江苏省宿迁市青华中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷（A卷）

这是一份江苏省宿迁市青华中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷（A卷），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，AC与BD相交于点O，，，不添加辅助线，判定≌的依据是( )
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. HL
3.边长为2的正方形的对角线的长最接近下列的哪个数( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.已知等腰三角形一边长为4，周长为10，则另两边长分别为( )
A. 4，2B. 3，3C. 4，2或3，3D. 以上都不对
5.在下列四组数中，不是勾股数的一组是( )
A. 3，4，5B. 4，5，6C. 24，25，7D. 5，12，13
6.到三角形的三个顶点距离相等的点是( )
A. 三条角平分线的交点B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点D. 三条边的垂直平分线的交点
7.如图，在方格纸中，以AB为一边作，使之与全等，从，，，四个点中找出符合条件的点P，则点P有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
8.大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”如图，某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，AD、BE、CF围成的也是等边三角形.已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若的面积为14，则的面积是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.4的算术平方根是______.
10.用四舍五入法将精确到，所得到的近似数为______.
11.在中，，若，则______.
12.如图，≌，，，则______
13.已知实数x、y满足，则的值为______.
14.如图，AD是的角平分线，，，则D到AB的距离是______.
15.如图，在中，以AB、AC为边的正方形的面积分别为、，若，，则BC的长为______.
16.如图，长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm，当沿AE折叠时，顶点D落在BC边上的点F处，则CE的长______.
17.如图，和中，，，，且点B，D，E在同一条直线上，若，则______
18.如图，已知线段，射线于点A，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走4m，P，Q同时从B出发，则出发______秒后，在线段 MA上有一点C，使与全等.
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分
解答下列问题：
计算；
20.本小题8分
已知：如图，，求证：≌
21.本小题8分
已知一个正数的平方根分别是和，另一个实数b的立方根是
求：，b的值；
与b和的平方根．
22.本小题8分
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上.
在图中画出与关于直线l成轴对称的；
的面积为______；
在直线l上找一点P，使的长最短.
23.本小题10分
如图，在中，，交BC于点D，，
若，则______，______；
若，求CD的长.
24.本小题10分
如图，已知AC平分，于点E，于点F，且
求证：；
若，，求DF的长．
25.本小题10分
“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距50km，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路AB上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由．
26.本小题10分
阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答下列问题：
求出的整数部分和小数部分；
已知：，其中x是整数，且，请你求出的相反数．
27.本小题12分
如图在和中，，，，连接AD，BE交于点
如图1，当点B，C，D在同一条直线上，且时，可以得到图中的一对全等三角形，即______≌______；
当点D不在直线BC上时，如图2位置，且
①试说明；
②直接写出的大小用含的代数式表示
28.本小题12分
如图，中，，，，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线运动，设运动时间为t秒
若点P在AC上，且满足时，求出此时t的值；
若点P恰好在的角平分线上，求t的值；
在运动过程中，直接写出当t为何值时，为等腰三角形．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】
解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：
2.【答案】B
【解析】解：在和中，
，
≌，
故选：
根据全等三角形的判定定理SAS求解即可．
此题考查了全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：边长为2的正方形的对角线的长为，
边长为2的正方形的对角线的长最接近3，
故选：
由正方形的性质可直接求解．
本题考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：若4为等腰三角形的腰长，
周长为10，
底边长为，
即另两边长分别为4，2；
若4为等腰三角形的底边长，
周长为10，
腰长为，
即另两边长分别为3，3，
故选：
按4为腰长或底边长，分类讨论，逐一解析，即可解决问题．
该题以等腰三角形为载体，以三角形的三边关系的考查为核心构造而成；运用分类讨论的数学思想分类讨论、逐一解析，是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、，
，4，5是一组勾股数，本选项不符合题意；
B、，
，5，6不是一组勾股数，本选项符合题意；
C、，
，25，7是一组勾股数，本选项不符合题意；
D、，
，12，13是一组勾股数，本选项不符合题意；
故选：
根据勾股数的概念判断即可．
本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是线段垂直平分线的性质有关知识，根据线段垂直平分线的性质进行解答即可.
【解答】
解：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点.
故选
7.【答案】C
【解析】解：如图，
≌，
≌，
≌，
则符合条件的点P有3个，
故选：
根据全等三角形的对应边相等判断即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，连接BF，
点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，
，，
由题意可知，，
，
，
，
，
故选：
连接BF，由题意知，再由点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，可得，，即可得出即可求解．
本题考查了勾股定理的证明，等边三角形的性质，正确作出辅助线，得出是解题的关键．
9.【答案】2
【解析】解：，
的算术平方根是
故答案为：
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了近似数．近似数与准确数的接近程度，可以用精确度来表示，按四舍五入法取近似数．
把千分位上的数字6进行四舍五入即可．
【解答】
解：精确到
故答案为
11.【答案】
【解析】【分析】
根据等腰三角形性质和三角形内角和定理即可直接得出答案．
本题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
【解答】
解：中，，
，
，
故答案为：
12.【答案】20
【解析】解：，，
，
≌，
，
故答案为：
根据三角形的内角和等于求出的度数，再根据全等三角形对应角相等即可得解．
本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应顶点的字母放在对应位置结合图形准确确定对应角是解题的关键，还利用了三角形的内角和定理．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
解得，，
所以，
故答案为：
根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为
14.【答案】6
【解析】解：如图，作于E，
是的角平分线，，，
，
故答案为：
作于E，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：以AB、AC为边的正方形的面积分别为，，
，，
，
，
故答案为：
因为以AB、AC为边的正方形的面积分别为，，所以，，而，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查正方形的面积公式、勾股定理等知识，推导出，是解题的关键．
16.【答案】3cm
【解析】解：四边形ABCD为矩形，
，，，
沿AE折叠时，顶点D落在BC边上的点F处，
，，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
即CE的长为3cm，
故答案为：
先根据矩形的性质得到，，，再根据折叠的性质得，，则可利用勾股定理计算出BF，从而得到CF的长，设，则，然后在中利用勾股定理得到关于x的方程，从而解方程求出x即可．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是教授出CF和用CE表示
17.【答案】70
【解析】解：，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
故答案为：
利用SAS证明≌，根据全等三角形的性质及三角形外角性质求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明≌是解题的关键．
18.【答案】4或10
【解析】解：设出发x秒后，在线段MA上有一点C，使与全等．
当≌时，，即，
解得：；
当≌时，米，
此时所用时间，
综上，出发4秒或10秒后，在线段MA上有一点C，使与全等．
故答案为：4或
分两种情况考虑：当≌时与当≌时，根据全等三角形的性质即可确定出时间．
此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解本题的关键．
19.【答案】解：
，
开立方得：，
移项合并同类项得：
【解析】根据算术平方根、立方根定义，零指数幂运算法则进行计算即可；
根据立方根定义，解方程即可．
本题主要考查了实数混合运算，立方根应用，解题的关键是熟练掌握算术平方根、立方根定义，零指数幂运算法则，准确计算．
20.【答案】证明：在和中，
，
≌
【解析】由“SAS”可证≌
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
21.【答案】解：一个正数的平方根分别是和，另一个实数b的立方根是2，
，，
解得：
则a的值是1，b的值是8；
根据题意得：
，
则a与b和的平方根是
【解析】根据正数的两个平方根互为相反数列出算式，求出a的值，再根据另一个实数b的立方根是2，求出b即可；
先求出的值，再根据平方根的定义即可得出答案．
此题考查了平方根和立方根，关键是能准确理解并运用平方根和立方根的概念．
22.【答案】
【解析】解：作出点A，点B关于l的对称点、，连结，，，
如图所示，即为所求；
；
故答案为：；
点B与点关于l对称，
连接交直线l与点P，
，
，
则长的最短值
根据题意作出点A，点B关于L的对称点、，连结，，即可；
用割补法利用矩形面积减去3个直角三角形面积求解即可得到结论；
通过轴对称的性质，作出图形．
本题考查了轴对称-最短路线问题，作图-轴对称变换，正确地理解题意是解题的关键．
23.【答案】8 15
【解析】解：，
，
，，，
，
故答案为：8，15；
设，则，
，，
，
，
解得，
由勾股定理可得出答案；
设，则，由勾股定理可得出，则可得出答案．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
24.【答案】证明：平分，于点E，于点F，
，，
在和中，
，
，
解：平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，，
，
，
的长是
【解析】由AC平分，于点E，于点F，得，，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明，得；
先证明≌，得，则，所以，即可求得
此题重点考查角平分线上的点到角的两边的距离相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明及≌是解题的关键．
25.【答案】解：是等腰直角三角形，
理由：设，则，
在直角中，，
在直角中，，
解得，
即
答：市场E应建在离A点20km的位置，
，，，
在和中，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形．
【解析】可以设，则，在直角中根据勾股定理可以求得DE，在直角中根据勾股定理可以求得CE，根据可以求得x的值，即可求得AE的值．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据和求x的值是解题的关键．
26.【答案】解：，
，
的整数部分是，的小数部分是；
，
，
的整数部分是12，的小数部分是，
即，，
，
则的相反数是
【解析】本题考查了估算出无理数的范围，能估算出和的范围是解此题的关键．
先估算出的范围，求出的范围，即可得出答案；
先估算出的范围，再求出的范围，求出x、y的值，即可求出答案．
27.【答案】
【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：，；
①证明：，
，
在和中，
，
≌，
；
②解：≌，
，
，
，
由“SAS”可证≌；
①由“SAS”可证≌，可得，
②由全等三角形的性质可得，由三角形的内角和定理可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，证明≌是解题的关键．
28.【答案】解：中，，，，
由勾股定理得，
如图，连接BP，
当时，，，
在中，，
即，
解得：，
当时，；
如图1，过P作，
又点P恰好在的角平分线上，且，，，
，
≌，
，，
设，则，，
中，，
即
解得，
，
，
；
当点P沿折线运动到点A时，点P也在的角平分线上，
此时，；
综上，若点P恰好在的角平分线上，t的值为或6s；
①如图2，当时，为等腰三角形，
若点P在CA上，则，
解得；
②如图3，当时，为等腰三角形，
，
；
③如图4，若点P在AB上，，作于D，则根据面积法求得，
在中，由勾股定理得，，
，
，
此时；
④如图5，当时，为等腰三角形，作于D，则D为BC的中点，
为的中位线，
，
，
；
综上所述，t为或或5s或时，为等腰三角形．
【解析】设存在点P，使得，此时，，根据勾股定理列方程即可得到t的值；
过P作，设，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程式进行解答即可；
分类讨论：当时，为等腰三角形，若点P在AC上，根据AP的长即可得到t的值，若点P在AB上，根据P移动的路程易得t的值；当时，为等腰三角形，作于D，根据等腰三角形的性质得，则可判断PD为的中位线，则，易得t的值；当时，为等腰三角形，易得t的值．
本题以动点问题为背景，考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．解题时需要作辅助线构造直角三角形以及等腰三角形．