江西省上饶市婺源县紫阳中学2024-2025学年高一上学期11月检测数学试题

这是一份江西省上饶市婺源县紫阳中学2024-2025学年高一上学期11月检测数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合的真子集的个数是（ ）
A．3B．4C．7D．8
2．已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
4．函数是上是减函数，那么下述式子中正确的是（ ）
A．B．
C．D．以上关系均不确定
5．已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（ ）
A．B．C．D．3，1
6．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．计算：（ ）
A．B．C．0D．1
8．若函数且为常数在（为常数）上有最小值，则在上（ ）
A．有最大值12B．有最大值6
C．有最小值D．有最小值
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．的一个必要条件是
B．若集合中只有一个元素，则．
C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4
10．下列说法不正确的是（ ）
A．若的定义域为，则的定义域是
B．函数的定义域是
C．函数，是奇函数
D．若集合中只有一个元素，则
11．下列说法正确的是（ ）
A．方程的解集为
B．不等式的解集为
C．已知正数，满足，则的最小值为9
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数，的值域为，则的取值范围是 ．
13．写出一个同时具有下列性质①②的函数： ．
①；②
14．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．（13分）已知关于的不等式．
(1)若的解集为，求实数，的值；
(2)当时，求关于的不等式的解集．
16．（15分）已知函数.
(1)当，求函数的值域.
(2)若任意，使得恒成立，求实数的取值范围.
17．（17分）已知定义域为的函数满足：对任意的，，都有，当时，．
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)判断函数的单调性并证明；
(3)若，对任意的，关于的不等式在区间内有解，求实数的取值范围．
18．（15分）已知定义域是R的函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)若对于任意，不等式恒成立，求k的范围.
19．（17分）已知函数，.
(1)求函数的单调减区间;
(2)若函数在区间的最小值为，求实数a的值;
(3)证明的图象是轴对称图形.
数学参考答案
1．A
【分析】化简集合得出集合中元素个数即可求解.
【详解】由题知，所以集合的真子集的个数是．
故选：A.
2．B
【分析】AD选项可以通过取特殊值使得式子不成立，从而排除错误选项；C选项通过基本不等式得到的结果可以取等号与题目不符也排除；B选项讨论的取值范围，当时显然成立，当时通过构造二次函数，由函数单调性得到函数值为正，从而证明结论.
【详解】A选项，当时，显然不成立；
B选项，当时，显然恒成立，当时，，
令，在上单调递增且，即，
又∵当且仅当时取等号，∴
即，∴恒成立；
C选项，∵，∴，当且仅当取等号，故不恒成立；
D选项，当时，显然不成立.
故选：B.
3．B
【分析】将函数变形为，在根据函数定义域有意义求解即可．
【详解】因为，
所以，则，
所以的定义域为．
故选：B
4．A
【分析】先判断和的大小关系，再根据函数的单调性得出结论.
【详解】对进行变形可得.
因为任何数的平方都大于等于，那么，即.
因为函数在上是减函数，且.
根据减函数的性质，自变量越大函数值越小，所以.
故选：A.
5．B
【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由，得到，令，
则，对称轴，
当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为，
所以的最大值和最小值分别是.
故选：B．
6．D
【分析】根据已知条件，结合指数函数、幂函数的单调性，即可求解．
【详解】，在上单调递增，
，
故，所以，
，在上单调递增，
，故，即，所以．
故选：D
7．D
【分析】根据指数和对数运算求得正确答案.
【详解】

.
故选：D.
8．A
【分析】构造函数，证明函数为奇函数，利用奇函数的性质可得最大值，由得解.
【详解】设，
因为，所以的定义域为，关于原点对称，
，
即为奇函数，且，
因为在上有最小值，所以在上有最小值，
由奇函数的对称性知，在上有最大值，
所以在上有最大值，
故选：A
9．CD
【分析】根据充分条件定义可知A错误，对参数是否为零进行分类讨论可得或，即B错误；利用韦达定理可判断C正确，由可得是集合的子集，可得D正确.
【详解】对于A，易知能推出，因此的一个充分条件是，即A错误；
对于B，若集合中只有一个元素，当时满足题意；
当时，需满足，可得，因此可得或，即B错误；
对于C，由可知一元二次方程的判别式，
即该方程有两根，且两根之积，即两根异号，可知充分性成立；
若一元二次方程有一正一负根，可知两根之积为负，
即，也即，即必要性成立，所以C正确；
对于D，由可知是集合的子集，
所以集合可以是，共4个，即D正确.
故选：CD
10．ACD
【分析】对于A，根据抽象函数定义域的求解法则，求出定义域，即可判断；
对于B，要使得分式，根式都有意义，可列出不等式组，解出不等式组，即可判断；
对于C，由奇函数需满足定义域关于原点对称，即可判断；
对于D，易得当时，方程有唯一解.
【详解】对于A，因为的定义域为，所以，即，
所以对于，，解得，所以的定义域是，故A不正确；
对于B，由解得，且，所以定义域为，故B正确；
对于C，因为定义域关于原点对称不成立，所以不是奇函数，故C不正确；
对于D，由题意得方程只有一个解，显然当时，有唯一解，故D不正确.
故选：ACD.
11．BC
【分析】解对数方程判断A，换元解不等式判断B，根据“1”的变形技巧及均值不等式判断C，取特殊值判断D.
【详解】选项A：，
且（真数大于0），故A错误；
选项B：设，则由可得
解得，又，，解得，
不等式解集为，故B正确；
选项C：因为正数，满足，所以
，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
选项D：取，则，故D错误．
故选：BC
12．
【分析】函数中含有绝对值，讨论去绝对值化成分段函数，结合函数图象求解.
【详解】由，
可得分段函数，
画出对应函数图象：
的值域为2,4，且，,
所以的值能使得取得；
由图可知：.
故答案为：.
13．（答案不唯一）
【分析】根据已知性质结合指数函数的性质写出一个满足条件的函数解析式即可.
【详解】由①，得单调递增函数；
由②，由指数幂的运算性质，
可设，代入性质②得，
，
或，
单调递增函数，
，
，的形式均可．
故答案为：（答案不唯一）
14．
【分析】根据指数幂运算、对数运算法则化简求值即可得到结果.
【详解】
故答案为：.
15．(1)，；
(2)答案见解析
【分析】（1）由不等式解集得到1，是方程的解，利用韦达定理得到方程组，求出，；
（2）因式分解得到，分，，三种情况，得到不等式的解集.
【详解】（1）根据题意，的解集为，
则1，是方程的解，
由韦达定理得，故，，
解得：，；
（2）根据题意，，则有，
又由，分3种情况讨论：
当时，，解得或，
当时，，解得，
当时，，解得或，
综上，当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据单调性的定义证明函数在上单调递增，即可求解最值得解，
（2）分离参数，即可根据函数的单调性求解最值求解.
【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下：
任取，,，且，
则，，
则，
，即，
函数是,上的增函数,因此函数在单调递增，
故值域为
（2）由任意，使得恒成立可得对任意，恒成立，
由（1）的证明过程可推导函数在单调递减，故最小值为，故
17．(1)奇函数，证明见解析；
(2)单调递增，证明见解析；
(3)或或.
【分析】（1）令得，令并结合奇偶性定义证明奇偶性即可；
（2）令，结合已知条件及单调性定义证明即可；
（3）根据单调性求对应区间上值域，将问题化为在上恒成立，即可求参数范围.
【详解】（1）为奇函数，证明如下：
令，则，
令，则，即，
所以为奇函数，得证；
（2）单调递增，证明如下：
令，则，且，
所以，而当时，，
所以，故单调递增，得证；
（3）由题设，
由（1）（2）知：在区间上单调递增，且为奇函数，
所以的值域为，
对任意的，关于的不等式在区间内有解，
只需，即在上恒成立，
所以，即或或.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数为奇函数，所以可求的值.
（2）先分析函数的单调性，根据函数的单调性和奇偶性，把函数不等式化成代数不等式，再分离参数，转化成恒成立问题，求函数的最值即可.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以.
所以.
（2）因为.
随着的增大，变大，变小，变大，变大.
所以函数在上单调递增.
由.
所以在恒成立.
所以，恒成立.
因为（当且仅当时取“”）.
所以，即k的范围是.
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）先求定义域，然后利用复合函数的同增异减求单调递减区间即可；
（2）利用函数在的单调性求最值，然后计算的值即可；
（3）因为定义域关于对称，所以如果函数的图像是轴对称图形，则对称轴必为，所以判断成立即可.
【详解】（1）由得，所以的定义域为，
于是
令，该函数在单调递增，
而在上单调递减，
所以的单调减区间为
（2），，令
当时，，因为，则，
所以，即，所以，综上得．
（3）证明：
所以关于直线对称.