还剩3页未读，
继续阅读
江西省上饶市广丰洋口中学2024-2025学年高三上学期9月检测数学试卷
展开
这是一份江西省上饶市广丰洋口中学2024-2025学年高三上学期9月检测数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知fx=-2x2,x>0,ln1-x,x≤0,则不等式fx+3A．-3,1B．0,1
C．-∞,-3∪1,+∞D．1,+∞
2．已知函数fx的定义域为R，且f2x-1为奇函数，fx+1为偶函数，当x∈-1,1时，fx=ax+1，则f2025=（ ）
A．0B．1C．2D．2025
3．已知函数fx=cs2x+sin2x，则下列说法中，正确的是（ ）
A．fx的最小值为-1
B．fx在区间-π4,π4上单调递增
C．fx的图象关于点π8,0对称
D．fx的图象可由gx=2cs2x的图象向右平移π8个单位得到
4．已知复数z=2+i，则zz-z=（ ）
A．-12-iB．12-iC．12+iD．-12+i
5．已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A是C上一点，点B满足2BF1=-3BF2，∠F1AF2=4∠F1AB=120°，则C的离心率为（ ）
A．72B．132C．7D．13
6．一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A．715B．815C．15D．12
7．设数列an的前n项和为Sn,an+2+2an3an+1=1,a1=1,a2=2．对任意n∈N*,2+λSn+1lg2a2n>lg22an+1恒成立，则（ ）
A．λ>0B．λ>-12C．λ>-1D．λ>-32
8．已知函数fx=x2-2ex+a，gx=lnxx，对于存在的x1∈1,e，存在x2∈1,e，使gx1≤fx2，则实数a的取值范围为（ ）
A．2e-1,+∞B．2e-1,e2+1eC．e2,+∞D．e2+1e,+∞
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．函数y=12x2+4x+3的最小值为2
B．若3a=4b=36，则2a+1b的值为1
C．函数y=5+4x-x2的减区间是2,+∞
D．已知fx在R上是增函数，若a+b>0，则fa+fb>f-a+f-b
10．已知椭圆C：x24+y2b2=1b>0的左右焦点分别为F1、F2，点P2,1在椭圆内部，点Q在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率e的取值范围为(0,22)
B．当e=24时，QF1+QP的最大值为4+62
C．存在点Q，使得QF1⋅QF2=0
D．1QF1+1QF2的最小值为1
11．函数fx及其导函数f'x的定义均为R，且fx是奇函数，设gx=f'x，hx=fx-4+x，则以下结论一定正确的有（ ）
A．gx为偶函数
B．函数g2x-1的图象关于直线x=-12对称
C．hx的图象关于4,4对称
D．设数列an为等差数列，若a1+a2+⋯+a11=44，则ha1+ha2+⋯+ha11=44
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数f(x)=2sinx2csx2-23cs2x2+3在0,π上的最大值是 ．
13．已知点M为圆O':x-12+y-22=1上的动点，过圆心作直线l垂直于x轴交点为A，点B为A关于y轴的对称轴，动点N满足到点B与l到的距离始终相等，记动点N到y轴距离为m，则m+MN的最小值为 ．
14．已知函数f(x)=x3-ax+1(a∈R)的两个极值点为x1，x2x1四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数fx=x+bx-alnxa,b∈R,a>0
（1）若a=1，b=2，若fx的单调区间；
（2）当b=1时，若fx存在唯一的零点x0，且x0∈n,n+1，其中n∈N，求n.
（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）
16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=5，2bcsC=2a-c．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积103，设D是BC的中点，求sin∠BADsin∠CAD的值．
17．（17分）如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长和高均为2，E，F分别为PD，PB的中点．
（1）证明：EF⊥PC；
（2）若点M是线段PC上的点，且PM=13PC，判断点M是否在平面AEF内，并证明你的结论；
（3）求直线PB与平面AEF所成角的正弦值．
18．（15分）某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答这4道题目，任何一道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前两道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰．根据大数据统计，年龄在20岁到30岁之间与年龄在30岁到40岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为34，25．已知甲（25岁）、乙（35岁）两人都参与了该“趣味智力挑战赛”，他们每道题是否答对相互独立．
（1）甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动，求甲通过第一轮挑战赛的概率；
（2）求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率；
（3）求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率．
19．（17分）已知函数fx=ex⋅1x-lnx+a，其中a∈R.
（1）若曲线y=fx在x=1处的切线与直线y=-1ex垂直，求a的值及切线方程；
（2）若函数fx在定义域内单调递减，求a的取值范围.
高三数学参考答案
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】A
【解析】【解答】解：zz-z=2-i2+i-2-i=2-i2i=2i-i22i2=2i+1-2=-12-i，
故答案为： A.
【分析】直接利用共轭复数定义及复数代数形式的乘除运算化简即可.
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】D
【解析】【解答】由an+2+2an3an+1=1，得an+2-an+1=2an+1-an，又a2-a1=1，
所以数列an+1-an是以2为公比，1为首项的等比数列，所以an+1-an=2n-1，
则an=an-an-1+an-1-an-2+⋯+a2-a1+a1=2n-2+2n-3+⋯+21+20+1=1-2n-11-2+1=2n-1，
进而数列an是以2为公比，1为首项的等比数列，可得Sn=1-2n1-2=2n-1，
不等式2+λSn+1lg2a2n>lg22an+1恒成立，
即2n2n-12+λ>n2⇒2+λ>n22n-1⋅2n．
设bn=n22n-1⋅2n，则bn+1-bn=n+122n+1⋅2n+1-n22n-1⋅2n=-2n3+n2-12n-1⋅2n+1⋅2n+1，
当n≥1时，bn+1-bn<0，bn为递减数列，
所以bnmax=b1=12，
所以2+λ>12，解得λ>-32．
故答案为：D．
【分析】
根据递推关系可得an+1-an为等比数列，即可结合累加法求解an=2n-1，由等比求和公式得Sn=2n-1，即可代入不等式化简得λ+2>n22n-1⋅2n，构造bn=n22n-1⋅2n，作差得数列单调性，即可求解.
8．【答案】A
9．【答案】B,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】2
13．【答案】22-2
【解析】【解答】如图所示：
，
由抛物线的定义可知，动点N的轨迹为开口向左的抛物线，
其焦点坐标为B(-1， 0)，准线方程为x=1，
所以抛物线方程为y2=-4x．
圆O':x-12+y-22=1的圆心为O'1,2，半径为R=1，
连接O'B交圆O'于M点，交抛物线于N点，此时|MN|+m最小，
利用两点距离公式得|O'B|=22，
所以|MN|+m的最小值为O'B-p2-R=22-2．
故答案为：22-2.
【分析】
根据动点N满足到点B与l到的距离始终相等，得到动点N的轨迹为开口向左的抛物线，然后利用抛物线的定义， 由|MN|+m的最小值为O'B-p2-R求解.
14．【答案】322
15．【答案】（1）解：将a=1，b=2代入函数fx解析式可得fx=x+2x-lnx，定义域为0,+∞，
则f'x=1-2x2-1x=x+1x-2x2
令f'x=0，解得x=2，x=-1（舍），
所以当x∈0,2时，f'x<0；
当x∈2,+∞时，f'x>0；
故fx的单调递减区间为0,2；fx的单调递增区间为2,+∞.
（2）解：将b=1代入函数fx解析式可得fx=x+1x-alnx，
则f'x=x-1x2-ax=x2-ax-1x2
因为a>0，且对于x2-ax-1=0来说，Δ=a2+4>0，
所以x2-ax-1=0有两个不等式实数根x1,x2，
且x1+x2=a>0,x1x2=-1<0，
所以两根异号，不妨设x1<0,则x2>1，
则由定义域为0,+∞可得fx在0,x2内递减，在x2,+∞内递增，
因为f1=1+1-0=2>0，
要fx存在唯一的零点x0，且x0∈n,n+1，则x0=x2>1，
所以x02-ax0-1=0fx0=x0+1x0-alnx0=0，化简可得x0+1x0-x0-1x0lnx0=0.
令hx=x+1x-x-1xlnx，x>1
则h'x=-1+1x2lnx<0
所以hx=x+1x-x-1xlnx在x>1时单调递减，
由题可知ln2≈0.7，ln3≈1.1，
而h4=174-154⋅ln4=17-30ln24<0，
h3=103-83⋅ln3=10-8ln33>0
所以x0∈3,4
即n=3.
【解析】【分析】（1）将a=1，b=2代入函数fx解析式，求得f'x并令f'x=0，即可由导函数的符号判断单调区间.
（2）将b=1代入函数fx解析式，求得f'x.结合定义域及二次函数性质可知fx的单调区间，并根据零点意义代入方程和函数，可得零点的函数表达式.构造函数hx=x+1x-x-1xlnx，并求得h'x可证明hx的单调性，结合零点存在定理及所给参考数据，即可求得n的值.
16．【答案】（1）π3；
（2）75.
17．【答案】（1）证明 ： 连接AC、BD交于O，连接OP，由正四棱锥的性质可得PO⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，则AC⊥BD，
所以以O为坐标原点，OA、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),C(-2,0,0),D(0,-2,0)，E(0,-22,1)，F(0,22,1)，
则EF=(0,2,0)，PC=(-2,0,-2)，则EF⋅PC=0，
所以EF⊥PC.
（2）解： 由（1）知AE=(-2,-22,1)，AF=(-2,22,1)，
AP=(-2,0,2)，AP+13PC=(-2,0,2)+13(-2,0,-2)=(-432,0,43)，
又PM=13PC，得AM=AP+PM=AP+13PC=(-432,0,43)，
AE+AF=(-22,0,2)，所以AM=23AE+23AF，
所以A、M、E、F四点共面，即点M在平面AEF内．
（3）解： 由（2）可得PB=(0,2,-2)，
设平面AEF的法向量n=(x,y,z)，由n⋅AE=0n⋅AF=0，得-2x-22y+z=0-2x+22y+z=0，
令x=1，则z=2，y=0，所以n=(1,0,2)，
所以csPB,n=PB⋅nPB⋅n=-226⋅3=-23，
所以直线PB与平面AEF所成角的正弦值为23．
【解析】【分析】（1）连接AC、BD交于O，连接OP，以O为坐标原点，OA、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出EF,PC，计算出EF⋅PC=0即可.
（2）求出AE、AF、AM，即可得到AM=23AE+23AF，从而得到A、M、E、F四点共面，即可得证；
（3）求出相关向量和平面法向量，利用公式计算可得.
（1）连接AC、BD交于O，连接OP，由正四棱锥的性质可得PO⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，则AC⊥BD，
所以以O为坐标原点，OA、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),C(-2,0,0),D(0,-2,0)，E(0,-22,1)，F(0,22,1)，
则EF=(0,2,0)，PC=(-2,0,-2)，则EF⋅PC=0，
所以EF⊥PC.
（2）由（1）知AE=(-2,-22,1)，AF=(-2,22,1)，
AP=(-2,0,2)，AP+13PC=(-2,0,2)+13(-2,0,-2)=(-432,0,43)，
又PM=13PC，得AM=AP+PM=AP+13PC=(-432,0,43)，
AE+AF=(-22,0,2)，所以AM=23AE+23AF，
所以A、M、E、F四点共面，即点M在平面AEF内．
（3）由（2）可得PB=(0,2,-2)，
设平面AEF的法向量n=(x,y,z)，由n⋅AE=0n⋅AF=0，得-2x-22y+z=0-2x+22y+z=0，
令x=1，则z=2，y=0，所以n=(1,0,2)，
所以csPB,n=PB⋅nPB⋅n=-226⋅3=-23，
所以直线PB与平面AEF所成角的正弦值为23．
18．【答案】（1）解：记为事件Ai，Bii=1,2,3,4分别为甲、乙两人第i次答对题目，则PAi=34，PBi=25，
甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为144=1256，
则甲通过第一轮挑战赛的概率为1-1256=255256；
（2）解：设事件A为甲不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛；
事件B为乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛，
则PA=PA1+A1A2=PA1+PA1A2=34+14×34=1516，
PB=PB1+B1B2=PB1+PB1B2=25+35×25=1625．
故甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率为PAB=1516×1625=35；
（3）解：甲通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为PD=PA1A2A3=142×34=364，
乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为PE=PB1B2B3=352×25=18125，
故甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率为PAE+PDB=1516×18125+364×1625=33200．
【解析】【分析】（1）先求甲第一轮挑战赛被淘汰的概率，再根据对立事件的概率求解即可；
（2）分别计算甲、乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛，再根据独立事件概率乘法公式求解即可；
（3）分别计算甲、乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率，利用（2）的结论结合独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求解即可.
（1）设甲、乙两人第i次答对题目分别记为事件Ai，Bii=1,2,3,4，
则PAi=34，PBi=25．
甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为144=1256，
则甲通过第一轮挑战赛的概率为1-1256=255256．
（2）设甲不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件A，乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件B，则PA=PA1+A1A2=PA1+PA1A2=34+14×34=1516，
PB=PB1+B1B2=PB1+PB1B2=25+35×25=1625．
故所求概率为PAB=1516×1625=35．
（3）甲通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为PD=PA1A2A3=142×34=364．
乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为PE=PB1B2B3=352×25=18125．
故所求概率为PAE+PDB=1516×18125+364×1625=33200．
19．【答案】（1）2，y=ex+2e
（2）-∞,12+12ln2
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知fx=-2x2,x>0,ln1-x,x≤0,则不等式fx+3
C．-∞,-3∪1,+∞D．1,+∞
2．已知函数fx的定义域为R，且f2x-1为奇函数，fx+1为偶函数，当x∈-1,1时，fx=ax+1，则f2025=（ ）
A．0B．1C．2D．2025
3．已知函数fx=cs2x+sin2x，则下列说法中，正确的是（ ）
A．fx的最小值为-1
B．fx在区间-π4,π4上单调递增
C．fx的图象关于点π8,0对称
D．fx的图象可由gx=2cs2x的图象向右平移π8个单位得到
4．已知复数z=2+i，则zz-z=（ ）
A．-12-iB．12-iC．12+iD．-12+i
5．已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A是C上一点，点B满足2BF1=-3BF2，∠F1AF2=4∠F1AB=120°，则C的离心率为（ ）
A．72B．132C．7D．13
6．一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A．715B．815C．15D．12
7．设数列an的前n项和为Sn,an+2+2an3an+1=1,a1=1,a2=2．对任意n∈N*,2+λSn+1lg2a2n>lg22an+1恒成立，则（ ）
A．λ>0B．λ>-12C．λ>-1D．λ>-32
8．已知函数fx=x2-2ex+a，gx=lnxx，对于存在的x1∈1,e，存在x2∈1,e，使gx1≤fx2，则实数a的取值范围为（ ）
A．2e-1,+∞B．2e-1,e2+1eC．e2,+∞D．e2+1e,+∞
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．函数y=12x2+4x+3的最小值为2
B．若3a=4b=36，则2a+1b的值为1
C．函数y=5+4x-x2的减区间是2,+∞
D．已知fx在R上是增函数，若a+b>0，则fa+fb>f-a+f-b
10．已知椭圆C：x24+y2b2=1b>0的左右焦点分别为F1、F2，点P2,1在椭圆内部，点Q在椭圆上，椭圆C的离心率为e，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率e的取值范围为(0,22)
B．当e=24时，QF1+QP的最大值为4+62
C．存在点Q，使得QF1⋅QF2=0
D．1QF1+1QF2的最小值为1
11．函数fx及其导函数f'x的定义均为R，且fx是奇函数，设gx=f'x，hx=fx-4+x，则以下结论一定正确的有（ ）
A．gx为偶函数
B．函数g2x-1的图象关于直线x=-12对称
C．hx的图象关于4,4对称
D．设数列an为等差数列，若a1+a2+⋯+a11=44，则ha1+ha2+⋯+ha11=44
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数f(x)=2sinx2csx2-23cs2x2+3在0,π上的最大值是 ．
13．已知点M为圆O':x-12+y-22=1上的动点，过圆心作直线l垂直于x轴交点为A，点B为A关于y轴的对称轴，动点N满足到点B与l到的距离始终相等，记动点N到y轴距离为m，则m+MN的最小值为 ．
14．已知函数f(x)=x3-ax+1(a∈R)的两个极值点为x1，x2x1
15．（13分）已知函数fx=x+bx-alnxa,b∈R,a>0
（1）若a=1，b=2，若fx的单调区间；
（2）当b=1时，若fx存在唯一的零点x0，且x0∈n,n+1，其中n∈N，求n.
（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）
16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=5，2bcsC=2a-c．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积103，设D是BC的中点，求sin∠BADsin∠CAD的值．
17．（17分）如图，正四棱锥P-ABCD的底面边长和高均为2，E，F分别为PD，PB的中点．
（1）证明：EF⊥PC；
（2）若点M是线段PC上的点，且PM=13PC，判断点M是否在平面AEF内，并证明你的结论；
（3）求直线PB与平面AEF所成角的正弦值．
18．（15分）某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答这4道题目，任何一道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前两道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰．根据大数据统计，年龄在20岁到30岁之间与年龄在30岁到40岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为34，25．已知甲（25岁）、乙（35岁）两人都参与了该“趣味智力挑战赛”，他们每道题是否答对相互独立．
（1）甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动，求甲通过第一轮挑战赛的概率；
（2）求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率；
（3）求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率．
19．（17分）已知函数fx=ex⋅1x-lnx+a，其中a∈R.
（1）若曲线y=fx在x=1处的切线与直线y=-1ex垂直，求a的值及切线方程；
（2）若函数fx在定义域内单调递减，求a的取值范围.
高三数学参考答案
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】A
【解析】【解答】解：zz-z=2-i2+i-2-i=2-i2i=2i-i22i2=2i+1-2=-12-i，
故答案为： A.
【分析】直接利用共轭复数定义及复数代数形式的乘除运算化简即可.
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】D
【解析】【解答】由an+2+2an3an+1=1，得an+2-an+1=2an+1-an，又a2-a1=1，
所以数列an+1-an是以2为公比，1为首项的等比数列，所以an+1-an=2n-1，
则an=an-an-1+an-1-an-2+⋯+a2-a1+a1=2n-2+2n-3+⋯+21+20+1=1-2n-11-2+1=2n-1，
进而数列an是以2为公比，1为首项的等比数列，可得Sn=1-2n1-2=2n-1，
不等式2+λSn+1lg2a2n>lg22an+1恒成立，
即2n2n-12+λ>n2⇒2+λ>n22n-1⋅2n．
设bn=n22n-1⋅2n，则bn+1-bn=n+122n+1⋅2n+1-n22n-1⋅2n=-2n3+n2-12n-1⋅2n+1⋅2n+1，
当n≥1时，bn+1-bn<0，bn为递减数列，
所以bnmax=b1=12，
所以2+λ>12，解得λ>-32．
故答案为：D．
【分析】
根据递推关系可得an+1-an为等比数列，即可结合累加法求解an=2n-1，由等比求和公式得Sn=2n-1，即可代入不等式化简得λ+2>n22n-1⋅2n，构造bn=n22n-1⋅2n，作差得数列单调性，即可求解.
8．【答案】A
9．【答案】B,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】2
13．【答案】22-2
【解析】【解答】如图所示：
，
由抛物线的定义可知，动点N的轨迹为开口向左的抛物线，
其焦点坐标为B(-1， 0)，准线方程为x=1，
所以抛物线方程为y2=-4x．
圆O':x-12+y-22=1的圆心为O'1,2，半径为R=1，
连接O'B交圆O'于M点，交抛物线于N点，此时|MN|+m最小，
利用两点距离公式得|O'B|=22，
所以|MN|+m的最小值为O'B-p2-R=22-2．
故答案为：22-2.
【分析】
根据动点N满足到点B与l到的距离始终相等，得到动点N的轨迹为开口向左的抛物线，然后利用抛物线的定义， 由|MN|+m的最小值为O'B-p2-R求解.
14．【答案】322
15．【答案】（1）解：将a=1，b=2代入函数fx解析式可得fx=x+2x-lnx，定义域为0,+∞，
则f'x=1-2x2-1x=x+1x-2x2
令f'x=0，解得x=2，x=-1（舍），
所以当x∈0,2时，f'x<0；
当x∈2,+∞时，f'x>0；
故fx的单调递减区间为0,2；fx的单调递增区间为2,+∞.
（2）解：将b=1代入函数fx解析式可得fx=x+1x-alnx，
则f'x=x-1x2-ax=x2-ax-1x2
因为a>0，且对于x2-ax-1=0来说，Δ=a2+4>0，
所以x2-ax-1=0有两个不等式实数根x1,x2，
且x1+x2=a>0,x1x2=-1<0，
所以两根异号，不妨设x1<0,则x2>1，
则由定义域为0,+∞可得fx在0,x2内递减，在x2,+∞内递增，
因为f1=1+1-0=2>0，
要fx存在唯一的零点x0，且x0∈n,n+1，则x0=x2>1，
所以x02-ax0-1=0fx0=x0+1x0-alnx0=0，化简可得x0+1x0-x0-1x0lnx0=0.
令hx=x+1x-x-1xlnx，x>1
则h'x=-1+1x2lnx<0
所以hx=x+1x-x-1xlnx在x>1时单调递减，
由题可知ln2≈0.7，ln3≈1.1，
而h4=174-154⋅ln4=17-30ln24<0，
h3=103-83⋅ln3=10-8ln33>0
所以x0∈3,4
即n=3.
【解析】【分析】（1）将a=1，b=2代入函数fx解析式，求得f'x并令f'x=0，即可由导函数的符号判断单调区间.
（2）将b=1代入函数fx解析式，求得f'x.结合定义域及二次函数性质可知fx的单调区间，并根据零点意义代入方程和函数，可得零点的函数表达式.构造函数hx=x+1x-x-1xlnx，并求得h'x可证明hx的单调性，结合零点存在定理及所给参考数据，即可求得n的值.
16．【答案】（1）π3；
（2）75.
17．【答案】（1）证明 ： 连接AC、BD交于O，连接OP，由正四棱锥的性质可得PO⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，则AC⊥BD，
所以以O为坐标原点，OA、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),C(-2,0,0),D(0,-2,0)，E(0,-22,1)，F(0,22,1)，
则EF=(0,2,0)，PC=(-2,0,-2)，则EF⋅PC=0，
所以EF⊥PC.
（2）解： 由（1）知AE=(-2,-22,1)，AF=(-2,22,1)，
AP=(-2,0,2)，AP+13PC=(-2,0,2)+13(-2,0,-2)=(-432,0,43)，
又PM=13PC，得AM=AP+PM=AP+13PC=(-432,0,43)，
AE+AF=(-22,0,2)，所以AM=23AE+23AF，
所以A、M、E、F四点共面，即点M在平面AEF内．
（3）解： 由（2）可得PB=(0,2,-2)，
设平面AEF的法向量n=(x,y,z)，由n⋅AE=0n⋅AF=0，得-2x-22y+z=0-2x+22y+z=0，
令x=1，则z=2，y=0，所以n=(1,0,2)，
所以csPB,n=PB⋅nPB⋅n=-226⋅3=-23，
所以直线PB与平面AEF所成角的正弦值为23．
【解析】【分析】（1）连接AC、BD交于O，连接OP，以O为坐标原点，OA、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出EF,PC，计算出EF⋅PC=0即可.
（2）求出AE、AF、AM，即可得到AM=23AE+23AF，从而得到A、M、E、F四点共面，即可得证；
（3）求出相关向量和平面法向量，利用公式计算可得.
（1）连接AC、BD交于O，连接OP，由正四棱锥的性质可得PO⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，则AC⊥BD，
所以以O为坐标原点，OA、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),C(-2,0,0),D(0,-2,0)，E(0,-22,1)，F(0,22,1)，
则EF=(0,2,0)，PC=(-2,0,-2)，则EF⋅PC=0，
所以EF⊥PC.
（2）由（1）知AE=(-2,-22,1)，AF=(-2,22,1)，
AP=(-2,0,2)，AP+13PC=(-2,0,2)+13(-2,0,-2)=(-432,0,43)，
又PM=13PC，得AM=AP+PM=AP+13PC=(-432,0,43)，
AE+AF=(-22,0,2)，所以AM=23AE+23AF，
所以A、M、E、F四点共面，即点M在平面AEF内．
（3）由（2）可得PB=(0,2,-2)，
设平面AEF的法向量n=(x,y,z)，由n⋅AE=0n⋅AF=0，得-2x-22y+z=0-2x+22y+z=0，
令x=1，则z=2，y=0，所以n=(1,0,2)，
所以csPB,n=PB⋅nPB⋅n=-226⋅3=-23，
所以直线PB与平面AEF所成角的正弦值为23．
18．【答案】（1）解：记为事件Ai，Bii=1,2,3,4分别为甲、乙两人第i次答对题目，则PAi=34，PBi=25，
甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为144=1256，
则甲通过第一轮挑战赛的概率为1-1256=255256；
（2）解：设事件A为甲不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛；
事件B为乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛，
则PA=PA1+A1A2=PA1+PA1A2=34+14×34=1516，
PB=PB1+B1B2=PB1+PB1B2=25+35×25=1625．
故甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率为PAB=1516×1625=35；
（3）解：甲通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为PD=PA1A2A3=142×34=364，
乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为PE=PB1B2B3=352×25=18125，
故甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率为PAE+PDB=1516×18125+364×1625=33200．
【解析】【分析】（1）先求甲第一轮挑战赛被淘汰的概率，再根据对立事件的概率求解即可；
（2）分别计算甲、乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛，再根据独立事件概率乘法公式求解即可；
（3）分别计算甲、乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率，利用（2）的结论结合独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求解即可.
（1）设甲、乙两人第i次答对题目分别记为事件Ai，Bii=1,2,3,4，
则PAi=34，PBi=25．
甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为144=1256，
则甲通过第一轮挑战赛的概率为1-1256=255256．
（2）设甲不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件A，乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件B，则PA=PA1+A1A2=PA1+PA1A2=34+14×34=1516，
PB=PB1+B1B2=PB1+PB1B2=25+35×25=1625．
故所求概率为PAB=1516×1625=35．
（3）甲通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为PD=PA1A2A3=142×34=364．
乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为PE=PB1B2B3=352×25=18125．
故所求概率为PAE+PDB=1516×18125+364×1625=33200．
19．【答案】（1）2，y=ex+2e
（2）-∞,12+12ln2
相关试卷
江西省广丰中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学测试卷： 这是一份江西省广丰中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学测试卷，共6页。试卷主要包含了选择题必须使用2B铅笔填涂， 已知数列{an}满足等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年江西省上饶市洋口中学高一（下）期末数学试卷（含答案）： 这是一份2023-2024学年江西省上饶市洋口中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年江西省上饶市广丰一中高一（下）期末数学试卷（含答案）： 这是一份2023-2024学年江西省上饶市广丰一中高一（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
