江西省上饶市婺源县天佑中学2024-2025学年高二上学期十月月考数学试卷

这是一份江西省上饶市婺源县天佑中学2024-2025学年高二上学期十月月考数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．点，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
5．已知点P在抛物线上，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
7．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（ ）
A．1B．3C．7D．
8．已知平行六面体的各棱长均为1，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知点在圆上，直线与轴､轴分别交于两点，则（ ）
A．直线与圆相离
B．点到直线的距离小于7
C．当最大时，
D．以为直径的圆与圆的公共弦所在直线的方程为
10．设平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，且与抛物线有公共的焦点．若是抛物线上的一点，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆和抛物线存在交点
B．若，则直线与抛物线相切
C．若，则点坐标为
D．若，则点的横坐标为
11．下列说法正确的是（ ）
A．已知，则在上的投影向量为
B．若是四面体的底面的重心，则
C．若，则四点共面
D．若向量（都是不共线的非零向量），则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知直线，且直线和平行，则实数的值是 .
13．已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为 .
14．如图所示，在正方体中，棱长为分别为各棱的中点，则的不同值有 个.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15．（15分）已知圆心为C的圆经过点，，且圆心C在直线上．
(1)求圆C的方程：
(2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．
(3)已知点，，且P为圆C上一动点，求的最小值．
16．（13分）已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，右焦点为，为上的一个动点，
(1)若点在双曲线右支上，在轴的负半轴上是否存在定点．使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)过作圆的两条切线，若切线分别与相交于另外的两点、，证明：三点共线．
17．（17分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点．
(1)求E的方程；
(2)已知点，若E上存在一点P，使得，求t的取值范围；
(3)过的直线交E于A，B两点，过的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：为定值.
18．（15分）如图，平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设．
(1)试用表示向量；
(2)若，求点到直线的距离．
19．（17分）如图，在正四棱锥中，底面是边长为的正方形，与的交于点，，是边上靠近的三等分点．

(1)设，，，用，，表示向量；
(2)在如图的空间直角坐标系中，求向量的坐标．
高二数学参考答案
1．B
【分析】由直线过的两点的坐标，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小.
【详解】直线l经过点，所以直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，
即，所以.
故选：B.
2．A
【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解.
【详解】直线l：，
令，解得，所以直线l恒过定点，
圆C：的圆心为，半径为，
且，即P在圆内，
当时，圆心C到直线l的距离最大为，
此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为．
故选：A．
3．A
【分析】设椭圆上顶点为B，由题满足即，可得，结合选项可得出答案.
【详解】设椭圆方程为，
设椭圆上顶点为，椭圆上存在点，使得，
则需，由余弦定理可得，
，
即，，，
则，
同理可得椭圆焦点在轴上时，也应有，
所以选项A满足.
故选：A.
4．D
【分析】先求出圆心到双曲线渐近线的距离，再结合点到直线的距离公式求出的关系，即可得解.
【详解】圆的圆心为，半径，
双曲线的渐近线方程为，即，
因为，
所以圆心到双曲线的渐近线的距离，
所以，即，所以，
即该双曲线的离心率为.
故选：D.
5．D
【分析】设点P的坐标为，则，求其最小值即可.
【详解】设点P的坐标为，则，
且，
又因为，所以当时，有最小值.
所以的最小值为.
故选：D
6．D
【分析】设出直线的斜率为，点两点的坐标，代入抛物线方程，作差，可得，又的中点为，即求出.
【详解】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则两式相减得，整理得，
因为的中点为，则，
所以，即直线的斜率为.
故选：D.
7．B
【分析】点到平面的距离即为y轴坐标的绝对值.
【详解】在空间直角坐标系中，点到平面的距离.
故选：B
8．B
【分析】选择为空间向量的基底，表示出，借助空间向量的数量积求的模.
【详解】取为空间向量的基底，因为，，，
所以，.
因为，
所以，
所以.
故选：B
9．BCD
【分析】利用圆心到直线的距离确定圆上的点到直线距离的最大值和最小值可判断AB；求出切线长可判断C；由两圆方程相减得公共弦所在直线方程判断D.
【详解】对于A，因为，圆的半径为4，圆心到直线的距离
，所以直线与圆相交，故A错误；
对于B，因为圆心到直线的距离，
所以点到直线的最大距离为，故B正确；
对于C，，当与圆相切时最大，为过点的切线长，
，故C正确；
对于D，以为直径的圆的方程为，
即，圆的方程与此方程相减得，故D正确.
故选：BCD.

10．ABD
【分析】画出图形，得到交点个数；直曲联立求解得到直线与抛物线位置关系；运用抛物线定义转化求出即可；根据垂直，运用勾股定理，结合定义求解即可.
【详解】对于A，由函数图象可知，椭圆与拋物线必存在交点，A正确；
对于B，由，则直线的方程为，
与抛物线方程联立消去得，
则直线与抛物线相切，B正确；
对于C，由抛物线定义可知，，
则，于是点坐标为，故C错误；
对于D，是抛物线上的一点，设，则有，
若，有，因此，
即，解得，D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键在于利用勾股定理与抛物线上点的坐标关系得到的方程，整理即可得解.
11．BCD
【分析】根据投影向量的定义结合空间向量的坐标运算求解即可判断A，根据空间向量基本定理可判断B，根据四点共面的结论可判断C，根据空间向量基本定理分析可判断D.
【详解】对于A：由于，
则在的投影向量为，故A错误；
对于B：由于点为的底面的重心，
设点为的中点，故，
整理得，故，
故，故B正确；
对于C：对于，由于，
故四点共面，故C正确；
对于D：在单位正交基底下的坐标为，即，
所以在基底下满足，
，
整理得，解得，
则在基底下的坐标为，故D正确；
故选：BCD.
12．
【分析】根据条件，利用斜率相等，即可求出结果.
【详解】因为，且直线和平行，
所以，即，此时，满足题意，
故答案为：.
13．
【分析】先根据长轴及离心率列式求出a,b,c得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点P的坐标，最后计算面积即可.
【详解】因为,
所以,
所以椭圆方程为,
设,椭圆的上、下顶点,
所以且，
所以，
所以
即得.
故答案为：.
14．5
【分析】建立空间直角坐标系，然后得到各点坐标，算出和的坐标，利用数量积即可得到答案
【详解】解：以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
正方体中，棱长为分别为各棱的中点，
,,,,
,,,
,,,,
,
则，，，，，，，，
，，，，，
故，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故的值为共种不同的值.
故答案为：.
15．(1)
(2)x=1或
(3)24
【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程为,，联立直线方程求得，利用两点距求出半径，即可求解圆的标准方程；
（2）设圆心到直线的距离为d，由几何法求弦长公式可得，易知直线的斜率不存在时符合题意，若斜率存在，设直线方程，利用点线距建立方程，解之即可求解.
（3）根据两点间距离公式再结合三角换元把原式化简为，应用三角恒等变换化简结合正弦函数的值域得出最小值即可.
【详解】（1）,AB的中点为
AB的垂直平分线方程为，即,
将联立可得,即圆的圆心坐标为.
圆的半径为，
所以圆的标准方程为.
（2）设圆心到直线的距离为d，由弦长公式得，故.
若直线的斜率不存在，则x=1，此时圆心到直线的距离为3，符合题意.
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
所以，解得，则直线的方程为.
故直线的方程为x=1或.
（3）在圆的标准方程上，
设,
又因为点，，
所以
，
当时，取最小值为.
16．(1)
存在，.
(2)
证明见解析.
【分析】（1）先求出双曲线的方程，将角度关系转化为直线的斜率关系，从而列出不等式，斜率不存在的情况单独讨论，即可求出M点的坐标.
（2）先根据P点的位置判断能否作出切线，再将切线分为斜率存在和不存在两种情况讨论，表达出两条切线的方程，斜率存在时，再根据切线与圆的位置关系，找出两条切线的斜率的关系，再把切线方程代入双曲线，表达出点E、G的坐标并找出坐标关系，从而证出E、O、G三点共线.
【详解】（1）根据题意，有，
所以双曲线的方程为.
设，且，
①当直线的斜率存在时，即时，
因为，所以，
，
从而，化简整理得，，
，所以在x轴负半轴上存在点使得；
②当直线的斜率不存在时，即时，
若，则，此时P点的坐标为2,3，
所以，则，又，所以，此时，
综上，满足条件的M点存在，其坐标为.
（2）设Px0,y0，由题意得，双曲线和圆相交，所以联立两曲线方程，得，即为两曲线四个交点的坐标，
①当时，即时，直线PG的斜率不存在，直线PE的斜率为0，
此时易得，此时点E、G关于点O对称，故E、O、G三点共线.
②当，且或，且时，
此时直线PE、PG的斜率存在且不为零，分别设为，
设经过Px0,y0的直线方程为，由于直线与圆相切，
所以，即
由韦达定理得，又，所以，
由直线PE与圆的位置关系可知，，
同理直线PG的方程为，有，
联立，消去y并整理得，，
即，
即，
令，根据韦达定理得，所以
设，又，所以，
所以，又，
两式相减得，，
由图可知，，所以，即.
所以点E、G关于点O对称，此时E、O、G三点共线，
综上得，E、O、G三点共线.
17．(1)
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）根据题意可知焦点F到准线的距离为，即可得方程；
（2）设Px,y，利用平面向量数量积可得，结合基本不等式运算求解；
（3）设，求直线的方程，结合题意可得，结合夹角公式分析求解.
【详解】（1）由题意可知：焦点F到准线的距离为，
所以抛物线E的方程为.
（2）设Px,y，可知，则，
可得，
显然不满足上式，
则，可得，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
则，即，
所以t的取值范围为.
（3）设，
则直线的斜率，
可得直线的方程，整理得，
同理可得：直线的方程，
由题意可得：，整理得，
又因为直线的斜率分别为，
显然为锐角，则，
所以为定值.
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
18．(1)，
(2)
【分析】（1）由向量的加减运算法则，即可求解向量；
（2）先根据空间向量夹角公式求解，进而可得，再根据点到直线的距离等于求解即可.
【详解】（1）（1）由向量的加减运算法则知：在平行四边形中，，
又由.
（2）由题意，，
又，，，
故，
则，故.
则点到直线的距离.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量的线性运算求出.
（2）求出点的坐标，进而求出向量的坐标，再利用（1）的结论，结合向量的坐标运算计算邓得.
【详解】（1）依题意，，，，，，
．
（2）依题意，点，
，，，
．