黑龙江省大庆市肇源县（五四学制）2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷(含解析)

这是一份黑龙江省大庆市肇源县（五四学制）2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y=x2-1的顶点坐标是（0，-1）．
故选：B．
2. 在Rt△ABC中，∠C =90°，sinA=，则csA的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：∵sinA=，
∴可设a=4，c=5，由勾股定理可求得b=3，
∴csA=，
故选：A．
3. 将抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为，平移后抛物线顶点坐标为，
又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：．
故选：A．
4. 若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：∵，
∴对称轴为直线，且，
∵，，，
∴点A到对称轴直线的距离为，
点B到对称轴直线的距离为，
点C到对称轴直线的距离为，
∵，
∴，
根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小，
∴．
故选：C．
5. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
6. 如图，圆规两脚张开的角度为α，，则两脚张开的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：过点O作，垂足为C，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
故选C．
7. 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：，
∵⊙O的直径为，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴水的最大深度为，
故选：．
8. 已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（ ）
A. 5B. C. 5或1D. 或
【答案】C
解析：解：比较抛物线与抛物线，
发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式，
∵与轴的一个交点是，与轴有两个交点，，
∴当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=1，
当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=5，
故选：C．
9. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
解析：解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，
，
抛物线的对称轴为，
，
，则结论①正确；
将点代入二次函数的解析式得：，则结论③错误；
将代入得：，则结论②正确；
抛物线的对称轴为，
和时的函数值相等，即都为，
又当时，随的增大而减小，且，
，则结论④错误；
由函数图象可知，当时，取得最大值，最大值为，
，
，
即，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个，
故选：B．
10. 已知，关于的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：关于的一元二次方程的解为，可以看作二次函数与轴交点的横坐标，
∵二次函数与轴交点坐标为，如图：
当时，就是抛物线位于轴上方的部分，此时，或；
又∵
∴；
∴，
故选A．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11. 如图．在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,则的正弦值是__________．
【答案】
解析：分析：先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
详解：∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC==．
故答案为．
12. 如图，二次函数的图象与x轴相交于点和，则它的对称轴是___．

【答案】直线
解析：解：因为抛物线与轴相交于点和，
所以，对称轴．
13. 如果抛物线与x轴有交点，那么a的取值范围是_________．
【答案】且
解析：∵抛物线y=ax2-3x+1与x轴有交点，
∴a≠0，△≥0，
∴9-4a×1≥0，
∴a≤ ，
故答案为:a≤ 且a≠0．
14. 如图，用一段长为的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______．
【答案】32
解析：解：设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米，
∴围栏的面积，
∴当时，S取最大值，最大值为32，
故答案为：32．
15. 兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，高度为 __m．

【答案】4
解析：解：根据题意得，在中，，半径，
∴，，，
∴，
故答案是：．
16. 如图，在中，，则线段_____（填“”“”或“”）．
【答案】
解析：解：连接，交于点D，连接，
∵，
∴点是的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 二次函数在范围内的最大值为___．
【答案】36
解析：解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
离对称轴越远函数值越大，
∵离对称轴的距离远，
当时，有最大值为：，
故答案为：36．
18. 已知函数y＝﹣x2+2x+5，当0≤x＜m时，函数值的取值范围是5≤y≤6，则实数m的取值范围是 _____．
【答案】
解析：解：函数y＝﹣x2+2x+5化成顶点式为函数y＝﹣（x-1）2+6，
所以，当x=1时，函数的最大值为6，
把y=5代入函数解析式，5＝﹣x2+2x+5，
解得，，；
根据题意，顶点一定在0≤x＜m范围内，而且此范围内的最小值为5，
故m的取值范围是．
解答题（本大题共10小题，共66.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 计算：
【答案】
解析：解：


．
20. 如图，同学们利用所学知识去测量三江某河段某处的宽度小宇同学在A处观测对岸点C，测得，小英同学在距点A处60米远的B点测得，请根据这些数据算出河宽精确到米，，．
【答案】河宽为米．
解析：试题分析：过C作CE⊥AB于E，
设CE＝x米，在Rt△AEC中，由∠CAE＝45°，设AE＝CE＝x，在Rt△ABC中，由∠CBE＝30°，得到BE＝CE＝x，故，解之即可．
试题解析：过C作CE⊥AB于E，设CE＝x米，在Rt△AEC中：∠CAE＝45°，AE＝CE＝x，在Rt△ABC中，∠CBE＝30°，BE＝CE＝x，∴，解之得：．
答：河宽为68.30米．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
21. 某兴趣小组为了测量大楼的高度，先沿着斜坡走了米到达坡顶点处，然后在点处测得大楼顶点的仰角为，已知斜坡的坡度为，点到大楼的距离为米，求大楼的高度．（参考数据：，，）
【答案】大楼的高度为52米
解析：解：如下图，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，
在Rt△ABE中，AB=52，
∵
∴tan∠BAE==，
∴AE=2.4BE，
又∵BE2+AE2=AB2，
∴BE2+(2.4BE)2=522，
解得：BE=20，
∴AE=2.4BE=48；
∵∠BED=∠D=∠BFD=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴FD=BE=20，BF=ED=AD-AE=72-48=24；
在Rt△BCF中，
tan∠CBF=，
即：tan53°==
∴CF=BF=32，
∴CD=CF+FD=32+20=52．
答：大楼的高度为52米．
22. 在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处点的坐标，铅球路线的最高处点的坐标为（单位：米）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）该男同学把铅球推出去多远？
【答案】（1）y=-x2+x+；（2）该男生能把铅球推出去10米．
解析：（1）解：∵抛物线的顶点是（4，3），
∴抛物线可设为：y=a（x-4）2+3，
又抛物线经过（0，），
∴16a+3=，
解得：a=-，
∴二次函数的解析式是：y=-（x-4）2+3=-x2+x+；
（2）令y=0得：-（x-4）2+3=0，
解得：x1=-2，x2=10，
答：该男生能把铅球推出去10米．
23. 如图，的直径垂直弦于点，，，求的长．

【答案】
解析：解：，
，
，
，
直径垂直弦于，
∴，
，
．
24. ⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且，求CD的长．
【答案】2（cm）
解析：解：作OP⊥CD于P，连接OD，
∴CP＝PD，
∵AE＝1，EB＝5，∴AB＝6，∴OE＝2，
在Rt△OPE中，OP＝OE•sin∠DEB＝，
∴PD＝＝，
∴CD＝2PD＝2（cm）．
25. 如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A=120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=，求灯杆AB的长度．
【答案】灯杆AB的长度为2米．
解析：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥BF，交BF于点G，则FG=AC=11．
由题意得∠BDE=α，tan∠β=．
设BF=3x，则EF=4x
在Rt△BDF中，∵tan∠BDF=，
∴DF=，
∵DE=18，
∴x+4x=18．
∴x=4．
∴BF=12，
∴BG=BF-GF=12-11=1，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAG=∠BAC-∠CAG=120°-90°=30°．
∴AB=2BG=2，
答：灯杆AB的长度为2米．
26. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2），最大利润为1750元
【解析】
解析：解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元．
则
解得：，经检验是方程的解．
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
（2）由题意得，当时，每天可售100盒．
当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒．每盒的利润为()
∴，
配方得：
当时，y取最大值为1750元．
∴，最大利润1750元．
答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元．
27. 已知的半径为，，是的两条弦，，，，则弦和之间的距离是多少？请画图并计算．
【答案】弦和之间的距离是或
解析：解：当圆心在弦和的同旁，如图：连接、，过作于，且直线交于，
，
，
，，
，过，，
，
同理，
由勾股定理得：，，
；
如图：圆心在弦和弦之间，
此时，
所以弦和之间的距离是或．
28. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
（3）P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【小问1】
解：将点，点代入，
∴，
解得，
∴
【小问2】
解：连接交对称轴于点Q，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵A、B关于对称轴对称，
∴，
∴，
当C、B、Q三点共线时，的周长最小，
∵，，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴；
【小问3详解】
解：过点P作轴于点D．设点P坐标为
则

∴当时，．
此时
所以求面积S的最大值为，P点的坐标．