江西省上饶市余干县第二中学2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷

这是一份江西省上饶市余干县第二中学2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线与平行，且过点，则（ ）
A．B．3C．D．2
2．若圆C的圆心为，且被y轴截得的弦长为8，则圆C的一般方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知双曲线以两个坐标轴为对称轴，且经过点和，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知在四面体中，，，，，为BC的中点，若.则（ ）

A．B．C．D．3
6．如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（ ）

A．B．C．D．
7．将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i项为，若，，，则这样的数列共有（ ）
A．70个B．71个C．80个D．81个
8．已知的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是（ ）
A．-1B．1C．64D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知椭圆的左、右焦点分别为，则（ ）
A．与有相同离心率的椭圆标准方程一定是
B．过的直线与椭圆交于两点，则
C．设，点是椭圆上任意点，则有最大值无最小值
D．设圆，圆上任意点向椭圆引切线，则两切线互相垂直
10．如图，在平行六面体中，已知，，E为棱上一点，且，则（ ）
A．B．直线与所成角的余弦值为
C． 平面D．直线与平面所成角为
11．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目，则（ ）
A．若要求4个音乐节目排在一起，则有种不同的排法
B．若要求曲艺节目甲必须在曲艺节目乙的前边，则有种不同的排法
C．若要求3个舞蹈节目不能排在一起，则有种不同的排法
D．若要求音乐节目、舞蹈节目、曲艺节目分别相邻演出，则有种不同的排法
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知圆上两点满足，则的最小值为 ．
13．已知，其中若，则 .
14．若的展开式的二项式系数和为32，且的系数为80，则实数的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．（13分）已知圆C：，点，点．
(1)过点P作圆C的切线l，求出l的方程；
(2)设A为圆C上的动点，G为三角形APQ的重心，求动点G的轨迹方程．
16．（15分）双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左顶点为，右焦点为，动点在上，当时，.
(1)求的离心率；
(2)若在第一象限，在轴的负半轴是否存在定点使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
17．（17分）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形.
(1)求拋物线的方程；
(2)如图，
抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标.
18．（15分）如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，，分别为棱和的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，且平面平面，求二面角的余弦值大小.
19．（17分）三个女生和五个男生排成一排．
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？
(5)如果男生甲、乙之间必须排两个女生，可有多少种不同的排法？
参考答案
1．D
【分析】根据两直线平行的条件求出，将代入直线求出即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得，
又直线过，则，解得，
经验证与不重合，所以.
故选：D.
2．C
【分析】运用弦长结合垂径定理求出圆的半径即可.
【详解】如图，过点 C 作CD⊥AB 于D，依题意， 因为故|CD|=3，
从而，圆的半径为 故所求圆的方程为
即
故选：C
3．B
【分析】设曲线方程，带入点坐标得到等量关系，由渐近线方程的公式即可得到结论.
【详解】设双曲线：，点和在曲线上，
∴，两式相减可得，即.
∴渐近线方程为：，
故选：B.
4．B
【分析】（方法一）首先求出抛物线的方程为，设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，，从而求出的最小值即可.
（方法二）首先求出，再利用基本不等式即可求解即可.
【详解】（方法一）

因为抛物线的焦点到准线的距离为，故，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为F1,0，
设直线的方程为：，不妨设，
联立方程，整理得，则，
故，
又AF=x1+p2=x1+1，，
则，
当且仅当时等号成立，故的最小值为.
故选：B.
（方法二）由方法一可得，则，
因此
，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
故选：B.
5．B
【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解.
【详解】因为，为BC的中点，
所以，
又，则，，，
所以.
故选：B.
6．C
【分析】建立空间直角坐标系，通过表示出点坐标，利用数量积求出夹角余弦值的范围，进而得出答案.
【详解】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，
则，
，，
设得：，
所以，
，
由，
所以，当时，等号成立，
则，即异面直线与MN所成角的正弦值的最小值为.
故选：C.
7．B
【分析】先分类，再分步，根据加法原理以及乘法原理、组合数即可求解.
【详解】若，则这样的数列有个；
若，则这样的数列有个；
若，则这样的数列有个，
所以满足条件的数列共有个，
故选：B．
8．B
【分析】首先根据题意求出的值，然后在中令即可求解.
【详解】由题意，注意到是正整数，所以解得，
则展开式所有项系数和是.
故选：B.
9．BD
【分析】由离心率的定义可得A正确；设过的直线方程为，Ax1,y1,Bx2,y2，联立椭圆方程，得到韦达定理，结合两点间距离公式化简可得B正确；由椭圆的定义得到，进而可得C错误；设切线方程为，联立椭圆方程，由判别式为零可得两直线的斜率为，进而可得D正确；
【详解】对于A，椭圆的离心率，若椭圆方程为：，则其离心率也为12，
但该方程不是的形式，故A错误；
对于B，设过的直线方程为，Ax1,y1,Bx2,y2，同时设
联立，消去可得，，
，
，同理，
所以
，故B正确；
对于C，由椭圆的定义可得，
所以，
当三点不共线时，，共线时，
所以有最大值，有最小值，故C错误；
对于D，设圆上任意点，
当切线的斜率存在时，设斜率为，则切线方程为，
代入椭圆方程，
所以，
整理可得，
所以，
又，所以，
当斜率不存在时，显然垂直，故D正确；
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题B、D的关键在于直曲联立时化简较为麻烦，计算量较大.
10．ABD
【分析】通过建立空间的一组基底，将相关直线的方向向量用基向量表示，利用向量数量积的运算律求模长判断A项；利用空间向量的夹角公式计算判断B项；利用向量的数量积是否为0判断C项；通过求平面的法向量和空间向量的夹角判断D项.
【详解】不妨设则.
对于A，因,
故
，故，故A正确；
对于B，因，,则，
，
设直线与所成角为，则故B正确；
对于C，因
，
即与不垂直，故不与平面垂直，故C错误；
对于D，因，,
因，，
则有因平面，故平面，
即平面的法向量可取为，又，
设直线与平面所成角为，
因，，，
则，因，故，故D正确.
故选：ABD.
11．BC
【分析】对于排列问题，相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，定序问题倍缩法，逐项分析判断即可.
【详解】对A：先将4个音乐节目全排列，有种排法；
再把音乐节目捆绑和舞蹈、曲艺看作6个节目，进行全排列，有种排法，
所以共有种排法，A错误；
对B：先从9个位置中选7个位置排好音乐和舞蹈节目，有种排法；
再排曲艺节目，只有一种排法，所以共有种排法，B正确；
对C：先排音乐和曲艺节目，有种排法；
再把3个舞蹈节目排在空位中，有种排法，所以共有种排法，C正确；
对D：先把它们各自排列并捆绑，各自有种排法，
再把它们看做三个元素进行全排列，有种排法，所以共有种排法，D错误．
故选：BC
12．5
【分析】设弦的中点为,由题意推出动点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，再将所求式理解为点Ax1,y1到直线的距离的5倍与点Bx2,y2到直线的距离的5倍的和，结合图形，证明当且与小圆相切时得到的的5倍即所求式的最小值.
【详解】设弦的中点为，则
因点Ax1,y1,Bx2,y2在圆上，则，，
于是
，即动点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆.
设，
则可将其理解为点Ax1,y1到直线的距离的5倍，
设，
可将其理解为点Bx2,y2到直线的距离的5倍,
故要求的最小值，可先求的最小值.
如图，，且的距离为4，过点作，交小圆于点，
过点作小圆的切线，交大圆于点,分别交直线于点，
在小圆上任取点，过点作小圆的切线交大圆于点，
分别过点作于点，作于点
过点作的平行线与过点与垂直的直线交于点.
则,易得, ，
下面说明图中的即的最小值，最小值为，
此时的最小值为5，即的最小值为5.
理由：因，而,
故，即为的最小值.
故答案为：5.
13．
【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算代入计算，即可求解.
【详解】由题意可得，，
，
则.
故答案为：
14．-2
【分析】由二项式系数和先求，再利用通项得到的指数确定值，由的系数为，建立关于的方程求解可得.
【详解】因为的展开式的二项式系数和为，
所以，解得.
所以二项式展开式的通项公式为，
由，解得，
所以的系数为，解得.
故答案为：.
15．(1)或；
(2)．
【分析】（1）分切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况求解即可；
（2）设，，结合重心的性质可得，进而结合A为圆C上的动点求解即可.
【详解】（1）由C：，
则圆心，半径，
当切线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意；
当切线l的斜率存在时,则设切线l的方程为，即，
所以，解得，
此时切线l的方程为，即.
综上所述，切线l的方程为或.
（2）设，，
因为，，G为三角形APQ的重心，
所以，即，
由A为圆C上的动点，得，
则，整理得，
即动点G的轨迹方程为．
16．(1)
(2)存在，且点
【分析】（1）求出，根据可得出关于、的齐次等式，即可解得双曲线的离心率；
（2）假设在轴的负半轴上存在定点，使得，设点Px0,y0，由已知条件可得出，利用二倍角的正切公式化简可得出的值，即可得出结论.
【详解】（1）解：当时，设点，则，可得，则，
又因为，由可得，
可得，解得，
此时，双曲线的离心率为.
（2）解：由（1）可知，，则，，
所以，双曲线的方程可化为，
设点，其中，，且，
若在轴的负半轴上存在定点，使得，
且，，
因为，则，
即，整理可得，
所以，，解得，
因此，在轴的负半轴上存在定点，使得.
【点睛】关键点点睛：解本题第（2）问的关键在于根据二倍角的正切公式得出关于的等式，利用恒成立思想得出关于的方程组求解.
17．(1)
(2)证明见解析，
【分析】（1）记准线与轴交于点，在中，求出焦准距，即可求解抛物线方程.
（2）设，联立抛物线方程，韦达定理，根据倾斜角互补即斜率之和为0，化简求得，即可得解.
【详解】（1）如图，记准线与轴交于点，在中，，
所以.
故抛物线.
（2）因为垂直于轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以必有斜率，
设，
由且，
因为位于轴同侧，所以，则，
由得，所以，
又点F0,1，直线和的倾斜角互补，所以，
所以，所以，
即，解得，
所以直线恒过定点.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接，，证明，由线线平行即可推得线面平行；
（2）取上的四等分点，满足,取的中点,连接,通过证得推得四点共面，
由题设证明平面，从而完成建系，不妨取，求出相关点坐标，计算两平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式即可求得.
【详解】（1）
如图，取的中点，连接，，
在中，因是的中点，故，且.
在三棱柱中，且，
又为棱的中点，故得，且，
故得， 则有，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）
由题意，三棱柱中所有棱长都相等，则与都是等边三角形，
如图，取上的四等分点，满足,
取的中点,连接,
则,易知,且，故可得，
则有，故有则四点共面.
因平面平面，平面平面，
且平面平面可得平面，又.
故可建立以为原点，，，所在直线分别为，，轴的空间直角坐标系.
不妨取，则，由可解得
则有，，，
则,
设平面法向量为，
则，
取，可得，，
故为平面的一个法向量，
因平面，故为底面的一个法向量，
则，
设二面角的平面角为，由图知二面角为锐二面角，
故二面角的余弦值为.
19．(1)4320
(2)14400
(3)14400
(4)36000
(5)1440
【分析】（1）利用捆绑法进行求解；
（2）插空法进行求解；
（3）方法一，先安排两端的位置，剩余位置进行全排列，得到答案；
方法二，间接法进行求解，先安排三个女生和五个男生排成一排的总数，再减去不合要求的方法数；
方法三，先从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，再考虑其他位置，从而得到答案；
（4）分首位排了男生和首位排了女生两种情况，分别求出方法数，相加后得到答案‘
（5）安排好男生甲、乙，再安排甲和乙之间的两个女生，再把甲、乙及中间两个女生看成一个整体捆绑在一起，和另外四人排成一队，利用全排列知识求出答案.
【详解】（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，
这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有种不同的排法，
对于其中的每一种排法，三个女生之间又有种不同的排法．
因此共有（种）不同的排法．
（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，
每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，
加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，
只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，
由于五个男生排成一排有种不同排法，
对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有种排法，
因此共有（种）不同的排法．
（3）方法一（位置分析法），因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，
有种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有种不同的排法，
所以共有（种）不同的排法．
方法二（间接法），三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法，
从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，
但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，
在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，
由于两端都是女生有种不同的排法，
所以共有（种）不同的排法．
方法三（元素分析法），从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有种不同的排法，
对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有种不同的排法，
所以共有（种）不同的排法．
（4）方法一（位置分析法），因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，
那么末位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法；
如果首位排女生，有种排法，那么末位就只能排男生，这样可有种不同的排法，
因此共有（种）不同的排法．
方法二（间接法），三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法，
从中扣除两端都是女生的排法种，就得到两端不都是女生的排法种数．
因此共有（种）不同的排法．
（5）男生甲、乙排好有种排法，从三个女生中选两人排在甲、乙之间有种排法，
再把甲、乙及中间两个女生看成一个整体捆绑在一起，和另外四人排成一队有种排法，
所以共有（种）不同的排法．