江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年七上数学第6周网络提高班模拟练习【含答案】

这是一份江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年七上数学第6周网络提高班模拟练习【含答案】，共11页。试卷主要包含了阅读下列材料，并解决问题，证明，阅读材料等内容，欢迎下载使用。
1．方程|x﹣2|+|x﹣3|＝1的实数解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．多于3
二．填空题（共1小题）
2．x285﹣x83+x71+x9﹣x3+x除以x﹣1所得的余数为 ．
三．解答题（共9小题）
3．（1）试求x128+x110﹣x32+x8+x2﹣x被x﹣1除所得的余式．
（2）试求x111﹣x31+x13+x0﹣x3被x+1除所得的余式．
4．我们把形如anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0(an≠0)的整式称为关于x的一元n次多项式，记作f（x），g（x）…将整数的带余除法类比到一元多项式，我们可类似地得到带余式的大除法，其关系式为：f（x）＝g（x）•q（x）+r（x），其中f（x）表示被除式，g（x）表示除式，q（x）表示商式，r（x）表示余式，且r（x）的次数小于g（x）的次数．
我们来举个例子对比多项式除法和整数除法，如图左式中，13579除以112，商为121，余数为27：而如下右式中，多项式x4+3x3+5x2+7x+9除以x2+x+2，商式为x2+2x+1，余式为2x+7．
请根据以上材料，解决下面的问题：
（1）多项式2x4+3x2﹣x+2除以x2﹣2x+3，请补全下面的计算式；
所以，2x4+3x2﹣x+2除以x2﹣2x+3所得的商式为 ，余式为 ．
（2）若多项式x4+px2+x+q除以x2+3x+4所得的余式为x﹣1，求p2+q2的值．
5．阅读下列材料，并解决问题．
材料：两个正整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时，就出现了余数．被除数、除数、商和余数之间有如下的关系：被除数＝除数×商+余数（0≤余数＜除数）．类似的，关于x的多项式A（x）除以多项式B（x）时，一定存在一对多项式g（x）、r（x），使得A（x）＝B（x）•g（x）+r（x），其中余式r（x）的次数小于除式B（x）的次数．
例如：多项式x2+x+5除以多项式x+2，商为x﹣1，余式数为7，即有x2+x+5＝（x+2）（x﹣1）+7．
又如：多项式x2+5x+6除以多项式x+2，商为x+3，余式数为0，即有x2+5x+6＝（x+2）（x+3），此时，多项式x2+5x+6能被多项式x+2整除．
问题：
（1）多项式x2+2x﹣8除以多项式x﹣2，所得的商为 ．
（2）多项式x2+7x+8除以多项式x+1，所得的余式数为2，则商为 ．
（3）多项式2x3+ax2+bx﹣6分别能被x﹣1和x﹣2整除，则多项式2x3+ax2+bx﹣6除以（x﹣1）（x﹣2）的商为 ．
6．证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数，并且等于这两个数的和的两倍．
7．（1）计算：（a+b+c）×（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）；
（2）已知a+b+c＝0．a，b，c均不为0，求a3+b3+c3abc的值．提示：由题1可得（a+b+c）×（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝a3+b3+c3﹣3abc．
8．阅读材料：
进位制是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值．可使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制．对于任意一个用n进位制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0～（n﹣1）进行计数，特点是逢n进一．现在我们通常用的是十进制数；（十进制数不用标角标，其他要标角标）
如：十进制数234＝2×102+3×101+4×100，记作：234，
七进制数123(7)=1×72+2×71+3×70，记作，123（7）；
各进制之间可以进行转化，如：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，
如：123(7)=1×72+2×71+3×70=66，即123（7）＝66
将十进制数化为与其相等的七进位制数，可用7去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．如：
（1）根据以上信息进行进制转化：
①将七进制数243（7）转化成十进制数的值为多少？
②将十进制数22转化成2进制数的值为多少？
（2）如果一个十进制两位数xy，交换其个位上的数与十位上的数后得到一个新数，如果原数减去新数所得的差为18，那么我们称这样的数为“青春数”，问是否存在这样的“青春数”使得该数转化成六进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数，若存在，请求出这样的“青春数”，若不存在，请说明理由．
9．若整数a能被整数b整除，则一定存在整数n，使得ab=n，即a＝bn．例如：若整数a能被7整除，则一定存在整数n，使得a7=n，即a＝7n．
（1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除．例如：将数字2135分解为5和213，213﹣5×2＝203，因为203能被7整除，所以2135能被7整除．请你证明任意一个三位数都满足上述规律．
（2）若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的K（K为正整数，1≤K≤5）倍，所得之和能被13整除，求当K为何值时使得原多位自然数一定能被13整除．
10．化简||x﹣1|﹣3||+|3x+1|
11．若a、b、c为整数，且|a﹣b|19+|c﹣a|2010＝1，求|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|．
参考答案与试题解析
一．选择题（共1小题）
1．【解答】解：（1）当x≥3时，原方程化为x﹣2+x﹣3＝1，解得x＝3；
（2）当2≤x＜3时，原方程化为（x﹣2）﹣（x﹣3）＝1，即0x＝0，
∴方程在2≤x＜3时，有无数个解；
（3）当x＜2时，原方程化为2﹣x+3﹣x＝1，解得x＝2．这与x＜2相矛盾，
∴方程无解；
∴方程的实数解的个数有无数个解．
故选：D．
二．填空题（共1小题）
2．【解答】解：x285﹣x83+x71+x9﹣x3+x＝（x285﹣1）﹣（x83﹣1）+（x71﹣1）+（x9﹣1）﹣（x3﹣1）+（x﹣1）+2，
∵（x285﹣1），（x83﹣1），（x71﹣1），（x9﹣1），（3﹣1），（x﹣1）都能被x﹣1整除，
∴x285﹣x83+x71+x9﹣x3+x除以x﹣1所得的余数为2．
故答案为：2．
三．解答题（共9小题）
3．【解答】解：（1）当x＝1时，
x128+x110﹣x32+x8+x2﹣x＝1+1﹣1+1+1﹣1＝2，
所以余式是2；
（2）当x＝﹣1时，
x111﹣x31+x13+x0﹣x3＝﹣1+1﹣1+1+1＝1，
所以余式是1．
4．【解答】解：（1）如图，
∴2x4+3x2﹣x+2 除以x2﹣2x+3 除以 的商式为2x2+4x+5，余式为﹣3x﹣13，
故答案为：2x2+4x+5，﹣3x﹣13；
（2）由题意设商式为x2+mx+n，
则有：（x2+3x+4）（x2+mx+n）+x﹣1＝x4+px2+x+q，
等式左边整理得，x4+（m+3）x3+（3m+n+4）x2+（4m+3n+1）x+4n﹣1＝x4+px2+x+q，
∴m+3＝0，4m+3n+1＝1，
解得m＝﹣3，n＝4，
∴p＝3m+n+4＝﹣1，q＝4n﹣1＝15，
∴p2+q2＝（﹣1）2+152＝226．
5．【解答】解：（1）∵x2+2x﹣8＝（x+4）（x﹣2），
∴多项式x2+2x﹣8除以多项式x﹣2，所得的商为x+4；
（2）∵x2+7x+8﹣2＝x2+7x+6＝（x+1）（x+6），
∴x2+7x+8＝（x+1）（x+6）+2，
∴多项式x2+7x+8除以多项式x+1，所得的余式数为2，则商为x+6；
（3）∵多项式2x3+ax2+bx﹣6分别能被x﹣1和x﹣2整除，
∴设2x3+ax2+bx﹣6＝（x﹣1）（x﹣2）•A，其中A为一次多项式，
当x＝1时，2+a+b﹣6＝0，
当x＝2时，16+4a+2b﹣6＝0，
联立解得：a=−9b=13，
∴2x3+ax2+bx﹣6
＝2x3﹣9x2+13x﹣6，
＝2x3﹣5x2+3x﹣4x2+10x﹣6，
＝x（2x﹣3）（x﹣1）﹣2（2x﹣3）（x﹣1）
＝（2x﹣3）（x﹣1）（x﹣2），
∴多项式2x3+ax2+bx﹣6除以（x﹣1）（x﹣2）的商为2x﹣3．
故答案为：（1）x+4；（2）x+6；（3）2x﹣3．
6．【解答】证明：∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（4n2+4n+1）﹣（4n2﹣4n+1）＝8n，
∴两个连续奇数的平方差是8的倍数．
∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（4n2+4n+1）﹣（4n2﹣4n+1）＝8n，
（2n+1）+（2n﹣1）＝4n，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝2[（2n+1）+（2n﹣1）]．
7．【解答】解：（1）（a+b+c）×（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）
＝a3+ab2+ac2﹣a2b﹣abc﹣a2c+a2b+b3+bc2﹣ab2﹣b2c﹣abc+a2c+cb2+c3﹣abc﹣bc2﹣c2a
＝a3+b3+c3﹣3abc；
（2）∵（a+b+c）×（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝a3+b3+c3﹣3abc，
a+b+c＝0，
∴a3+b3+c3﹣3abc＝0，
∴a3+b3+c3abc=3abcabc=3．
8．【解答】解：（1）①根据题意，
得243（7）＝2×72+4×71+3×70＝98+28+3＝129；
②根据题意得，22＝10110（2）；
（2）∵xy是“青春数”，
∴（10x+y）﹣（10y+x）＝18，
∴y＝x﹣2，
∵该数转化成六进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数，
∴36a+6a+a＝10x+y，
∴43a＝11x﹣2，
∴x＝4a+2−a11，
∵0≤a≤6，2≤x≤9，a、x均为整数，
∴a＝2，x＝8，
∴y＝8﹣2＝6，
∴10x+y＝86．
故存在，这样的“青春数”为86．
9．【解答】解：（1）设任意一个三位数abc（均为自然数且），
依题意假设ab−2c＝10a+b能被7整除，
不妨ab−2c＝7n（ n为自然数 ），则10n+b＝7n，
所以abc=100a+10b+c＝10（10a+b）+c＝10（7n+2c）+c＝7（10n+3c），
故能被7整除；
（2）设个位之前及个位数分别为m、n（出现的字母均为自然数），
依题意不妨设m+Kn＝13a，
则原多位数为10m+n，
依题意不妨设10m+n＝13b，
联立可得：b＝10a−n13（10K﹣1），
则10k﹣1为13倍数，分别将 K＝1、2、3、4、5…15代入可知，只有K＝4 时符合条件．
10．【解答】解：当x≥4时，原式＝x﹣1﹣3+3x+1＝4x﹣3；
当1≤x＜4时，原式＝4﹣x+3x+1＝2x+5；
当−13≤x＜1时，原式＝x+2+3x+1＝4x+3；
当﹣2≤x＜−13时，原式＝x+2﹣3x﹣1＝﹣2x+1
当x＜﹣2时，原式＝1﹣x﹣3﹣3x﹣1＝﹣4x﹣3．
综上所述，当x≥4时，原式＝4x+3；当1≤x＜4时，原式＝2x+5；当−13≤x＜1时，原式4x+3；当﹣2≤x＜−13时，原式＝﹣2x+1；当x＜﹣2时，原式＝﹣4x﹣3．
11．【解答】解：由|a﹣b|19+|c﹣a|2010＝1可知
|a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0或|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝1，
当a﹣b＝1，c﹣a＝0时，b﹣c＝﹣1，
当c﹣a＝±1，a﹣b＝0时，b﹣c＝±1，
即|b﹣c|＝1，
则原式＝|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣a|＝1+1＝2．
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