备战2025年高考二轮复习数学专题突破练23 圆锥曲线中的最值、范围问题（提升篇）（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学专题突破练23 圆锥曲线中的最值、范围问题（提升篇）（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了已知抛物线C，已知双曲线C1等内容，欢迎下载使用。
主干知识达标练
1.(17分)(2024安徽黄山一模)如图,设点F1(-c,0),F2(c,0)分别是椭圆E:x2a2+y2=1的左、右焦点,P为椭圆E上任意一点,且PF1·PF2的最小值为-2.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求椭圆E的外切矩形ABCD的面积S的最大值.
解(1)设点P(x,y),则y2=1-x2a2,其中a2>1,则PF1=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y),所以PF1·PF2=(-c-x)(c-x)+y2=x2-c2+y2=x2-(a2-1)+1-x2a2=a2-1a2x2-a2+2,故当x=0时,PF1·PF2取最小值,所以2-a2=-2,可得a2=4,因此,椭圆E的方程为x24+y2=1.
(2)设点A(x0,y0),当直线AB,AD的斜率都存在时,设直线AB,AD的斜率分别为k1,k2,设过点A且斜率存在的直线的方程为y-y0=k(x-x0),即y=kx+(y0-kx0),联立y=kx+(y0-kx0),x2+4y2=4,消去y可得(4k2+1)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0,则Δ=64k2(y0-kx0)2-16(4k2+1)[(y0-kx0)2-1]=0,整理可得(y0-kx0)2-4k2-1=0,即(x02-4)k2-2x0y0k+y02-1=0,则k1,k2是关于k的方程(x02-4)k2-2x0y0k+y02-1=0的两根,
因为AB⊥AD,则k1k2=y02-1x02-4=-1,整理可得x02+y02=5(x02≠4);
当AB,AD分别与两坐标轴垂直时,则A(±2,±1),满足x02+y02=5.
所以点A的轨迹方程为x2+y2=5,
由对称性可知,矩形ABCD的四个顶点都在圆x2+y2=5上,该圆的半径为5,
由勾股定理可得|AB|2+|AD|2=(25)2=20,由基本不等式可得20=|AB|2+|AD|2≥2|AB|·|AD|,即|AB|·|AD|≤10,
当且仅当|AB|=|AD|,|AB|2+|AD|2=20时,即当|AB|=|AD|=10时,等号成立,故S=|AB|·|AD|≤10,即矩形ABCD的面积的最大值为10.
2.(17分)(2024湖南长沙一模)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,其准线l与x轴交于点P,过点P的直线与C交于A,B两点(点A在点B的左侧).
(1)若点A是线段PB的中点,求点A的坐标;
(2)若直线AF与C交于点D,记△BDP内切圆的半径为r,求r的取值范围.
解(1)由题意知P-12,0,设点A(x0,y0),因为点A是线段PB的中点,所以B2x0+12,2y0,
又点A,B都在抛物线C上,所以y02=2x0,4y02=2(2x0+12),解得x0=14,y0=±22,所以点A的坐标为14,22或14,-22.
(2)如图,由题意可知直线AB的斜率存在且不为0,F12,0,设直线AB的方程为y=kx+12,k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),由点A在点B的左侧,则02k1k2=22,故等号可以取到.
即当k取最小值时,k1+k2=23,与k1k2=2联立,可解得k1=3-1,k2=3+1,故PF1的方程为y=(3-1)(x+1),PF2的方程为y=(3+1)(x-1),
联立可解得x=3,y=2,即有P(3,2).
核心素养创新练
4.(17分)(2024江苏南通二模)已知双曲线E的渐近线为y=±33x,左顶点为A(-3,0).
(1)求双曲线E的方程;
(2)直线l:x=t交x轴于点D,过点D的直线交双曲线E于B,C,直线AB,AC分别交l于G,H,若O,A,G,H均在圆P上,
①求点D的横坐标;
②求圆P面积的取值范围.
解(1)因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称,又顶点在x轴上,可设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),从而渐近线方程为y=±bax,所以ba=33.
因为双曲线的左顶点为A(-3,0),所以a=3,b=1,所以双曲线E的方程为x23-y2=1.
(2)如图,①由题知,直线BC斜率存在,设D(t,0),B(x1,y1),C(x2,y2),直线BC的方程为my=x-t,将x=my+t代入双曲线方程,消去x整理得(m2-3)y2+2mty+t2-3=0,易知该方程有两解,所以m2-3≠0且Δ=12(t2+m2-3)>0,则y1+y2=-2mtm2-3,y1y2=t2-3m2-3.
设直线AG的倾斜角为α,不妨设034tanα;
若G,H在x轴下方时,即tan α