江西省上饶市婺源县紫阳中学2024-2025学年高二上学期11月检测数学试卷

这是一份江西省上饶市婺源县紫阳中学2024-2025学年高二上学期11月检测数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线，动直线，则下列结论正确的为（ ）
A．不存在，使得的倾斜角为B．对任意的，与都不垂直
C．存在，使得与重合D．对任意的，与都有公共点
2．若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交椭圆于两点，的内切圆圆心分别为，则的周长是（ ）
A．B．C．D．
4．已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（ ）

A．0个B．1个C．2个D．3个
7．武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（ ）种
A．114B．120C．126D．132
8．的展开式中，常数项为（ ）
A．B．C．120D．60
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知圆，则（ ）
A．圆与直线必有两个交点
B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1
C．若圆与圆恰有三条公切线，则
D．已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为8
10．已知顶点为的抛物线为上位于焦点右侧的一个动点，则（ ）
A．若，则
B．若满足，则
C．若直线交于两点，且，则
D．若直线交于点，则
11．在长方体中，分别是棱的中点，是的中点，直线与平面交于点，则（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值是
B．点到平面的距离是
C．三棱锥的体积为
D．四面体外接球的表面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ．
13．若空间向量，，，则 .
14．汽车制造的专业化流程是：设计效果图→制作油泥模型→生产样车→对样车检验→投入生产.已知A市、B市、C市分别有3个、10个、7个能设计效果图的设计院，A市有2个能制作油泥模型的制作中心，B市有6个能生产样车的生产车间，C市有1处能对样车检验的检验中心，A市、B市、C市、D市、E市分别有8，8，6，3，2家能实际投入生产的生产厂家，从设计到实际生产，有 种选择方法．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．（13分）已知直线及点.
(1)若与垂直的直线过点，求与的值；
(2)若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程.
16．（17分）已知双曲线：的离心率为，且经过点．
(1)求的方程；
(2)若上两点，关于点对称，求直线的方程；
(3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示）
17．（15分）如图，在正方体中，，.
(1)当取得最小值时，求与的值.
(2)设与平面所成的角为.
①若，求的值；
②证明：存在常数，使得为定值，并求该定值.
18．（15分）空间向量的叉乘是三维欧几里得空间中定义的一种新运算，它可以用来描述空间向量之间的垂直关系.设空间向量，，则叉乘的运算公式为
(1)证明：.
(2)设，，是平面内不共线的三个不同的点.
①证明：是平面的一个法向量.
②说明的几何意义（即说明的长度与方向的几何意义）.
19．（17分）试解答下列三个计数问题：
（1）小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，共有多少种不同的选择方式？
（2）在3名学生中选出2名，分别在某话剧表演中扮演A和两个角色，共有多少种不同的选择方式？
（3）学校要在3名教师中指派2人，分别取上海和浙江交流教学经验，共有多少种不同的指派方案？
它们的答案是否一致？这三个问题的本质是什么？
数学参考答案：
1．D
【分析】通过斜率不存在即可得到倾斜角可以为，首先讨论斜率是否存在，斜率存在的情况下两直线的位置关系：斜率为乘积为得到垂直关系；斜率相等得到平行（重合），反之即不成立.
【详解】当时，动直线，此时倾斜角为，故A选项错误；
，当时，显然与都不垂直；当时，，
当时，，此时，即存在使得与垂直，故B选项错误；
，当时，显然与都不重合且有公共点；当时，，
当，即时，方程无解，即不存在，使得与平行，但有公共点；
故C选项错误，D选项正确；
故选：D.
2．D
【分析】根据点与圆的位置关系，以及圆的一般方程满足的条件，即可求解.
【详解】根据题意可得解得或.
故选：D
3．A
【分析】根据椭圆及的位置关系，利用等面积法可分别求得它们的内切圆圆心位置及其半径，分别计算出的各边长度可得结果.
【详解】如图所示，
由椭圆，知，所以.
所以，所以过作垂直于轴的直线为，
代入中，解出.
由题知的内切圆的半径相等，且的内切圆圆心的连线垂直于轴于点.
设内切圆的半径为，在中，由等面积法得，.
由椭圆的定义可知，，由，所以，
所以，解得，所以.
因为为的的角平分线，所以一定在上，即轴上，
令圆半径为.
在中，由等面积法得，.
所以，解得，所以，
所以，
所以的周长是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用等面积法求得各内切圆半径，即可得出结果.
4．D
【分析】设，，，则，
然后利用，得到点，然后代入即可求解.
【详解】设，，，则，
由题意可知，即，
将点代入，
得，即
故选：D.
5．D
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以，，
则向量在向量上的投影向量为：.
故选：D.
6．C
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.
【详解】在从左往右第一个图中，因为，所以，
因为侧棱垂直于底面，所以面，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，

因为分别是所在棱的中点，所以
所以，，故，
即得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，

此时，所以，，
故，所以，
在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，

此时，
故，，即，所以不垂直，
则3个直观图中满足的有个，故C正确.
故选：C
7．A
【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可.
【详解】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，
所以必有一人值班3天，另两人各值班2天.
第一类：值班3天在、、、、、时，共有种不同的值班方法；
第二类：值班3天在、时，共有种不同的值班方法；
第三类：值班3天在时，共有种不同的值班方法；
第四类：值班3天在时，共有种不同的值班方法；
综上可知三位老师在国庆节7天假期共有种不同的值班方法.
故选：A
8．D
【分析】由二项式展开式通项公式可得答案.
【详解】的展开式中的第项为：.
令，则常数项为.
故选：D
9．ACD
【分析】根据直线切过定点且该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线的距离可判断B；将圆化成标准形式，转化为两圆外切可判断C；由，且当最小时最小时可判断D.
【详解】对于A，将直线整理得，
由，解得，所以直线过定点，
因为，所以该定点在圆内，则圆与直线必有两个交点，故A正确；

对于B，圆的圆心到直线的距离为，
所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1，
与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1，
所以只有三个点满足题意，故B错误；
对于C，将圆化成标准形式为，
因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以，
解得，故C正确；
对于D，连接，，，

因为，为切点，所以，，
所以，且当最小时，最小，
所以当与直线垂直时，，
又因为半径为2，所以，，
又，，所以垂直平分，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
10．AD
【分析】对于A，利用点在抛物线上结合两点斜率公式消元，再利用基本不等式计算即可；对于B，利用锐角三角函数结合点坐标计算即可；对于C，设坐标及直线方程，联立抛物线求出关系式即可；对于D，设坐标及直线方程，联立抛物线结合韦达定理及二次函数的性质计算即可.
【详解】对于A，当，时，，
则，
又，所以，A正确；

对于B，，
又，所以，B错误；

对于C，设，则，
设，联立，得，
同理可得，所以，
所以，当且仅当时，，
而当时，，
而为上位于焦点右侧的一个动点，即，矛盾，故C错误；

对于D，设，
联立得，，，
，
又，所以，D正确.

故选：AD
11．ACD
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出与利用夹角的余弦公式计算后可判断A的正误，利用向量法可求点到平面的距离后可判断B的正误，求出的坐标后可计算三棱锥的体积，从而可判断C的正误，求出球心的坐标后可求外接球的半径，计算表面积后可判断D的正误.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
故，
故，
故异面直线所成角的余弦值为，故A正确；
因为，设平面的法向量为，
则由可得，取，
而，故点到平面的距离是，故B错误；
又，设，
则
因为共线，所以，故，即，
故，且在轴上，故，故C正确；
设四面体外接球的球心为，则，
即；
；
，
整理得到：，故，故外接球半径为，
故外接球的表面积为，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：空间几何体的外接球的计算问题，首先确定球心的位置，如果球心的位置不易求得，则可以通过空间向量的方法求出球心坐标，从而解决与球有关的计算问题.
12．
【分析】联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可
【详解】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为；
由，消去整理得．
当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，
此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；
当即时，由，无实数解，
综上所述：符合题意的取值为，
故答案为：.
13．
【分析】根据向量垂直列方程，结合对数运算求得.
【详解】依题意得，
解得.
故答案为：
14．6480
【分析】利用分步计数原理可求得总的方法数.
【详解】共分五步：第一步，设计效果图，共计种方法；
第二步，制作油泥模型，有2种方法；第三步，生产样车，有6种方法；
第四步，对样车检验，有1种方法；第五步，投入生产，共计种方法．
所以从设计到实际生产有种选择方法．
15．(1)，
(2)或
【分析】（1）由垂直关系及点在线上列出等式求解即可；
（2）由点到线的距离公式列出等式，求解即可.
【详解】（1）因为直线过点，
所以，解得，
因为与垂直，
所以.
（2）因为点与点到直线的距离相等，
由点到直线的距离公式得.
解得，
当时，的斜截式方程为，
当时，的斜截式方程为.
16．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据双曲线的离心率和所经过的点求得双曲线的方程.
（2）利用点差法求得正确答案.
（3）设直线，其中，根据题中条件确定，再将的方程与联立，利用根与系数的关系，用表示，的长，再利用
【详解】（1）依题意，双曲线：的离心率为，且经过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）依题意，上两点，关于点对称，
由，两式相减并化简得，
所以直线的方程为.
由消去得，，
因此直线必与双曲线有两个交点，所以直线的方程为.
（3）根据题意，直线的斜率都存在且不为，双曲线的右焦点为，
设直线，其中，
因为均与的右支有两个交点，所以，所以，
将的方程与联立，可得.
设，则，
所以
，
同理，
所以,.

【点睛】方法点睛：
离心率与焦点求双曲线方程：利用离心率的定义结合经过特定点的条件，可以唯一确定双曲线的方程.这种方法是求解双曲线方程的基础技巧.
点差法求直线方程：在涉及到对称点问题时，点差法是一种简单而有效的求解直线方程的方法，尤其适用于对称性明显的几何问题.
利用根与系数关系求解交点：在小问3中，通过联立直线与双曲线方程，利用根与系数关系，可以简化交点的求解过程，是一种有效的代数方法.
17．(1)
(2)①；②证明见解析，定值为2
【分析】（1）先建立空间直角坐标系，得到点的坐标以及向量的坐标，即可求出两个向量夹角的余弦值；
（2）①根据直线与平面夹角的正弦值就是该直线方向向量与该平面法向量夹角的余弦值可得到结果；②根据①得到的值，化简即可得到结果.
【详解】（1）解：以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
∴，，
即，
∴，
当时，取得最小值，
此时，
∵，
∴；
（2）①解：，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则即，
令，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴；
②证明：由①知，
则，，
∴，
∴存在常数，使得为定值，
且该定值为2.
18．(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②答案见解析
【分析】（1）利用空间向量叉乘的坐标表示直接计算即可得证；
（2）①利用空间向量数量积的坐标表示证得，，从而得证；②利用空间向量夹角与模的坐标表示证得，结合①中结论即可得解.
【详解】（1）因为，
所以
，
所以.
（2）①设，，
则，
所以，
，
所以，，
所以是平面的一个法向量；
②设，，
则，
所以
，
而，
，
所以，
又，
所以，
所以的几何意义为等于以，为邻边所作的平行四边形的面积，且的方向与平面垂直.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
19．答案见解析
【分析】利用排列与组合的知识计算即可.
【详解】（1）先从3所大学中选择2所有种选法，再依次作为一二志愿，共种安排，
所以小张有6种选择方式；
（2）先从3名同学中选择2名有种选法，再依次确定扮演A和B两种角色，
共种安排，所以有6种选择方式；
（3）先从3名教师中选择2名有种选法，再依次确定去上海、浙江交流，
共种安排，所以有6种指派方案.
三个问题答案均为6种，本质上都是“从3个不同对象中选出2个并排成先后顺序，有多少种不同的排法”