备战2025年高考二轮复习数学专题突破练3（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考二轮复习数学专题突破练3（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2024·浙江名校联盟模拟预测)函数f(x)=ln(2x-1)-x2+x的单调递增区间是( )
A.(0,1)B.12,1
C.1-22,1+22D.12,1+22
答案D
解析函数f(x)=ln(2x-1)-x2+x的定义域为12,+∞,且f'(x)=22x-1-2x+1=2-(2x-1)22x-1=[2-(2x-1)][2+(2x-1)]2x-1,令f'(x)>0,解得1273或xf(4)>f(5),且f(e)>f(2).
又因为f(2)=-2ln2=-2×22ln2=-4ln4=f(4),
所以f(e)>f(3)>f(2)>f(5).故选C.
8.已知函数f(x)=x3-x+1,则下列选项错误的是( )
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)有且只有一个零点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线
答案D
解析∵f(x)=x3-x+1,∴f'(x)=3x2-1.由3x2-1=0,得x=33或x=-33.∴f(x)有2个极值点-33与33,且在区间(-∞,-33)上单调递增,在区间(-33,33)上单调递减,在区间(33,+∞)上单调递增.又f33=1-239>0,当x=-2时,f(-2)=-5f33>0,
∴f(x)只在区间-2,-33上存在一个零点,
∴f(x)只有一个零点.
∵f(x)+f(-x)=2,
∴点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心.
由f'(x)=3x2-1=2,解得x=±1,
∴曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1;
曲线y=f(x)在点(-1,1)处的切线方程为y-1=2(x+1),即y=2x+3.∴直线y=2x与曲线y=f(x)不相切.故选D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.(2024·河南郑州模拟预测)过点P(a,b)作直线l与函数f(x)=-2x3的图象相切,则( )
A.若点P与原点重合,则直线l的方程为y=0
B.若直线l与直线x-6y=0垂直,则6a+b=4
C.若点P在f(x)的图象上,则符合条件的直线l只有1条
D.若符合条件的直线l有3条,则a3b0,所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞),B正确;
对于C,f'(x)=2(x2-a)x,x>0,
若a>0,令f'(x)=0,
解得x1=a或x2=-a(舍去).
当a≤1,即00时,由C项知当00,g(x)单调递增,当x∈(-1,1)时,g'(x)0,
即f(x)在(0,x1),(x2,π)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,所以f(x)=cs xcs 2x在区间[0,π]上的极值点个数为2.
14.(2024·浙江杭州二模)函数f(x)=-x2+3x+2x+1的最大值为 .
答案22
解析令t=x+1>0,则x=t2-1,
故f(x)=y=-(t2-1)2+3(t2-1)+2t=-t3+5t-2t,
令h(t)=-t3+5t-2t(t>0),
则h'(t)=-3t2+5+2t2=-3t4+5t2+2t2=-(3t2+1)(t+2)(t-2)t2,
当t∈(0,2)时,h'(t)>0,当t∈(2,+∞)时,h'(t)0,
所以f(x)在区间π2,π上单调递增,即f(x)的最大值为f(π)=4sin π+2π2=4×0+2π2=2π2.
(3)证明f'(x)=4acs x+2(a2+1)x,
当a=0时,f(x)=x2,由二次函数的性质可知f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)恰有一个极值点;
当a>0时,设t(x)=f'(x)=4acs x+2(a2+1)x,则t'(x)=-4asin x+2(a2+1)=-4asinx-a2+12a.
因为a2+12a=a2+12a≥2a2·12a=1,且sin x≤1,所以t'(x)≥0,即t(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
因为t-π2=-(a2+1)π0,
所以存在x0∈-π2,0,使t(x0)=f'(x0)=0,又t(x)在(-∞,+∞)上单调递增,
所以当x0,即f(x)在(x0,+∞)上单调递增,
即f(x)恰有一个极值点.
综上所述,当a≥0时,f(x)有且只有一个极值点.