2023-2024学年黑龙江省大庆市肇源县头台学校、义顺中学七年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省大庆市肇源县头台学校、义顺中学七年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在数、、、中，为无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在中，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在下列各命题中，是假命题的是(    )

A. 在一个三角形中，等边对等角 B. 全等三角形的对应边相等
C. 同旁内角相等，两直线平行 D. 等角的补角相等

5.  若直线经过第一、二、四象限，则直线的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如果，，那么(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列图形中，由能得到的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  下面的统计图表示某体校射击队甲、乙两名队员射击比赛的成绩．根据统计图中的信息可得，下列结论正确的是(    )

 

A. 甲队员成绩的平均数比乙队员的大 B. 甲队员成绩的方差比乙队员的大
C. 甲队员成绩的中位数比乙队员的大 D. 乙队员成绩的方差比甲队员的大

10.  笔直的海岸线上依次有、、三个港口，甲船从港口出发，沿海岸线匀速驶向港，小时后乙船从港口出发，沿海岸线匀速驶向港，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的倍，甲、乙两船与港的距离与甲船行驶时间之间的函数关系如图所示，下列说法：
、港口相距；
甲船的速度为；
、港口相距；
乙出发时两船相距．
其中正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．

12.  点关于轴对称点的坐标为______．

13.  一次函数向上平移个单位长度，得到的直线解析式为______ ．

14.  如表是加热食用油时温度随时间的变化情况：

王红发现，烧到时油沸腾了，则油的沸点是______ 沸点是指液体沸腾时候的温度．

15.  “赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为，较长直角边长为，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，那么为______ ．

16.  如图，，与，分别相交于点，，，与的角平分线相交于点若，则 ______ 度．

17.  如图，一次函数与一次函数的图象交于，则关于的方程的解是______．

18.  已知平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点是直线上的一个动点，若，则点的坐标为．
 

三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）

19.  计算：．

四、解答题（本大题共9小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
解二元一次方程组．

21.  本小题分
如图是一块地，已知，，，，且，求这块地的面积．

22.  本小题分
在“新冠病毒”疫情防控期间，某药店分两次购进酒精消毒液与测温枪进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：

求酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是多少元？
该药店决定酒精消毒液以每件元出售，测温枪以每件元出售为满足市场需求需购进这两种商品共件，设购进测温枪件，获得的利润为元，请求出获利元与购进测温枪件数件之间的函数关系式若测温枪的数量不超过件，求该公司销售完上述件商品获得的最大利润．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中各顶点的坐标分别为，，．
若点是轴上的一动点，则的最小值是______．
在图中作，使与关于轴对称；
请分别写出点，，的坐标．

24.  本小题分
某养鸡场有只鸡准备对外出售，从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量单位：，绘制出如下的统计图和图请根据相关信息，解答下列问题：

Ⅰ图中的值为______；
Ⅱ求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；
Ⅲ根据样本数据，估计这只鸡中，质量为的约有多少只？

25.  本小题分
已知：如图，，平分，与相交于，．
若，求的度数；
与是什么位置关系？并说明理由．

26.  本小题分
如图，一次函数的图象经过点，．
求的值；
请判断点在不在该直线上．
连接，，求的面积．

27.  本小题分
先阅读下列一段文字，再解答问题．
已知在平面内有两点、．
如图，当与两坐标轴不平行时，可用公式求出、两点间的距离；
如图、图，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时，两点间的距离也可由或求出．

已知两点，，则，两点间的距离是______ ；
已知点，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为，点的纵坐标为，则，两点间的距离是______ ；
已知点，，，判断线段，，中哪两条线段是相等的？并说明理由．

28.  本小题分
如图，直线经过点，点，与直线交于点，点为直线上一动点，过点作轴的垂线交直线于点．
求直线的表达式和点的坐标；
当时，求的面积；
连接，当沿着折叠，使得点的对应点落在直线上，直接写出此时点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：数、、、中，为无理数的是．
故选：．
根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，进行判断即可．
本题考查了无理数的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．

2.【答案】 

【解析】解：，，，
，
故选：．
由三角形的内角和定理可直接求解．
本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：．与不能合并，所以选项不符合题意；
B.，所以选项不符合题意；
C.，所以选项不符合题意；
D.，所以选项符合题意．
故选：．
根据二次根式的加法运算对选项进行判断；根据二次根式的减法运算对选项进行判断；根据二次根式的性质对选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：、在一个三角形中，等边对等角，正确，是真命题，不符合题意；
B、全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，符合题意；
D、等角的补角相等，正确，是真命题，不符合题意．
故选：．
利用等边三角形的性质、全等三角形的性质、平行线的性质及补角的定义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等边三角形的性质、全等三角形的性质、平行线的性质及补角的定义等知识，难度不大．

5.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了一次函数图象所过象限与系数的关系：，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．
首先根据线经过第一、二、四象限，可得，，再根据，判断出直线的图象所过象限即可．
【解答】
解：直线经过第一、二、四象限，
，，
直线的图象经过第一、三、四象限，
故选D．

6.【答案】 

【解析】解：因为，那么故选A．
先把分母有理化，再比较．
此题的关键是分母有理化．

7.【答案】 

【解析】解：、，，不符合题意；
B、，，符合题意；
C、，得不出，不符合题意；
D、，，不符合题意；
故选：．
在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此判断即可．
本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行线判定的前提条件必须是三线八角．

8.【答案】 

【解析】解：将此长方形折叠，使点与点重合，
．
．
，
根据勾股定理可知．
，
解得，
故选：．
根据折叠可得：，在直角中，利用勾股定理可以即可求出．
本题考查了折叠的性质以及勾股定理的应用，掌握折叠的性质及方程思想的应用是解此题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：甲队员次射击的成绩分别为，，，，，，，，，，则中位数环，
甲次射击成绩的平均数环，
乙队员次射击的成绩分别为，，，，，，，，，则中位数是环，
乙次射击成绩的平均数环，
甲队的方差；
乙队的方差；
则正确的是；
故选：．
根据平均数、中位数和方差的计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．
本题考查了平均数、中位数和方差的定义和公式；解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

10.【答案】 

【解析】解：由题意和图象可知，
A、港口相距，故正确；
甲船个小时行驶了，故甲船的速度为：，故正确；
乙船的速度为：，则，得，故正确；
乙出发时两船相距的距离是：，故错误；
由上可得，正确的个数为个．
故选B．
根据右图的图象可知、港口相距，从而可以判断；
根据图象可知甲船个小时行驶了，可以求得甲船的速度，从而可以判断；
根据甲船从港口出发，沿海岸线匀速驶向港，小时后乙船从港口出发，沿海岸线匀速驶向港，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的倍，可以计算出、港口间的距离，从而可以判断；
根据题意和图象可以计算出乙出发时两船相距的距离，从而可以判断．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．

11.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件即可解得．
此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．

12.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
点关于轴对称点的坐标为，
故答案为：．
两点关于轴对称，那么让横坐标不变，纵坐标互为相反数即可．
考查两点关于轴对称的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．

13.【答案】 

【解析】解：将一次函数的图象向上平移个单位长度后，
可得，
故答案为：．
根据一次函数图象平行的规律“上加下减”即可确定平移后的直线表达式．
本题考查了一次函数图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：秒，
，
．
故答案为．
从表格中看出，每过秒油温升高，按此规律计算即可．
本题考查了函数的表示方法中的表格法，看懂数据的规律是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，，即，
则，
故答案为：．
根据题意，结合图形求出与的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．
此题考查了勾股定理的证明，利用了数形结合的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
的平分线与相交于点，
，
．
故答案为：．
由，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得，又由，的平分线与相交于点，，即可求得的度数，然后根据三角形的内角和定理，即可求得的度数．
此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意两直线平行，同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用．

17.【答案】 

【解析】解：因为一次函数与一次函数的图象交于点，
则关于的方程的解是，
故答案为：．
根据一次函数图象即可确定方程的解．
本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象是解题的关键．

18.【答案】或 

【解析】【分析】
本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识点．确定出点的位置，由条件得到或是解题的关键．本题难度未大，注意考虑全面即可．分两种情况：当点在轴右侧时，由条件可判定，容易求得点坐标；当点在轴左侧时，可设点坐标为，过作直线交轴于点，可表示出直线的解析式，可表示出点坐标，再根据勾股定理可表示出的长，由条件可得到，可得到关于的方程，可求得点坐标．
【解答】
解：当点在轴右侧时，如图，连接，

，
，
，
点纵坐标为，
又点在直线上，把代入可求得，
点坐标为；
当点在轴左侧时，过、作直线交轴于点，如图，

设点坐标为，设直线的解析式为，
把、坐标代入可得，解得，
直线的解析式为，令可得，解得，
点坐标为，
，即，
，
，
，
，
，即，
解得，则，
点坐标为，
综上可知点坐标为或，
故答案为或．

19.【答案】解：原式
 

【解析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得．

20.【答案】解：，
，得，
解得，
把代入，得，
故原方程组的解为． 

【解析】方程组利用加减消元法求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．

21.【答案】解：连接，

，
，，
，
又，
，
又，，
，
又，
，
，
． 

【解析】连接，利用勾股定理可以得出三角形和是直角三角形，的面积减去的面积就是所求的面积．
本题主要考查勾股定理和勾股定理逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

22.【答案】解：设酒精消毒液每件的进价为元，测温枪每件的进价为元，
根据题意得，
解得，
答：酒精消毒液每件的进价为元，测温枪每件的进价为元；
设购进测温枪件，获得的利润为元，则购进酒精消毒液件，
根据题意得：，
测温枪数量不超过件，
，
又在中，，
的值随的增大而增大，
当时，取最大值，最大值为．
答：当购进酒精消毒液件，购进测温枪件时，销售利润最大，最大利润为元． 

【解析】设酒精消毒液每件的进价为元，测温枪每件的进价为元，根据两次进货情况表，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论．
设购进测温枪件，获得的利润为元，则购进酒精消毒液件，根据总利润单件利润购进数量，即可得出与之间的函数关系式；由购买测温枪数量不超过件，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．

23.【答案】 

【解析】解：的最小值是；
故答案为：；

如图，如图所示；
，，．
先找到点关于轴的对称点，连接交轴于点，即可得的最小值；
根据轴对称的性质即可在图中作，使与关于轴对称；
结合即可分别写出点，，的坐标．
本题考查作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质，属于中考常考题型．

24.【答案】Ⅰ；
Ⅱ这组数据的平均数为，
众数为，中位数为；
Ⅲ只．
答：估计这只鸡中，质量为的约有只． 

【解析】【分析】
此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
Ⅰ根据各种质量的百分比之和为可得的值；
Ⅱ根据众数、中位数、平均数的定义计算即可；
Ⅲ将样本中质量为数量所占比例乘以总数量即可．
【解答】
解：Ⅰ图中的值为，
故答案为：；
Ⅱ见答案；
Ⅲ见答案．

25.【答案】解：，
，
，
又，
；
，理由如下：
已证，
，
平分，
，
，
，
，
． 

【解析】根据平行线的判定定理得到，由平行线的性质得到，由即可求出的度数；
由平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，，由平行线的判定即可得到结论．
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键，属于中考常考题型．

26.【答案】解：点在一次函数的图象上，
，
．
当时，，
点不在该直线上．
设直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示．
当时，，
点的坐标为，
．
点的坐标为，点的坐标为，
，，




．
的面积为． 

【解析】由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值；
代入求出值，由该值不等于，即可得出点不在该直线上；
设直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，进而可得出的长，由点，的坐标可得出，的长，再利用，即可求出的面积．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于的方程；牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式；利用分割图形求面积法，求出的面积．

27.【答案】   

【解析】解：，
故答案为：；
，
故答案为：；
，理由如下：
理由如下：，，，
．
根据两点间的距离公式直接计算即可；
根据两点间的距离公式直接计算即可；
根据两点间的距离公式计算线段、、的长，即可得出答案．
本题考查了两点间的距离公式，涉及点与坐标的对应关系，坐标轴上的点的特征，解题的关键是明确线段的长都为正值，用坐标表示就需要加上绝对值符号

28.【答案】解：直线经过点，点，
，解得：，
直线解析式为，
联立和并解得：，
点的坐标为；

，
，
设点的横坐标为，则点坐标为，
轴，
点坐标为，
，
解得：或，
当时，；
当时，同理可得：，
综上，的面积为；

过作于点，
点的坐标为，
，，，
，
，，
，，
，
，即，
当沿着折叠，且点落在射线上的时，设交轴于点，如图所示：

根据折叠的性质可得：，，
又，
≌，
，，
轴，
当时，，
坐标为；
当沿着折叠，且点落在射线上的时，延长交轴于点，如图所示：

根据折叠的性质可得：，，
又，
≌，
，，
轴，
当时，，
点坐标为，
综上，点的坐标为或． 

【解析】利用待定系数法求出与，确定出直线解析式，与直线联立求出坐标即可；
设的横坐标为，代入直线与直线解析式表示出与的纵坐标，进而表示出的长，求出的长，根据求出的值进而求出三角形面积即可；
分点落在射线和射线上两种情况分类讨论，利用全等三角形的判定与性质求解即可．
此题考查了两条直线相交或平行问题，涉及到一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，折叠的性质，勾股定理及逆定理，注意分类求解，不要遗漏．