26.本小题8分
已知二次函数的图象经过点、和
，求这个二次函数的表达式．
27.本小题8分
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，，
如果设矩形的一边，那么AD边的长度如何表示？
设矩形的面积为，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∽，OA：：3，
，A正确；
，B错误；
，C错误；
：：2，D错误；
故选：
根据相似三角形的性质判断即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：是一次函数，选项A不符合题意；
B.是二次函数，选项B符合题意；
C.中未知数的最高次数为3，不是二次函数，选项C不符合题意；
D.是一次函数，选项D不符合题意．
故选：
利用二次函数的定义，逐一分析四个选项中的函数，即可得出结论．
本题考查了二次函数的定义，牢记“一般地，形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数”是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：由题知，
当时，，
所以满足关系式
故A选项符合题意．
当时，，
所以不满足关系式
故B选项不符合题意．
当时，，
所以不满足关系式
故C选项不符合题意．
当时，，
所以不满足关系式
故D选项不符合题意．
故选：
根据题意，依次将选项中点的坐标代入验证即可．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入函数解析式依次进行验证是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：米，迎水坡AB的坡比为1：，
，
解得，，
米，
故选：
根据题意可以求得AC的长，再根据勾股定理即可求得AB的长，本题得以解决．
本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用坡度和勾股定理解答．
5.【答案】A
【解析】解：如图，分别作于E点，于F点．
则有，，
又，
故选
作于E点，于F点，则有，，由此可以求出DF、AE；
又，由此求出
此题主要考查通过作辅助线综合利用解直角三角形、直角三角形性质等知识解决问题，同时也考查学生逻辑推理能力和运算能力．
6.【答案】C
【解析】解：两种方法，分别是：
把点、、代入得
，，
，，的大小关系为；
点的对称点为
故选：
有两种方法，分别是：
把点、、代入得，，，的值，比较即可得到大小关系；
利用函数的增减性，此函数的对称轴为，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，从而可判断大小关系．
此题考查了二次函数的增减性，解题时最好采用数形结合思想．此题还考查了点与函数的关系．
7.【答案】D
【解析】解：线段轴，点A的纵坐标为3，
点B的纵坐标也为3，
将代入，得，
解得，
，B两点的横坐标分别为：，，
线段AB的长为：
故选：
求出点A，B的坐标，即可求出线段AB的长．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，求出A，B两点的横坐标是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数值，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值，函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个，熟练掌握函数值的定义是解答本题关键.
把直接代入函数即可求出自变量的值．
【解答】
解：把代入函数，
先代入上边的方程得：，
，不合题意舍去，故；
再代入下边的方程得：，
，故，
综上，x的值为4或
故选：
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，难度不大．
利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形，错误，是假命题；
B.顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，不是矩形，故错误，是假命题；
C.有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是正方形，故错误，是假命题；
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，是真命题，
故选：
10.【答案】C
【解析】解：，均为锐角，且，
且，
，，
，，
，
故选：
根据绝对值和偶次方的非负性得出且，求出和的度数，再求出即可．
本题考查了绝对值和偶次方的非负性，特殊角的三角函数值等知识点，能熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键．
11.【答案】<
【解析】解：由二次函数的图象和性质可知；当时，y随x的增大而减小．
，
故答案为：
根据二次函数图象和性质解答即可．
本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：因为与成正比例，
所以，
将，代入求得，
故y与x的函数关系式为
根据成正比例的条件设关系式，再把数值代入求解则可．
本题实质是考查正比例函数的代值求系数，比较容易．
13.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得或舍去
所以标枪出手时的速度是
本题就是在函数解析式中，已知s的大小，求v，将代入解析式，即可求得．
可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
14.【答案】
【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，
解得，
为锐角，
，
，
故答案为：
根据方程有两个相等的实数根可得，即可解得，从而得到答案．
本题考查了根的判别式和锐角三角函数，能求出是解此题的关键．
15.【答案】6或
【解析】解：设腰长为a，底边长为b
如果此角为底角，余弦值为，做底边的高，可得则
又
如果此角为顶角余弦值为，做腰上的高BE，
设，则，，
，，
，
，
故答案为或
由已知条件，某一内角的余弦值为，不确定此角为顶角还是底角，因此应分情况进行求解即可；
此题考查分类讨论思想，应分情况进行讨论，在计算过程中应掌握锐角函数式的二倍角公式，使计算变得简单．
16.【答案】233m
【解析】解：作交CB的延长线于D，设AD为x，
由题意得，，，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得，
所以，热气球离地面的高度约为233米，
故答案为：233米．
作交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可．
本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．
17.【答案】①③④
【解析】解：①，
抛物线的开口向下，
①正确；
②对称轴为直线，
故②错误；
③顶点坐标为，
③正确；
④时，y随x的增大而减小，
时，y随x的增大而减小一定正确，
④正确；
综上所述，结论正确的个数是①③④，
故答案为：①③④．
根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
18.【答案】2
【解析】解：如图，作于点E，则为等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
故答案为：
作于E点．把AD构造为直角三角形的斜边，并根据等腰直角三角形中斜边为直角边的求解．
本题考查运用三角函数的定义解直角三角形．
19.【答案】解：

【解析】把特殊角的三角函数值，代入进行计算即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
20.【答案】解：原式

【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
21.【答案】解：如图，延长AD，交BC的延长线于点E，
在中，由，得，
，
在中，由，
，得，
，
，
答：AD的长约为227m，BC的长约为
【解析】延长AD，交BC的延长线于点E，则在直角与直角中，根据三角函数就可求得BE与CE的长，就可求得AD与BC的长．
本题考查了解直角三角形的应用，不规则图形可以转化为直角三角形的计算，解题的关键是正确作辅助线，构造直角三角形，利用三角函数求解．
22.【答案】解：设月平均增长率为x，
根据题意，得，
解得，不合题意，舍去，
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为
假设保持相同的月平均增长率，
那么2022年2月“冰墩墩”的销量为：万件，
，
年2月“冰墩墩”的销量没有超过4万件．
【解析】设月平均增长率为x，根据题意，得，解一元二次方程即可；
假设保持相同的月平均增长率，求出2022年的销量，然后比较即可．
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键．
23.【答案】解：设菜地垂直于墙的一边长是x米，则平行于墙的一边是米，
面积，
墙长5米，
，
解得，
，对称轴，在对称轴的右侧，S随x的增大而减小，
当时，S最大为平方米，
答：共用10m栅栏围住的菜地的面积最大为15平方米．
【解析】设菜地垂直于墙的一边长是x米，则平行于墙的一边是米，面积，再利用二次函数的性质解答即可．
本题考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出二次函数表达式．
24.【答案】解：从C向A运动，速度为；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为运动时间为t秒．
，，
，
，从而，
解得：秒，
当t为4时，
在中，
，
米，
如图，作于H，
，
是公共角，
∽，
，
即：，
从而有，
当时，S最大值平方米．
【解析】用t表示出AM和AN的值，根据，得到关于t的方程求得t值即可；
作于H，证得∽，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可．
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确列出方程．
25.【答案】解：由题意得：，
在中，，，
，
在中，，
，
，
旗杆AB的高度约为
【解析】根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出AC和BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
26.【答案】解：设这个二次函数的表达式为，
根据题意得，解得，
这个二次函数的表达式为
【解析】设一般式，再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的三元一次方程组，然后解方程组求出a、b、c，从而得到二次函数解析式．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
27.【答案】解：四边形ABCD是矩形，
，，
，，，
，
，
∽，
，
，
，
；
矩形铁皮的面积：
，
时，最大面积y为
【解析】由矩形的性质可知：，所以∽，相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到AD和AB的关系，
利用中的关系式进而可表示出矩形面积，再利用配方法，求出最大值即可．
本题考查了二次函数模型的构建以及相似三角形的性质与判定等知识，解题的关键是构建二次函数模型，利用配方法求函数的最值．