江苏连云港市海滨中学2024-2025学年八上数学网络提高班第9周阶段性训练模拟练习【含答案】

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1．使得2016+2n为完全平方数的正整数n的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无穷个
2．若427+41000+4n为完全平方数，则正整数n满足（ ）
A．n≥1972B．n≤1972C．n≥1973D．n≤1970
二．填空题（共10小题）
3．已知：（a+b）2+|b+5|＝b+5，2a﹣b+1＝0，则ab的值＝ ．
4．＝ ．
5．满足3n+1≤2017，使得5n+1是完全平方数的正整数n共有 个．
6．若k＝47+41004+4n，并且k是一个完全平方数，则正整数n＝ 或 ．
7．若4n+1、6n+1都是完全平方数，则正整数n的最小值是 ．
8．能使2n+256是完全平方数的正整数n的值为 ．
9．若x﹣45和x+44都为完全平方数，则正整数x的值为 ．
10．一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．若x2+81x+2022是完全平方数，则正整数x的值为 ．
11．设n为正整数，n2+n+51是完全平方数，则所有n的可能值之和为 ．
12．已知两个正数x，y满足x+y＝7，则的最小值为 ．此时x的值为 ．（提示：若借助网格或坐标系，就可以从数形结合的角度来看，例如可以把看作边长为3和4的直角三角形的斜边）
三．解答题（共5小题）
13．（1）若|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣5|＝0，求|a+b﹣c|的值；
（2）已知|a|+|b2+2019|＝2019，求a+b的值；
（3）已知（a+1）2+|b+5|＝b+5，且|2a﹣b﹣1|＝1，求ab的值．
14．设a、b、c、d都是自然数，且a5＝b4，c3＝d2，a﹣c＝17，求d﹣b的值．
15．已知的值．
16．．
17．已知的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．【解答】解：2016+2n＝24（126+2n﹣4）
∵2016+2n为完全平方数，
∴126+2n﹣4是完全平方数，
而126不是完全平方数，且126＝2×1×3×3×7
∴2n﹣4＝12+632或32+212或92+72，
∴2n﹣4＝3970或450或130，
∴不存在正整数n，使2n﹣4＝3970或450或130，
∴使得2016+2n为完全平方数的正整数n的个数为0，
故选：A．
2．【解答】解：因为427+41000+4n＝254（1+2•21945+22n﹣54），
所以当2n﹣54＝2×1945，即n＝1972时，上式为完全平方数．
当n＞1972时，有（2n﹣27）2＜1+2•21945+22n﹣54＜1+2•2n﹣27+22（n﹣27）＝（2n﹣27+1）2，
所以上式不可能为完全平方数．
故选：B．
二．填空题（共10小题）
3．【解答】解：∵（a+b）2+|b+5|＝b+5，
∴a+b＝0，
又∵2a﹣b+1＝0，
∴，
解得，
所以，ab＝（﹣）×＝﹣．
故答案为：﹣．
4．【解答】解：∵＝＝＝，
∴由等比性质可得＝，
故答案为：．
5．【解答】解：∵3n+1≤2017，
∴n≤672，
∵n为正整数，
∴0＜n≤672（n为整数），
设5n+1＝a2（a为正整数），
∴n＝，
∵n为正整数，
∴为正整数，
∴a+1或a﹣1是5的倍数，
①当a+1是5的倍数时，
∵0＜n≤672（n为整数），
∴4≤a＜58（a+1最小是5，得出a≥4）
设a+1＝5k（k为正整数），
∴k＝，
∴1≤＜，
∴1≤k＜＝11.8，
∵k为正整数，
∴k共有11个，
∴满足条件的正整数n有11个，
②当a﹣1是5的倍数时，
∵0＜n≤672（n为整数），
∴6≤a＜58（a﹣1最小是5，得出a≥6），
设a﹣1＝5m（m为正整数），
∴m＝，
∴1≤＜，
∴1≤m＜11.4，
∵m为正整数，
∴m共有11个，
∴满足条件的正整数n有11个，
即：满足条件的正整数n有22个，
故答案为22．
6．【解答】解：（1）47+41004+4n
＝（27）2+2•27•22n﹣8+（21004）2
∵47+41004+4n是一个完全平方数．
∴22n﹣8＝21004，
即2n﹣8＝1004．
∴当n＝506时，47+41004+4n是完全平方数；
（2）47+41004+4n＝（27）2+2•27•22000+（2n）2，
∵47+41004+4n是一个完全平方数．
∴22000＝2n，
∴n＝2000．
综上得n＝506或2000．
故答案为：506，2000．
7．【解答】解：∵4n+1，6n+1都是奇平方数，
设6n+1＝（2m+1）2＝4m（m+1）+1，
则6n＝4m（m+1），
而m（m+1）为偶数，
∴4|n，
设n＝4k，则4n+1＝16k+1，6n+1＝24k+1，
当k＝1，2，3，4时，4n+1，6n+1不同为平方数，
而当k＝5，即n＝20时，4n+1＝81，6n+1＝121皆为平方数，因此正整数n的最小值是20．
故答案为：20．
8．【解答】解：当n≤8时，2n+256＝2n（1+28﹣n），若它是完全平方数，则n是2的倍数．
若n＝2，则2n+256＝22×65；
若n＝4，则2n+256＝24×17；
若n＝6，则2n+256＝26×5；
若n＝8，则2n+256＝28×2．
所以，当n≤8时，2n+256都不是完全平方数．
当n＞8时，2n+256＝28（2n﹣8+1），若它是完全平方数，则2n﹣8+1为一奇数的平方．
设2n﹣8+1＝（2k+1）2（k为自然数），则2n﹣10＝k（k+1）．
由于k和k+1一奇一偶，
且是2的n﹣10次方，符合要求的只有1×2，
所以k＝1，于是2n﹣10＝2，
故n＝11．
故答案为：11．
9．【解答】解：∵x﹣45和x+44都为完全平方数，x为正整数，
∴可设x﹣45＝m2，x+44＝n2，其中m，n为正整数，
∴n2﹣m2＝（x+44）﹣（x﹣45）＝89，
即（n﹣m）（n+m）＝89＝1×89，
∵m，n为正整数，
∴n﹣m＜n+m，
∴n﹣m＝1，n+m＝89，
解得：m＝44，n＝45，
∴x﹣45＝m2＝442，
∴x＝1981．
故答案为：1981．
10．【解答】解：设x2+81x+2022＝m2（m为正整数），
两边同时乘以4得，4x2+81×4x+2022×4＝4m2，
配方得，（2x+81）2+1527＝4m2，
∴4m2﹣（2x+81）2＝1527，
∴[2m+（2x+81）][2m﹣（2x+81）]＝1527＝3×509＝1×1527，
∵x为正整数，
∴2x+81是正整数，
∵m为正整数，
∴2m+（2x+81）＞2m﹣（2x+81），
∴或，
当时，
①﹣②得，2（2x+81）＝506，
∴x＝86，
当时，
x＝341，
故答案为：86或341．
11．【解答】解：设k2＝n2+n+51，则：
4k2＝（2n+1）2+203，
4k2﹣（2n+1）2＝203，
（2k+2n+1）（2k﹣2n﹣1）＝203×1＝29×7．
故或．
解得n＝50或n＝5．
所以所有n的可能值之和为：50+5＝55．
故答案为：55．
12．【解答】解：如图所示：AB＝7，过A、B两点分别作AB的垂线AC和BD，且AC＝2，BD＝3．作点C关于AB的对称点C′，连接C′D交AB于P，连接CP，CP＝C′P．
设AP＝x，BP＝y，则y＝7﹣x，
由勾股定理得：CP＝，PD＝，
则此时DC′＝+的值最小，
∴C′D＝C′P+DP＝CP+DP＝＝．
∵AC′⊥AB，BD⊥AB，
∴AC′∥BD，
∴△APC′∽△BPD，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
故答案为：；．
三．解答题（共5小题）
13．【解答】解：（1）∵|a﹣2|+|b﹣3|+|c﹣5|＝0，
∴a＝2，b＝3，c＝5，
则|a+b﹣c|＝|2+3﹣5|＝0；
（2）∵b2+2019≥2019，
∴原等式可变形为|a|+b2+2019＝2019，
即|a|+b2＝0，
则a＝0，b＝0，
∴a+b＝0；
（3）∵（a+1）2≥0，|b+5|≥0，
∴b+5≥0，
∴（a+1）2＝0，
解得，a＝﹣1，
则|﹣2﹣b﹣1|＝1，即|﹣b﹣3|＝1，
∴﹣b﹣3＝±1，
解得b＝﹣4或﹣2，
∴ab＝2或4．
14．【解答】解：首先可以这样考虑，a5＝b4，可知a必为一个4次方的数，b为5次方的数，
c3＝d2，c为2次方的数，d为3次方的数，
设a＝m4，b＝m5，c＝n2，d＝n3，
a﹣c＝17，即（m2+n）（m2﹣n）＝17，
∵17是质数．m2+n，m2﹣n是自然数，m2+n＞m2﹣n，
∴m2+n＝17，m2﹣n＝1，
∴m＝3，n＝8，
观察后可得：a＝81，c＝64，
∴d﹣b＝n3﹣m5＝83﹣35＝512﹣243＝269．
15．【解答】解：∵a＝+2020b，
∴b﹣2020≥0且2020﹣b≥0且b2020≠0，
解得：b＝2020，
∴a＝0+2020×2020＝20202，
∴﹣+2020
＝﹣+2020
＝﹣+2020
＝1﹣1+2020
＝2020．
16．【解答】解：x＝＝＝2﹣，
∴原式＝
＝
＝﹣
＝﹣
＝﹣．
17．【解答】解：根据题意得：，
解得：．
∴＝＝2．