江西省上饶市广丰区新实中学2024-2025学年高二上学期十月检测数学卷

这是一份江西省上饶市广丰区新实中学2024-2025学年高二上学期十月检测数学卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知圆，从点向圆作两条切线、，切点分别为、，若，则圆心的轨迹被直线截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
3．设椭圆的左、右顶点为，，左、右焦点为，，上、下顶点为，.关于该椭圆，有下列四个命题：
甲：；乙：的周长为8；
丙：离心率为；丁：四边形的面积为.
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．在平面直角坐标系中，过双曲线上一点作两条渐近线的平行线分别与两渐近线交于，两点．若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．过抛物线上一动点P作圆（r为常数且）的两条切线，切点分别为A，B，若的最小值是，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．在如图所示的空间直角坐标系中，是单位正方体，其中点A的坐标是（ ）

A．B．C．D．
7．已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在正四棱台中，与的交点为．设，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数的点M的轨迹是圆，已知点，M是平面内的一动点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点M的轨迹围成区域的面积为
B．面积的最大值为
C．点M到直线的距离的最大值为
D．若M的轨迹上有四个点到直线的距离为，则实数b的取值范围为
10．抛物线的准线为l，P为C上的动点，过P作圆M：的两条切线，A，B为切点，过P作l的垂线，垂足为Q，则（ ）
A．当时，l与圆M相切
B．当时，的最小值为
C．当时，为定值
D．存在点P，使得为等边三角形
11．在长方体中，已知，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．点为长方形内一点，满足平面时，的最小值为
C．三棱锥的外接球的体积为
D．过点的平面截长方体所得的截面周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则MN的取值范围是 .
13．已知椭圆的离心率为，则的值为 .
14．已知正方体的棱长为1，为的中点，点在平面内.以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则点的坐标为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．（13分）已知圆与圆相交于两点，直线的方程为．
(1)若圆的圆心在圆外，求圆的半径的取值范围；
(2)若是圆上的动点，且的面积的最大值为，求圆的方程．
16．（15分）已知，分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若倾斜角为的直线经过点，且与C交于M，N两点（M点在N点的上方），求的值.
17．（17分）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.
18．（15分）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面PBC，平面PAB，D为PC的中点，.
(1)，，，用a，b，c表示；
(2)若，求.
19．（17分）如图所示，平行六面体中，.
(1)用向量表示向量；
(2)求；
(3)求的长度.
参考答案
1．A
【分析】求出直线所过定点的坐标，数形结合求出直线的斜率的取值范围.
【详解】直线的方程化为，由，解得，
因此直线过定点，线的斜率，直线的斜率，
由直线与线段总有公共点，得直线的斜率有或，
又直线的斜率，
所以直线的斜率的范围为.
故选：A
2．C
【分析】连接、，分析可知为正方形，可得出，可知的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，再求出圆心到直线的距离，从而求出弦长.
【详解】圆的圆心为，半径为，连接、，

则，，又因为，且，
所以四边形为正方形，则，
即，即，
所以点的轨迹方程为，
即点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，
又圆心到直线的距离，
所以圆心的轨迹被直线截得的弦长为.
故选：C
3．B
【分析】利用椭圆方程，分析甲乙丙丁都为真时得到关于的等式，再分析得甲乙不同时为真，进而分类讨论甲、丙和丁为真与乙、丙和丁为真两种情况即可得解.
【详解】依题意，作出椭圆的图象，如图，
若甲为真命题，则；
若乙为真命题：则的周长为，即；
若丙为真命题，则离心率为；
若丁为真命题，则四边形的面积为；
当甲乙都为真时，有，解得，则，
此时，，则丙和丁都是假命题；
所以甲乙不可能同时为真，且必有一真一假，故丙和丁都为真；
若甲、丙和丁为真，则，解得，
此时满足，且，符合题意；
若乙、丙和丁为真，则，解得，
此时，即乙、丙和丁不同时为真，假设不成立；
综上，乙命题为假命题.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析甲乙丙丁都为真时得到关于的等式，进而分析得解.
4．C
【分析】做出图形，求出渐近线方程，求出两平行线间的距离，再结合三角恒等变以及斜率关系换化简可得，最后构造齐次式求出离心率即可；
【详解】
由题意可得双曲线的渐近线方程为，
设交直线于点，
则点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
因为，由正弦定理可得，
即，
设，即，
因为，
，
所以，即，
所以，即，
所以离心率.
故选：C.
5．B
【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可.
【详解】设，则，圆的圆心，半径为，
由切圆于点，得，

则
，
当且仅当时，等号成立，
可知的最小值为，
整理可得，解得或，
且，所以，即.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：根据切线的性质，将转化为，根据面积结合几何性质求解.
6．D
【分析】根据空间直角坐标系的定义求出点的坐标.
【详解】点A的坐标为.
故选：D
7．B
【分析】夹角为锐角，则，排除平行的情况即可.
【详解】因为向量的夹角为锐角，
则，得，
当时，，得，
∴的取值范围为．
故选：B.
8．D
【分析】根据给定条件，利用空间向量的基底表示向量即可.
【详解】
.
故选：D
9．ACD
【分析】对于A，设Mx,y，先由求出点M的轨迹方程，从而得点M的轨迹圆的半径，再由圆的面积公式即可得解；对于B，先求出AB，接着求出圆心到直线的距离再加上半径即为的高最大值，进而可求面积最大值；对于C，求出圆心到直线的距离再加上半径即为解；对于D，求出圆心到直线的距离d，令即可计算求解.
【详解】对于A，设Mx,y，因为，所以，
整理得即，
所以点M的轨迹是圆心为，半径为的圆，
所以点M的轨迹围成区域的面积为.故A正确；
对于B，，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以点M到直线的距离的最大值为，
所以面积的最大值为，故B错误；
对于C，因为圆心到直线的距离为，
所以点M到直线的距离的最大值为，故C正确；
对于D，圆心到直线的距离为，
要使M的轨迹上有四个点到直线的距离为，
则，解得.故D正确.
故选：ACD.
10．CD
【分析】对于A，根据抛物线的准线方程以及圆的圆心坐标和半径可以判断是否相切；对于B，因为，所以可使得两点在点的异侧，根据两点之间，线段最短原理可知，当三点共线时，有最小值；对于C，已知可解得和的夹角，从而解得为定值；对于D，当时，为等边三角形，所以满足存在性．
【详解】对于A，圆M：的半径，圆心到准线的距离为，
所以，当且仅当，时， l与圆M相切，故A不正确；
对于B，如图所示：
当三点共线时，有最小值，最小值为，故B不正确；
对于C，因为，，所以由余弦定理得
,所以，
所以＝，故C正确；
对于D，当时，，所以，
此时为等边三角形，故D正确；
故选：CD．
11．BD
【分析】A选项由线线平行得到异面直线的夹角，用余弦定理即可得出结果；B选项动直线平行于平面等价于面面平行，从而得到动点运动轨迹，找垂线即为最短距离，求出最小值；C选项找球心，便可得到半径，然后求出体积；D选项利用空间直角坐标系由空间向量得到点的坐标，然后求出线段长，从而得出周长.
【详解】A．，直线与所成角，
在中，根据余弦定理可知，
，
代入求得，A错误；
B．取的中点，取的中点，取的中点，连接，
，，所以四边形是平行四边形，
且，，平面，
同理可得平面，
平面，平面，
所以点的运动轨迹为线段，
在中，过点作，此时取得最小值，
由题意可知，，
，B正确；
C．取的中点，连接，则，
过点作，且，
为外接球的半径，在中，，
，
，C错误；
D．由平面平面得，过点的平面必与有交点，
设过点的平面与平面和平面分别交于
，同理可得
过点的平面截长方体所得的截面图形为五边形，
如图所示，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，
，，
，解得，
，
所以五边形的周长为
，D正确．
故选：BD
【点睛】方法点睛：利用向量共面来找立体图形中截面问题，先找到面与棱的交点，设交点坐标，得到空间向量的坐标，由向量平行建立方程，解出点的坐标，即可确定截面位置.
12．
【分析】根据中点关系可得，即可由数量积的坐标运算得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，即可根据求解.
【详解】由于直线恒过定点，圆心，
设，则，故，
即，化简可得，
故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，
由于在圆外，,
故，即，
故答案为：

13．或
【分析】分焦点在轴上和轴上，根据离心率公式直接求解可得.
【详解】当焦点在轴上时，，则，
所以，，解得；
当焦点在y轴上时，，则，
所以，，解得.
综上，的值为或.
故答案为：或
14．
【分析】分别求出得，，再结合点共面，所以，从而可求解.
【详解】由题意得，，则，，，
因为点共面，
所以，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
15．(1)
(2)或
【分析】（1）借助圆与圆的位置关系以及勾股定理，计算即可求得；
（2）通过，以及三角形面积的最大值，求出圆的半径，计算即可求得.
【详解】（1）由，得，
所以圆的半径，圆心为，且圆心在直线上．
因为圆的圆心在圆外，所以连结，．
又因为，连接，所以在中，圆的半径为．
故圆的半径的取值范围为．

（2）设圆的圆心为，由题意可得，所以，即①．
设圆的半径为，在中，边上的高为h，
所以的面积为，
当时，即此时取得最大值，的面积取得最大值，
最大值为，解得，
所以②．
由①②得，或，
所以圆的方程为或．

16．(1)
(2)
【分析】（1）将点2,0和点代入椭圆方程，解之即可得解；
（2）根据题意，利用直线的点斜式求得直线的方程，再联立直线与椭圆方程，直接求得点的坐标，从而得解.
【详解】（1）因为椭圆椭圆经过点2,0和点，，
所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）得，直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
联立，解得或，
则，
所以.
17．(1)
(2)23
【分析】（1）利用点到直线的距离公式列和离心率列方程求，即可得到双曲线的方程；
（2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可.
【详解】（1）由题意知，解得，
则，
所以双曲线的方程为.
（2）记双曲线的左焦点为，则，
可得，
当三点共线时，最小，
且最小值为.故的最小值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）连接，利用空间向量的线性运算，准确化简、运算，即可求解；
（2）根据题意，利用空间向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解.
【详解】（1）如图所示，连接，可得，
因为为的中点，且，
所以，
所以
.
（2）因为，
所以
，
因为平面，平面，且平面,平面，
所以，
又因为，
所以，
所以.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合图形，利用空间向量的线性运算即可得解；
（2）（3）利用空间向量的线性运算，结合空间向量数量积的定义与运算法则即可解.
【详解】（1）在平行六面体中，
.
（2）因为，，，
所以，，
，
则
.
（3）因为，
所以
，
则.