备战2025年高考二轮复习数学专题突破练21（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学专题突破练21（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024·辽宁葫芦岛一模)已知F1,F2分别是椭圆C:x2m+y2=1的左、右焦点,P是椭圆C上的一点,且|PF1|+|PF2|=6,则椭圆C的离心率是( )
A.13B.33C.223D.229
答案C
解析因为P是椭圆C上的一点,且|PF1|+|PF2|=6,所以m=9,即椭圆C:x29+y2=1,则椭圆C的半焦距c=9-1=22,所以离心率e=223.故选C.
2.(2024·山东泰安模拟)已知等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,双曲线C与抛物线y2=-8x的准线交于A,B两点,且|AB|=2,则双曲线C的实轴长为( )
A.43B.6C.23D.3
答案C
解析设等轴双曲线C的方程为x2a-y2a=1(a>0),而抛物线y2=-8x的准线为x=2,将x=2代入x2a-y2a=1(a>0)得y2=4-a,由题意y2=4-a>0,所以|AB|=24-a=2,解得a=3,所以双曲线C的实轴长为2a=23.故选C.
3.(2024·河南郑州三模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为抛物线C上一点,O为坐标原点,当∠PFO=2π3时,|PF|=6,则p=( )
A.4B.3C.2D.1
答案B
解析如图,过点P作抛物线C的准线的垂线,垂足为P1,作FE⊥PP1,垂足为E.由∠PFO=2π3,得∠PFE=π6,所以|PE|=12|PF|=3.由抛物线定义得p=|P1E|=|PP1|-|PE|=|PF|-|PE|=6-3=3.故选B.
4.(2024·湖北武汉期中)已知O为坐标原点,设F1,F2分别是双曲线x2-y2=9的左、右焦点,P为双曲线左支上任意一点,过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足为H,则|OH|=( )
A.3B.6C.9D.18
答案A
解析如图所示,延长F1H交PF2于点Q.由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q,易知△PHF1≌△PHQ,所以|PF1|=|PQ|.双曲线方程化为x29-y29=1,所以|PF2|-|PF1|=6,即|PF2|-|PQ|=6,从而|QF2|=6.在△F1QF2中,O,H分别为F1F2,F1Q的中点,则|OH|=12|QF2|=3.故选A.
5.(2024·广东佛山模拟)焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线交于点A,点B在抛物线C上且在第一象限,在△ABF中,3sin∠AFB=4sin∠FAB,则直线BF的斜率为( )
A.142B.43
C.1D.72
答案A
解析如图,过点B作准线的垂线,垂足为H,过点B作x轴的垂线,垂足为E.由抛物线的定义可得|BF|=|BH|,因为3sin∠AFB=4sin∠FAB,所以由正弦定理可知|AB|=43|BF|=43|BH|,则|AH|=73|BH|.设BF的倾斜角为α,则sin α=|BE||BF|=|AH||BH|=73,解得tan α=142,即直线BF的斜率k=142.故选A.
6.(2024·江苏扬州模拟)已知F1,F2分别是双曲线C:x24-y2b2=1(b>0)的左、右焦点,M是双曲线C右支上的一个动点,且|MF1|2-|MF2|2的最小值是86,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±12xB.y=±2x
C.y=±22xD.y=±32x
答案C
解析(方法一)不妨设F1(-c,0),F2(c,0),M(x0,y0),且x0≥2,则|MF1|2-|MF2|2=(x0+c)2+y02-[(x0-c)2+y02]=4cx0≥8c,所以8c=86,解得c=6,则b=2,故双曲线C的渐近线方程为y=±22x.故选C.
(方法二)|MF1|2-|MF2|2=(|MF1|-|MF2|)·(|MF1|+|MF2|)=4(|MF1|+|MF2|)=4(4+2|MF2|)≥4[4+2(c-2)]=8c,所以8c=86,解得c=6,则b=2,故双曲线C的渐近线方程为y=±22x.故选C.
7.(2024·山西太原三模)已知F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,P(4,3)是椭圆C上一点,△PF1F2的内切圆的圆心为I(m,1),则椭圆C的标准方程是( )
A.x224+y227=1B.x228+y221=1
C.x252+y213=1D.x264+y212=1
答案B
解析依题意,设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由点P(4,3)在椭圆C上,得16a2+9b2=1,显然△PF1F2的内切圆与直线F1F2相切,所以该圆半径为1.又因为S△PF1F2=12(2a+2c)·1=a+c,且S△PF1F2=12·2c·3=3c,所以a=2c,b2=a2-c2=34a2.因此16a2+12a2=1,解得a2=28,b2=21,所以椭圆C的标准方程是x228+y221=1.故选B.
8.(2024·湖南师大附中模拟)已知抛物线C:y2=4x上一点P(x0,y0),点A(3,21),则y022+2|PA|的最小值是( )
A.10B.8C.5D.4
答案B
解析由题意y02=4x0,所以y024=x0.又因为(21)2>4×3,所以点A(3,21)在抛物线C:y2=4x的左侧,如图,则y022+2|PA|=2(y024+|PA|)=2(x0+|PA|)=2(x0+1+|PA|)-2.又因为抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,所以|PF|=x0+1,因此y022+2|PA|=2(|PF|+|PA|)-2.由于|PF|+|PA|≥|AF|,当A,P,F三点共线(点P在点A,点F之间)时,|PF|+|PA|取到最小值|AF|=(3-1)2+(21)2=5,则y022+2|PA|=2(|PF|+|PA|)-2的最小值为2×5-2=8.故选B.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2024·江苏南通二模)已知双曲线C:x24-y2b2=1(b>0)的右焦点为F,直线l:x+by=0是双曲线C的一条渐近线,P是l上一点,则下列结论正确的有( )
A.双曲线C的虚轴长为22
B.双曲线C的离心率为6
C.|PF|的最小值为2
D.直线PF的斜率不等于-22
答案AD
解析双曲线C:x24-y2b2=1的渐近线方程为bx±2y=0,依题意,-1b=-b2,又b>0,所以b=2,所以双曲线C的虚轴长2b=22,故A正确;又双曲线C的离心率e=a2+b2a=62,故B错误;点F(6,0)到直线l:x+2y=0的距离为612+(2)2=2,即|PF|的最小值为2,故C错误;又直线l:x+2y=0的斜率为-22,而点F不在l上,点P在l上,则直线PF的斜率不等于-22,故D正确.故选AD.
10.(2024·浙江金华模拟)已知F1,F2分别是椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆M上,且|PF1|-|PF2|=4b,则椭圆M的离心率可能为( )
A.255B.155C.31010D.7010
答案AC
解析由题意得|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=4b,
则|PF1|=a+2b,|PF2|=a-2b.由|PF1|=a+2b≤a+c,|PF2|=a-2b≥a-c,得2b≤c,即4b2=4(a2-c2)≤c2,得ca≥255,所以椭圆M离心率的取值范围为[255,1),由选项可知,可能的取值为255和31010.故选AC.
11.(2024·江西九江二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,动点P在抛物线C上.若定点M(2,3)满足|MF|=2|OF|,则下列结论正确的有( )
A.C的准线方程为x=-2
B.△PMF周长的最小值为5
C.直线MF的倾斜角为π6
D.四边形OPMF不可能是平行四边形
答案BD
解析抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0),准线方程为x=-p2.又点M(2,3)满足|MF|=2|OF|,所以(p2-2) 2+(0-3)2=2×p2,即3p2+8p-28=0,解得p=2或p=-143(舍去),所以抛物线C:y2=4x,则准线方程为x=-1,焦点为F(1,0),故A错误;过点P作准线x=-1的垂线,垂足为H,由抛物线的定义可知|PH|=|PF|,所以△PMF的周长C△PMF=|PM|+|MF|+|PF|=|PM|+|MF|+|PH|=|PM|+|PH|+2≥|MH|+2=5,当且仅当M,P,H三点共线时,等号成立,所以△PMF周长的最小值为5,故B正确;因为直线MF的斜率kMF=3-02-1=3,所以直线MF的倾斜角为π3,故C错误;过点M作OF的平行线,交抛物线于点P,即y2=4x,y=3,解得x=34,y=3,即P(34,3),则|MP|=2-34=54≠|OF|,所以四边形OPMF不是平行四边形,故D正确.故选BD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.(2024·山东济南期末)已知点A(2,1),抛物线C的准线为l,且点A到l的距离为1,试写出一条符合该要求的抛物线C的标准方程 .
答案y2=-4x(答案不唯一)
解析由于点A(2,1),且点A到l的距离为1,所以准线l的方程可以是x=1,x=3,y=2,因此抛物线C的标准方程可以是y2=-4x,y2=-12x,x2=-8y中的一个.
13.(2024·安徽马鞍山三模)已知双曲线Γ:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的直线与双曲线Γ的右支交于A,B两点.若|AF1|=8,|BF1|=5,∠AF1B=60°,则a= .
答案32
解析依题意过点F2的直线与双曲线Γ的右支交于A,B两点,且|AF1|=8,|BF1|=5,∠AF1B=60°,则|AF2|=8-2a,|BF2|=5-2a,所以|AB|=|AF2|+|BF2|=13-4a,可得(13-4a)2=82+52-2×5×8cs 60°,解得a=32或a=5(舍去).
14.(2024·湖南邵阳一模)已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1,F2,它们的离心率分别为e1,e2,P为它们的一个交点,且cs∠F1PF2=-14.当3e12+e22取最小值时,e12的值为 .
答案5+58
解析设椭圆方程为x2a12+y2b12=1(a1>b1>0),双曲线方程为x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0),椭圆和双曲线的焦距为2c.不妨设点P在第一象限,由题意知|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,则|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.由余弦定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2,即4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)(-14),整理得4c2=52a12+32a22,则4=52e12+32e22,可得3e12+e22=(3e12+e22)·1=14(52e12+32e22)(3e12+e22)=14(9+5e222e12+9e122e22)≥14(9+25e222e12·9e122e22)=9+354,当且仅当5e222e12=9e122e22时,等号成立,可得5e22=3e12,3e12+e22=9+354,解得e12=5+58.