备战2025年高考二轮复习数学专题突破练22（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学专题突破练22（Word版附解析），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共7小题,每小题5分,共35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024·河北沧州期中)直线y=3x-1与椭圆x24+y28=1的公共点的个数是( )
A.0B.1
C.2D.无数个
答案C
解析由y=3x-1,x24+y28=1,消去y整理得11x2-6x-7=0,显然Δ=(-6)2-4×11×(-7)>0,所以直线y=3x-1与椭圆x24+y28=1相交,有2个公共点.故选C.
2.(2024·江苏南通模拟)已知双曲线C:x24-y2=1,直线l:x-y+1=0,若双曲线C上的点P到直线l的距离最小,则点P的横坐标为( )
A.233B.433C.-233D.-433
答案D
解析由题意得直线l:x-y+1=0与双曲线无交点,设直线l的平行线l1:x-y+m=0,联立x-y+m=0,x24-y2=1,整理得3x2+8mx+4m2+4=0,若直线l1与双曲线相切,切点为P,则Δ=(8m)2-4×3×(4m2+4)=0,解得m=±3.由图形可知当m=3时,双曲线C上的点P到直线l的距离最小,代入3x2+8mx+4m2+4=0,即3x2+83x+16=0,解得x=-433.故选D.
3.(2024·四川眉山三模)设O为坐标原点,过点(2,0)的直线与抛物线C:y2=2px(p>0)交于M,N两点,若OM·ON=-4,则p的值为( )
A.14B.12C.2D.4
答案C
解析由题意,直线MN的斜率不为0,故可设直线MN的方程为x=my+2,设M(x1,y1),N(x2,y2),由x=my+2,y2=2px,得y2-2pmy-4p=0,故y1y2=-4p,x1x2=(y1y2)24p2=4,从而OM·ON=x1x2+y1y2=4-4p=-4,解得p=2.故选C.
4.(2024·河南焦作模拟)已知直线y=x-1交曲线C:y2=4x于A,B两点(点A在点B的上方),F为C的焦点,则|AB||AF|-|BF|=( )
A.23B.22C.2D.2
答案D
解析联立y=x-1,y2=4x,消元得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),解得x1=3+22,x2=3-22,易知F(1,0)过直线AB,根据抛物线的定义,可得|AF|=x1+p2=4+22,|BF|=x2+p2=4-22,所以|AB||AF|-|BF|=|AF|+|BF||AF|-|BF|=2.故选D.
5.(2024·辽宁朝阳期末)如图,已知椭圆x225+y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,过焦点F1的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2的内切圆的面积为3π,设A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则|y1-y2|的值为( )
A.3B.2
C.352D.532
答案D
解析由题意知△ABF2内切圆的半径为3,|F1F2|=8.又|AF2|+|AB|+|BF2|=|AF2|+|AF1|+|BF1|+|BF2|=20,所以△ABF2的面积S=12(|AF2|+|AB|+|BF2|)×3=103.因为S=12|F1F2|·|y1-y2|=103,所以|y1-y2|=2038=532.故选D.
6.(2024·山西临汾二模)已知抛物线C:y2=4x,过点M32,-1的直线l与抛物线C相交于A,B两点,且M为弦AB的中点,则直线l的斜率为( )
A.-12B.-34C.-1D.-2
答案D
解析设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线l与抛物线C相交于A,B两点,所以y12=4x1,y22=4x2,两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),由题意得直线l的斜率k=y1-y2x1-x2=4y1+y2=42×(-1)=-2.故选D.
7.(2024·辽宁沈阳一模)已知双曲线C:y23-x2=1的下焦点和上焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与双曲线C交于A,B两点,若△F2AB的面积是△F1AB的面积的4倍,则m=( )
A.3B.-3
C.103D.-103
答案D
解析由双曲线C:y23-x2=1可知F1(0,-2),F2(0,2),联立y23-x2=1,y=x+m,消元得2x2-2mx+3-m2=0,则Δ=4m2-8(3-m2)>0,即m2>2.由△F2AB的面积是△F1AB的面积的4倍可知,点F2到直线AB的距离是点F1到直线AB的距离的4倍,即|2-m|2=4|2+m|2,化简可得15m2+68m+60=0,解得m=-103或m=-65(舍去).故选D.
二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
8.(2024·辽宁锦州三模)已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1,若l与双曲线C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为2,则实数k的值可能为( )
A.0B.32C.52D.62
答案AD
解析联立x2-y2=1,y=kx-1,消去y整理得(1-k2)x2+2kx-2=0,由已知1-k2≠0,Δ=4k2+8(1-k2)>0,所以0≤k28
C.若λ=2,则|PQ|=152
D.若S△PQO=42,则|PQ|=165
答案ABD
解析由抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,可得-p2=-1,解得p=2,所以抛物线C:y2=4x.设直线PQ:x=ty-1,且P(y124,y1),Q(y224,y2),联立x=ty-1,y2=4x,整理得y2-4ty+4=0,则Δ=16t2-16>0,解得t2>1,且y1+y2=4t,y1y2=4.OP·OQ=(y1y2)216+y1y2=1+4=5,故A正确;AP·AQ=(y1y2)216+y12+y224+1+y1y2=6+y12+y224>6+12y1y2=8,故B正确;当λ=2时,由AP=2AQ,可得y1=2y2,则y1=22,y2=2或y1=-22,y2=-2,所以|PQ|=172,故C错误;由S△PQO=|S△POA-S△QOA|=12·|y1-y2|=12·(y1+y2)2-4y1y2=2t2-1=42,解得t=±3,所以|y1-y2|=82,则|PQ|=1+t2·|y1-y2|=165,故D正确.故选ABD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
10.请写出一个焦点在y轴上,且与直线y=2x没有交点的双曲线的标准方程: .
答案y24-x2=1(答案不唯一)
解析与直线y=2x没有交点,则y=2x可以作为双曲线的渐近线,故满足y24-x2=λ(λ>0),取λ=1,则满足条件的一个双曲线方程可以为y24-x2=1.
11.已知O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,椭圆D:y2a2+x2=1(a>1),记P为抛物线与椭圆D在第一象限的交点,延长PO交椭圆D于点Q.若|PF|=32,则△PQF的面积为 .
答案2
解析由y2=4x,可得点F(1,0).由椭圆D:y2a2+x2=1(a>1),可得点F(1,0)与椭圆短轴的一个顶点重合.根据椭圆的对称性,|PO|=|OQ|,所以△PQF的面积等于△POF的面积的2倍.由抛物线的定义知,点P到准线x=-1的距离为32,所以点P的横坐标为12,代入抛物线方程得点P的纵坐标为2.所以△PQF的面积为S=2×12×1×2=2.
12.(2024·广东茂名一模)已知双曲线C:x2-y23=1,直线l:y=kx+1分别与双曲线C的左、右支交于M,N两点,O为坐标原点,若△OMN的面积为6,则直线l的方程为 .
答案y=±2x+1
解析联立x2-y23=1,y=kx+1,消去y得(3-k2)x2-2kx-4=0,
∴3-k2≠0,Δ=4k2+16(3-k2)>0,得k2b>0)的离心率为12,
所以ca=12,
又因为焦距为2,所以2c=2,即有c=1,a=2.
则b=a2-c2=3,
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.
(2)联立x24+y23=1,y=-x+m,消去y整理得7x2-8mx+4m2-12=0,
由Δ=(-8m)2-4×7(4m2-12)>0,则m20)的离心率为255,以椭圆C的上、下顶点和右焦点F为顶点的三角形的面积为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为坐标原点,过点F的直线l交椭圆C于点A,B,直线OA,OB交直线x=1于点M,N,若△AOB与△MON的面积相等,求直线l的方程.
解(1)依题意有ca=255,12×2b×c=2,a2=b2+c2,解得a=5,b=1,c=2,
所以椭圆C:x25+y2=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,易知S△AOB>S△MON,显然不合题意,因此直线l的斜率必存在,设l的方程为y=k(x-2)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
联立y=k(x-2),x2+5y2=5,得(5k2+1)x2-20k2x+20k2-5=0,由于点F在椭圆C内,因此Δ>0恒成立,且x1x2=20k2-55k2+1.
直线AM:y=y1x1x⇒点M的纵坐标yM=y1x1,
同理点N的纵坐标yN=y2x2,因此S△AOB=12|OF|·|y1-y2|=|k(x1-x2)|,
S△MON=12×1×|yM-yN|=12y1x1-y2x2=12k(x1-2)x2-k(x2-2)x1x1x2=|k(x1-x2)||x1x2|.
由于S△AOB=S△MON,所以|k(x1-x2)|=|k(x1-x2)||x1x2|,
因此|x1x2|=|20k2-55k2+1|=1,
解得k=±105或k=±25.
故直线l的方程为y=±105(x-2)或y=±25(x-2).