江西省上饶市婺源县文公中学2024-2025学年高二上学期十一月数学测试卷

这是一份江西省上饶市婺源县文公中学2024-2025学年高二上学期十一月数学测试卷，共13页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线分别交轴和于两点，若是线段的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）
A．6B．C．D．3
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ）
A．4B．2C．3D．1
5．已知抛物线上的点到其焦点的距离是它到y轴距离的2倍，若抛物线E的焦点与双曲线的右焦点重合，过双曲线C左右顶点A，B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，若，则双曲线的离心率为（ ）．
A．B．2C．D．
6．已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在长方体中，，，记为棱的中点，若空间中动点满足，则点的轨迹与侧面相交所形成的曲线长为（ ）

A．B．C．D．
8．空间四边形中，，点在上，，点为的中点，则 （ ）

A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．设，过定点A的动直线与过定点B的动直线交于点P，则下列说法正确的有（ ）
A．B．三角形PAB面积的最大值为
C．D．P点到坐标原点的距离的最大值为
10．已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线与圆相切于点，点在线段上，过点作的垂线，垂足为，则（ ）
A．
B．直线的方程为
C．
D．的面积为
11．下列说法正确的是（ ）
A．已知，则在上的投影向量为
B．若是四面体的底面的重心，则
C．若，则四点共面
D．若向量（都是不共线的非零向量），则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知直线与圆交于，两点．若，则实数 ．
13．已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交于两点，若，则的准线方程为 ．
14．已知平面的法向量为，点在平面内，若点到平面的距离为2，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．（13分）已知直线过点且与圆相切.
(1)求直线的方程；
(2)若圆与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的标准方程.
16．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，若，求点O到直线l的距离d.
17．（15分）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为．
(1)求的方程和焦点坐标；
(2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求．
18．（17分）已知抛物线上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作x轴的垂线交直线AO（O是坐标原点）于D，过A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，直线与交于点G．求
19．（17分）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，．

(1)用分别表示．
(2)若，求：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
数学参考答案
1．C
【分析】由是线段的中点，可得两点坐标，后可得直线方程.
【详解】由题意，设因为是线段的中点，则，
解得，所以则直线l的方程为，即
故选：C.
2．B
【分析】根据圆的方程，结合圆的切线的性质进行求解即可.
【详解】，圆的半径为，
所以，
故选：B.
3．A
【分析】作，结合条件可得，结合椭圆定义求出，在，中，分别由勾股定理建立等式得到的方程，求得答案.
【详解】如图，，垂足为，
因为，所以，为的中点，
，，
，
，整理得，
所以，即，
，
，
在中，，在中，，
，
化简整理得，
，解得或，又，.
故选：A.
4．B
【分析】根据双曲线的定义及中垂线的性质求解
【详解】双曲线的实半轴长为，
延长交直线于点，
由题意有，，
又是中点，
所以，
故选：B.
5．C
【分析】先由题意结合抛物线焦半径得，从而得，将其代入可求出E，进而得，再由双曲线渐近线方程和点到直线距离公式以及勾股定理得，求出结合离心率公式即可得解.
【详解】由题意可得且抛物线E上的到其焦点的距离是，它到y轴距离是，
所以，即，
将代入得，
所以，焦点为，所以，
又，双曲线渐近线方程为，
不妨假设是过A，B作C的同一条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，
则双曲线的对称性可知A和B到渐近线的距离相等为，
所以，
所以即，则双曲线的离心率为.

故选：C.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是由题意结合抛物线焦半径得，从而求得，将其代入抛物线求出E得，关键点2是由双曲线渐近线方程和点到直线距离公式以及勾股定理得即得，进而结合离心率公式得解.
6．A
【分析】在时，将P、Q坐标代入椭圆方程，结合，可得，再引入参数线段PQ中点的纵坐标)，用其表示出，再得线段PQ的垂直平分线的方程，分析即可求解.
【详解】因为，在椭圆上，
且，当时，由，
得，
设线段PQ的中点为，所以，
所以线段PQ的垂直平分线的方程为，
即，该直线恒过定点
当时，线段PQ的垂直平分线也过定点，
故线段PQ的垂直平分线恒过定点
故选：A．
7．D
【分析】根据长方体的几何性质，结合锐角三角函数定义、通过建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式进行求解即可.
【详解】因为点的轨迹与侧面相交，
所以点的轨迹在侧面内，
由长方体性质可知：都与平面垂直，
而在平面内，所以，
由，
可知，即，故，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，故所求点满足，
化简得，
故所求的即为此圆在矩形内的部分，
即圆心角为，半径为2的圆弧，长度为．
故选：D

【点睛】关键点睛：本题的关键是根据角的关系确定边之间的关系，利用空间两点间距离公式进行求解.
8．B
【分析】根据题意，利用空间向量的运算法则，准确化简，即可求解.
【详解】空间四边形OABC中，，
且点在上，，点为的中点，
连接，可得.
故选：B.

9．BCD
【分析】根据已知条件可得出两直线过定点，且两直线垂直，进而得出P在以AB为直径的圆上，根据圆的性质可判断A错误，得出后利用基本不等式可判断BC，利用点到圆上点的最值问题即可判定D.
【详解】A中：直线：，令，则，则定点，
：，化简得，令，则，则，
当时，直线：，直线：，此时两直线垂直，
当，，显然，两直线垂直，
综上两直线互相垂直，则；故A错误；
B中：，
当且仅当时等号成立，故B正确；
C中：由，，知，
所以，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，因为动点P在以AB为直径的圆上，所以圆心为，半径为，
圆心到原点的距离为，
所以P点到坐标原点的距离的最大值为，故D正确.
故选：BCD
10．BC
【分析】利用勾股定理求得，根据点斜式求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，求得横坐标，根据抛物线的定义求得，进而计算出的面积.
【详解】圆即，
是圆心为，半径的圆.
抛物线的焦点F1,0，准线为，
由于直线与圆相切，所以，A选项错误.
由于，所以，
所以直线的斜率为，方程为，即，B选项正确.
由解得，即，
根据抛物线的定义得，C选项正确.
所以的面积为，D选项错误.
故选：BC
11．BCD
【分析】根据投影向量的定义结合空间向量的坐标运算求解即可判断A，根据空间向量基本定理可判断B，根据四点共面的结论可判断C，根据空间向量基本定理分析可判断D.
【详解】对于A：由于，
则在的投影向量为，故A错误；
对于B：由于点为的底面的重心，
设点为的中点，故，
整理得，故，
故，故B正确；
对于C：对于，由于，
故四点共面，故C正确；
对于D：在单位正交基底下的坐标为，即，
所以在基底下满足，
，
整理得，解得，
则在基底下的坐标为，故D正确；
故选：BCD.
12．
【分析】由圆周角定理可得，再利用垂径定理与点到直线的距离公式计算即可得解.
【详解】由可化为，
故圆的圆心，半径为，
由O0,0在圆上，故,
则由垂径定理可得点到直线的距离为，
即有，解得.
故答案为：.
13．
【分析】写出直线方程，与抛物线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，由韦达定理，得到，，再利用焦半径公式，表示出，根据可求得值，最后可得抛物线的准线方程.
【详解】易知，直线的方程为，
由得，
设Ax1,y1,Bx2,y2，
则，，
所以，
解得，所以的准线方程为．
故答案为：
14．或
【分析】先计算，再代点到直线的距离公式即可求解
【详解】由题意，所以，
即，
解得或．
故答案为：或
15．(1)
(2)或
【分析】（1）判断出点为切点，根据切线的性质，即可求得答案；
（2）设所求圆的圆心坐标为，结合圆心到直线的距离，根据弦长列式求出t的值，即可得答案.
【详解】（1）可化为，即圆心为，半径为
将点的坐标代入圆的方程，成立，则点在圆上，
点与点连线的斜率为，
所以直线的斜率为1，
故直线的方程为，即.
（2）设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，因此该圆的半径为，
所以该圆的方程是.
因为该圆被直线截得的弦长为，
所以该圆圆心到直线的距离，
由，解得.
故圆的标准方程为或.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的离心率公式（其中为椭圆的半焦距）以及椭圆上的点满足椭圆方程，将已知条件代入求解，的值.
（2）对于求点到直线的距离，先联立直线与椭圆方程，根据得到与的关系，再利用点到直线距离公式求解.
【详解】（1）已知椭圆的离心率，又，所以，
即，可得，即.
因为椭圆过点，将点代入椭圆方程可得.
把代入中，得到，即，解得.
那么.所以椭圆的方程为.
（2）如图所示，联立直线与椭圆的方程，
将代入中，得到，
展开可得，即.
且,化简得, .
设，，根据韦达定理，，.
因为，，且，所以.
计算.
将和代入中，得到，
即.
化简可得，进一步化简得.
点到直线的距离，由可得.

17．(1)方程为，左、右焦点坐标分别为
(2)
【分析】（1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程；
（2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得.
【详解】（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以，
又，
联立解得，，
所以的方程为，左、右焦点坐标分别为．
（2）由（1）知，
根据题意易得过的直线斜率存在，
设的直线方程为，如下图所示：
联立，化简得，
所以，
因为中点横坐标为3，所以，
解得，所以，
则，
则．
18．(1)；
(2)
【分析】（1）由题意，设出点Q的坐标，根据题目所给信息列出等式求出p的值，进而可得抛物线的方程；
（2）设出直线的方程和A，B两点的坐标，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理求出点D，G的坐标，即可求出的表达式，再进行求解即可．
【详解】（1）不妨设，
因为抛物线C上一点Q到焦点F的距离为4，点Q到y轴的距离为，
所以，
整理得，解得或（舍去），
则抛物线C的方程为；
（2）由题意知直线的斜率必存在，，
不妨设直线AB的方程为，Ax1,y1,Bx2,y2，
联立，消去y并整理得，，
由韦达定理得，
易知直线OA的方程为，
因为轴，所以，即，
所以，
因为DF⊥AE，所以，
则直线AE的方程为，
因为，所以，
此时，
因为，
所以，
由题意知，则，
所以．
故的取值范围为．
【点评】易错点点睛：本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．容易出错的地方在于计算，并且计算基本都是相关字母参数的运算，因此要求十分细心才可以.
19．(1)，
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）连接，结合空间向量的线性运算以为基底表示向量即可；
（2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，即可得结论.
【详解】（1）如图，连接，

因为六边形为正六边形，
所以，则，
所以，；
（2）因为六边形为正六边形，所以，
又，
所以，
（i）；
（ii）因为，
所以.