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江苏省宿迁市宿豫区青华中学2022-2023学年九年级上学期期初数学试卷（b卷）（含答案）
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这是一份江苏省宿迁市宿豫区青华中学2022-2023学年九年级上学期期初数学试卷（b卷）（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省宿迁市宿豫区青华中学九年级（上）期初数学试卷（B卷）（含答案解析）
一、选择题（每题3分，共24分．请将每题的正确选项填在答题纸上的规定位置.）
1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x
C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
2．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
3．（3分）在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，tanC的值是（ ）
A． B． C．1 D．
4．（3分）球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（ ）米．
A．5sin31° B．5cos31° C．5tan31° D．5cot31°
5．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变，又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（ ）
A．40海里 B．60海里 C．40海里 D．20海里
7．（3分）已知函数y＝ax2+bx+4（a＜0），2a﹣b＝0，在此函数图象上有A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
8．（3分）已知AB＝4，CD＝9，BD＝17，AB⊥BD，CD⊥BD，在线段BD上有一点P，使得△PAB和△PCD相似，则满足条件的点P的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．无数
二、填空题（每题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
9．（3分）抛物线y＝x2+4x+5对称轴是 ．
10．（3分）已知a为锐角，tan（90°﹣a）＝，则a的度数为 ．
11．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为 ．
12．（3分）若二次函数y＝x2﹣2x+m图象的顶点在x轴上方，则实数m的取值范围是 ．
13．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是 ．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
14．（3分）若太阳光线与地面成α角，30°＜α＜45°，一棵树的影子长为10米，则树高h的范围是（取） ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，其中点A、C分别在x轴、y轴上，B（4，2）．P是x轴负半轴上一点，OP＝OC，过点P的直线l分别与y轴、边BC交于点D、点E，连接AE．当△POD与△ABE相似时，则CE的长为 ．
16．（3分）如图，在△ABO中，O是角平分线AD，BE的交点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是 ．
17．（3分）如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE，当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中不全等的相似三角形共有 对．
18．（3分）如图，D是等边△ABC边AD上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC上，则CE：CF的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.）
19．（8分）求tan260°+4sin30°cos45°的值．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD．如果sin∠ACB＝，求AD的长．
21．（8分）如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小明在点D处，自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测自己的影长FG＝4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．
22．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．若点P是线段BC上的动点，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．求线段PM的最大值．
23．（10分）如图，点E是边长为4的正方形ABCD的边BC上一动点，连接AE，过点E作AE的垂线交CD边于点F．当点E从点B运动到点C时，求点F运动的路程．
24．（10分）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
25．（10分）如图，点D在△ABC的边AD上，已知AD＝2，DB＝1，AC＝，∠ADC＝60°，求∠BCD的度数．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．点D、E为直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方．当四边形ACDE的周长最小时，求点E的坐标．
27．（12分）现有一边长BC＝120cm，高AD＝80cm的三角形木板．按如图所示方法（矩形顶点P、N分别在AB、AC边上，MQ在BC边上）对三角形木片进行裁剪，要使得矩形MNPQ面积最大，应如何裁剪？（求出PN长度即可）
28．（12分）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象经过点A（1，0）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）二次函数图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；
（3）在点P、Q运动的过程中，是否存在使△PBQ与△BOC相似的时刻，如果存在，求出运动时间t，如果不存在，请说明理由．
2022-2023学年江苏省宿迁市宿豫区青华中学九年级（上）期初数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分．请将每题的正确选项填在答题纸上的规定位置.）
1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x
C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．y＝x2+（3﹣x）x
＝x2+3x﹣x2
＝3x，y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．y是x的二次函数，故本选项符合题意；
D．当a＝0时，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．
2．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）直接写出即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的顶点求解方法，既会运用顶点式，又要会用公式法．
3．（3分）在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，tanC的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据特殊角的三角函数值求解即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，
∴∠C＝30°，
∴tanC＝．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理．
4．（3分）球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（ ）米．
A．5sin31° B．5cos31° C．5tan31° D．5cot31°
【分析】当钢球沿斜坡向上滚动时，若过钢球向地面作垂线，那么在构成的直角三角形中，钢球距地面的高度即为已知角的对边，已知了斜边，可利用正弦函数来解．
【解答】解：设钢球距地面的高度为h，
∵sin31°＝．
∴h＝5•sin31°．
故选：A．
【点评】本题考查了接直角三角形的应用中的坡度坡角问题，解题的关键是理解：一个角的正弦等于这个角的对边比斜边．
5．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键．
6．（3分）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变，又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（ ）
A．40海里 B．60海里 C．40海里 D．20海里
【分析】首先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2PA，求出PA即可解决问题．
【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，
∴PB＝2AB，
由题意得BC＝2AB，
∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴PC＝2PA，
∵PA＝AB•tan60°，
∴PC＝2×20×＝40（海里），
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是证明出PB＝PC．
7．（3分）已知函数y＝ax2+bx+4（a＜0），2a﹣b＝0，在此函数图象上有A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【分析】根据已知可得该抛物线开口向下，再求出抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性，求出点C关于直线x＝﹣1的对称点，再利用增减性即可解答．
【解答】解：∵2a﹣b＝0，
∴2a＝b，
∵y＝ax2+bx+4（a＜0），
∴对称轴为x＝﹣＝﹣＝﹣1，
∴C（，y3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2﹣，y3），
∵a＜0，
∴图象开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∵﹣2﹣＜﹣＜﹣，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．（3分）已知AB＝4，CD＝9，BD＝17，AB⊥BD，CD⊥BD，在线段BD上有一点P，使得△PAB和△PCD相似，则满足条件的点P的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．无数
【分析】分两种情况讨论，由三角形的性质可列出等式，可求解．
【解答】解：设BP＝x，则PD＝17﹣x，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴当或时，△PAB和△PCD相似，
当时，则，解得：x＝，
当时，则，解得：x＝，
∴BP的值有三个，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
9．（3分）抛物线y＝x2+4x+5对称轴是 直线x＝﹣2 ．
【分析】利用对称轴公式，进行计算即可解答．
【解答】解：由对称轴公式可得：
对称轴是：直线x＝﹣＝﹣＝﹣2，
故答案为：直线x＝﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握对称轴公式是解题的关键．
10．（3分）已知a为锐角，tan（90°﹣a）＝，则a的度数为 30° ．
【分析】先根据α为锐角及tan60°＝解答即可．
【解答】解：∵α为锐角，tan（90°﹣α）＝，
∴90°﹣α＝60°，
∴α＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．
11．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为 9cm2 ．
【分析】由DE都是中点，可得DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，则△ADE∽△ABC，且相似比是1：2，则△ADE的面积和△ABC的面积比是1：4，则△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，结合已知条件，可得结论．
【解答】解：在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，且＝，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积：△ABC的面积＝1：4，
∴△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，
∵△ADE的面积是3cm2，
∴四边形BDEC的面积是9cm2，
故答案为：9cm2．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形中位线的定理，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．
12．（3分）若二次函数y＝x2﹣2x+m图象的顶点在x轴上方，则实数m的取值范围是 m＞1 ．
【分析】求得对称轴为直线x＝1，代入解析式得到y＝m﹣1，根据题意m﹣1＞0，解得m＞1．
【解答】解：抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，
将x＝1代入y＝x2﹣2x+m，得y＝m﹣1，
所以抛物线的顶点为（1，m﹣1），
∴m﹣1＞0，
∴m＞1，
故答案为：m＞1．
【点评】本题考查二次函数图象和系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
13．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是 （1，0） ．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
【分析】根据表中数据得到点（﹣2，﹣3）和（0，﹣3）对称点，从而得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，再利用表中数据得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），然后根据抛物线的对称性就看得到抛物线与x轴的一个交点坐标．
【解答】解：∵x＝﹣2，y＝﹣3；x＝0时，y＝﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）．
故答案为（1，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
14．（3分）若太阳光线与地面成α角，30°＜α＜45°，一棵树的影子长为10米，则树高h的范围是（取） ＜h＜10 ．
【分析】利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范围即可．
【解答】解：AC＝10．
①当∠A＝30°时，BC＝ACtan30°＝10×≈5.7．
②当∠A＝45°时，BC＝ACtan45°＝10．
∴5.7＜h＜10．
【点评】本题考查了三角函数定义的应用．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，其中点A、C分别在x轴、y轴上，B（4，2）．P是x轴负半轴上一点，OP＝OC，过点P的直线l分别与y轴、边BC交于点D、点E，连接AE．当△POD与△ABE相似时，则CE的长为 1或+1 ．
【分析】分两种情形：当△ABE∽△DOP时，∠AEB＝∠DPO，证明EP＝EA，求出点E的横坐标即可解决问题．②当△ABE∽△POD时，过点E作EH⊥PA于H．证明△PHE∽△EHA，可得EH2＝PH•AH，设AH＝x，则PH＝6﹣x，构建方程求出x，即可解决问题．
【解答】解：①当△ABE∽△DOP时，∠AEB＝∠DPO，
∵BC∥AP，
∴∠EAP＝∠AEB，
∴∠EPA＝∠EAP，
∴EP＝EA，
∴点E的横坐标为1，
∴CE＝1．
②当△ABE∽△POD时，过点E作EH⊥PA于H．
∵∠BAE＝∠EPA，∠BAE+∠EAP＝90°，
∴∠EPA+∠EAP＝90°，
∴∠AEP＝90°，
∵EH⊥AP，
∴∠EHP＝∠EHA＝90°，
∴∠PEH+∠EPH＝90°，∠PEH+∠AEH＝90°，
∴∠EPH＝∠AEH，
∴△PHE∽△EHA，
∴EH2＝PH•AH，
设AH＝x，则PH＝6﹣x，
∴x（6﹣x）＝4，
∴x2﹣6x+4＝0，
∴x＝3﹣或3+（舍弃），
∴EC＝+1．
综上所述，满足条件的EC的值为1或+1．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
16．（3分）如图，在△ABO中，O是角平分线AD，BE的交点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是 ．
【分析】过点O作OF⊥AB，垂足为F，先利用等腰三角形的三线合一性质可得AD⊥BC，BD＝BC＝6，从而在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD＝8，再利用角平分线的定义可得∠ABE＝∠DBE，然后利用AAS证明△BOF≌△BOD，从而利用全等三角形的性质OD＝OF，BF＝BD＝6，进而求出AF＝4，最后设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，从而在Rt△AOF中，利用勾股定理求出x的值，进而在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：过点O作OF⊥AB，垂足为F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝6，
在Rt△ABD中，AB＝10，
∴AD＝＝＝8，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵∠ODB＝∠OFB＝90°，OB＝OB，
∴△BOF≌△BOD（AAS），
∴OD＝OF，BF＝BD＝6，
∴AF＝AB﹣BF＝4，
设OD＝OF＝x，则AO＝AD﹣OD＝8﹣x，
在Rt△AOF中，AF2+OF2＝AO2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴在Rt△ABD中，tan∠OBD＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（3分）如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE，当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中不全等的相似三角形共有 3 对．
【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，利用三角形内角和得到∠3＝∠4，则可判断△AFE∽△DFC；根据相似的性质得AF：DF＝EF：FC，而∠AFD＝∠EFC，则可判断△AFD∽△EFC；由于∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，所以∠3＝∠5，于是可判断△ABD∽△AEC．
【解答】解：∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），
∴△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，
∴∠3＝∠4，
∴△AFE∽△DFC；
∴AF：DF＝EF：FC，
而∠AFD＝∠EFC，
∴△AFD∽△EFC；
∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，
∴∠3＝∠5，
∴△ABD∽△AEC．
∴图中不全等的相似三角形共有3对，
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
18．（3分）如图，D是等边△ABC边AD上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC上，则CE：CF的值为 4：5 ．
【分析】求出△AED∽△BDF，由折叠得出CE＝DE，CF＝DF，求出△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，得出△AED与△BDF的相似比即可．
【解答】解：设AD＝k，则DB＝2k，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，
∴∠EDA+∠FDB＝120°，
又∵∠EDA+∠AED＝120°，
∴∠FDB＝∠AED，
∴△AED∽△BDF，
由折叠得：CE＝DE，CF＝DF，
∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，
∴△AED与△BDF的相似比为4：5
∴CE：CF＝DE：DF＝4：5．
故答案为：4：5．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用、等边三角形的性质、相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是求出相似三角形．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.）
19．（8分）求tan260°+4sin30°cos45°的值．
【分析】分别把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝（）2+4××
＝3+．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD．如果sin∠ACB＝，求AD的长．
【分析】先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝2，sin∠ACB＝，
∴AC＝＝＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∵CD＝8，
∴AD＝＝＝10，
∴AD的长为10．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及勾股定理是解题的关键．
21．（8分）如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小明在点D处，自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测自己的影长FG＝4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵CD∥EF∥AB，
∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴＝，＝，
又∵CD＝EF，
∴＝，
∵DF＝3，FG＝4，BF＝BD+DF＝BD+3，BG＝BD+DF+FG＝BD+7，
∴＝，
∴BD＝9，BF＝9+3＝12，
∴＝，
解得，AB＝6.4m．
答：路灯杆AB的高度为6.4m．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果．
22．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．若点P是线段BC上的动点，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．求线段PM的最大值．
【分析】先利用对称性得到点B的坐标为（﹣3，0），设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），再把把C点坐标代入求得a＝﹣1，则抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，接着利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝x+3，设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），所以PM＝﹣t2﹣3t，然后根据二次函数的性质求PM的最大值．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点A的坐标（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得a×3×（﹣1）＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），
∴PM＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵PM＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，PM有最大值，最大值为．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
23．（10分）如图，点E是边长为4的正方形ABCD的边BC上一动点，连接AE，过点E作AE的垂线交CD边于点F．当点E从点B运动到点C时，求点F运动的路程．
【分析】根据正方形的性质证明△ABE∽△ECF，可得＝，设BE＝x，CF＝y，当点E从点B运动到点C时，点F运动的路程即为抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的最大值．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C，∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠BEA+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴＝，
设BE＝x，CF＝y，
∵正方形ABCD的边长为4，
则CE＝4﹣x，
∴＝，
∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线的顶点为（2，1），开口向下，
∴x＝2时，y最大＝1，
∴当点E从点B运动到点C时，点F运动的路程为1．
【点评】本题考查了正方形的性质，二次函数的性质，三角形相似的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABE∽△ECF．
24．（10分）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
【分析】过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，设AC＝x米，由锐角三角函数定义求出PC＝AC＝x（米），QC＝BC＝（x+3）米，再由PC﹣QC＝PQ＝5米得出方程，求解即可．
【解答】解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如图所示：
设AC＝x米，
由题意得：PQ＝5米，∠APC＝30°，∠BQC＝45°，
在Rt△APC中，tan∠APC＝＝tan30°＝，
∴PC＝AC＝x（米），
在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝＝tan45°＝1，
∴QC＝BC＝AC+AB＝（x+3）米，
∵PC﹣QC＝PQ＝5米，
∴x﹣（x+3）＝5，
解得：x＝4（+1），
∴BC＝4（+1）+3＝4+7≈14（米），
答：无人机飞行的高度约为14米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义和锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25．（10分）如图，点D在△ABC的边AD上，已知AD＝2，DB＝1，AC＝，∠ADC＝60°，求∠BCD的度数．
【分析】作CE⊥AB于点E，先证明△ABC∽△ACD，则＝＝，所以BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝60°，再推导出CD＝CE，则BC＝×CE＝CE，再根据勾股定理证明BE＝＝CE，则∠B＝∠ACD＝∠ECB＝45°，即可求得∠BCD＝15°．
【解答】解：如图，作CE⊥AB于点E，
∵AD＝2，DB＝1，AC＝，
∴AB＝2+1＝3，
∴＝，＝＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴＝＝，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴BC＝CD，
∵∠CED＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴DE＝CD，
∴CE＝＝CD，
∴CD＝CE，
∴BC＝×CE＝CE，
∴BE＝＝CE，
∴∠B＝∠ECB＝45°，
∴∠ACD＝∠B＝45°，
∴∠BCD＝60°﹣45°＝15°，
∴∠BCD的度数是15°．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．点D、E为直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方．当四边形ACDE的周长最小时，求点E的坐标．
【分析】在y轴上取点F，使CF＝DE＝1，连接BF，交直线x＝1于点E，所以AE+CD的最小值为BF，则四边形ACDE的周长最小值为：AC+DE+BF，可得直线BF：y＝﹣x+2，令x＝1，则y＝，即求得E的坐标（，1）．
【解答】解：在y轴上取点F，使CF＝DE＝1，连接BF，交直线x＝1于点E，
∴四边形CFED为平行四边形，
∴EF＝CD，
∵C（0，3），
∴F（0，2）
∴OF＝2，
∴C（0，3），OB＝OC．
∴OB＝3，B（3，0），
∵A（﹣1，0），
∴直线x＝1为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴，
∴EA＝EB，
∴AE+CD＝BE+EF≥BF，
∴AE+CD的最小值为BF，
∴四边形ACDE的周长最小值为：AC+DE+BF，
∵F（0，2），B（3，0），
∴直线BF：y＝﹣x+2，
令x＝1，则y＝
∴E的坐标（，1）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，通过确定点F点来求最小值，是本题的难点．
27．（12分）现有一边长BC＝120cm，高AD＝80cm的三角形木板．按如图所示方法（矩形顶点P、N分别在AB、AC边上，MQ在BC边上）对三角形木片进行裁剪，要使得矩形MNPQ面积最大，应如何裁剪？（求出PN长度即可）
【分析】设PN＝xcm，依据△APN∽△ABC，即可得到AE＝80﹣x，进而得出DE＝PQ＝80﹣x，再根据S矩形PQMN＝（x﹣60）2+2400，即可得到当x＝60时，矩形MNPQ面积最大为2400cm2．
【解答】解：如图所示，设PN＝xcm，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
又∵AD⊥BC，AE⊥PN，
∴＝，即＝，
∴AE＝80﹣x，
∴DE＝PQ＝80﹣x，
∴S矩形PQMN＝PQ×PN＝（80﹣x）×x＝（x﹣60）2+2400，
∴当x＝60时，矩形MNPQ面积最大为2400cm2，
即PN长度为60cm时，矩形MNPQ的面积最大．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值．
28．（12分）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象经过点A（1，0）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）二次函数图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；
（3）在点P、Q运动的过程中，是否存在使△PBQ与△BOC相似的时刻，如果存在，求出运动时间t，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A（1，0）代入解析式，求出b的值，即可得到解析式；
（2）过点Q作QN⊥AB于点N，利用＝表示出△BPQ的高NQ，然后表示出△BPQ的面积，利用二次函数的性质求出最大面积；
（3）由∠PBQ＝∠OBC，∠BOC＝90°，知△PBQ与△BOC相似只需△PBQ为直角三角形，分两种情况：①当∠PQB＝90°时，△PBQ是等腰直角三角形，BP＝BQ，有4﹣2t＝t，解得t＝4﹣2；②当∠BPQ＝90°时，t＝（4﹣2t），解得t＝．
【解答】解：（1）把点A（1，0）代入y＝x2+2bx﹣3b得：1+2b﹣3b＝0，
解得：b＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）过Q作QN⊥OB于N，如图：
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x1＝﹣3，x2＝1，
∴C（0，﹣3），B（﹣3，0），A（1，0），
∴AB＝4，OB＝OC＝3，BC＝3，
设运动时间为t，则BQ＝t，AP＝2t，
∴BP＝4﹣2t，
∵sin∠NBQ＝sin∠OBC，
∴＝，即＝，
∴NQ＝t，
∴S△BPQ＝BP•NQ＝（4﹣2t）×t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣1）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝1时，△BPQ面积的最大值为；
（3）在点P、Q运动的过程中，存在使△PBQ与△BOC相似的时刻，理由如下：
∵∠PBQ＝∠OBC，∠BOC＝90°，
∴△PBQ与△BOC相似只需△PBQ为直角三角形，
①当∠PQB＝90°时，如图：
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°，
∴△PBQ是等腰直角三角形，BP＝BQ，
∴4﹣2t＝t，
解得t＝4﹣2；
②当∠BPQ＝90°时，如图：
同理可知BQ＝PB，
∴t＝（4﹣2t），
解得t＝，
综上所述，t的值为4﹣2或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标、三角形面积等知识，解题的关键是数形结合和分类讨论思想的应用．
2022-2023学年江苏省宿迁市宿豫区青华中学九年级（上）期初数学试卷（B卷）（含答案解析）
一、选择题（每题3分，共24分．请将每题的正确选项填在答题纸上的规定位置.）
1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x
C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
2．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
3．（3分）在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，tanC的值是（ ）
A． B． C．1 D．
4．（3分）球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（ ）米．
A．5sin31° B．5cos31° C．5tan31° D．5cot31°
5．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变，又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（ ）
A．40海里 B．60海里 C．40海里 D．20海里
7．（3分）已知函数y＝ax2+bx+4（a＜0），2a﹣b＝0，在此函数图象上有A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
8．（3分）已知AB＝4，CD＝9，BD＝17，AB⊥BD，CD⊥BD，在线段BD上有一点P，使得△PAB和△PCD相似，则满足条件的点P的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．无数
二、填空题（每题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
9．（3分）抛物线y＝x2+4x+5对称轴是 ．
10．（3分）已知a为锐角，tan（90°﹣a）＝，则a的度数为 ．
11．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为 ．
12．（3分）若二次函数y＝x2﹣2x+m图象的顶点在x轴上方，则实数m的取值范围是 ．
13．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是 ．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
14．（3分）若太阳光线与地面成α角，30°＜α＜45°，一棵树的影子长为10米，则树高h的范围是（取） ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，其中点A、C分别在x轴、y轴上，B（4，2）．P是x轴负半轴上一点，OP＝OC，过点P的直线l分别与y轴、边BC交于点D、点E，连接AE．当△POD与△ABE相似时，则CE的长为 ．
16．（3分）如图，在△ABO中，O是角平分线AD，BE的交点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是 ．
17．（3分）如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE，当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中不全等的相似三角形共有 对．
18．（3分）如图，D是等边△ABC边AD上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC上，则CE：CF的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.）
19．（8分）求tan260°+4sin30°cos45°的值．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD．如果sin∠ACB＝，求AD的长．
21．（8分）如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小明在点D处，自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测自己的影长FG＝4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．
22．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．若点P是线段BC上的动点，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．求线段PM的最大值．
23．（10分）如图，点E是边长为4的正方形ABCD的边BC上一动点，连接AE，过点E作AE的垂线交CD边于点F．当点E从点B运动到点C时，求点F运动的路程．
24．（10分）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
25．（10分）如图，点D在△ABC的边AD上，已知AD＝2，DB＝1，AC＝，∠ADC＝60°，求∠BCD的度数．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．点D、E为直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方．当四边形ACDE的周长最小时，求点E的坐标．
27．（12分）现有一边长BC＝120cm，高AD＝80cm的三角形木板．按如图所示方法（矩形顶点P、N分别在AB、AC边上，MQ在BC边上）对三角形木片进行裁剪，要使得矩形MNPQ面积最大，应如何裁剪？（求出PN长度即可）
28．（12分）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象经过点A（1，0）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）二次函数图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；
（3）在点P、Q运动的过程中，是否存在使△PBQ与△BOC相似的时刻，如果存在，求出运动时间t，如果不存在，请说明理由．
2022-2023学年江苏省宿迁市宿豫区青华中学九年级（上）期初数学试卷（B卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分．请将每题的正确选项填在答题纸上的规定位置.）
1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x
C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．y＝x2+（3﹣x）x
＝x2+3x﹣x2
＝3x，y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．y是x的二次函数，故本选项符合题意；
D．当a＝0时，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．
2．（3分）抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
【分析】根据抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）直接写出即可．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的顶点求解方法，既会运用顶点式，又要会用公式法．
3．（3分）在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，tanC的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据特殊角的三角函数值求解即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，
∴∠C＝30°，
∴tanC＝．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理．
4．（3分）球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（ ）米．
A．5sin31° B．5cos31° C．5tan31° D．5cot31°
【分析】当钢球沿斜坡向上滚动时，若过钢球向地面作垂线，那么在构成的直角三角形中，钢球距地面的高度即为已知角的对边，已知了斜边，可利用正弦函数来解．
【解答】解：设钢球距地面的高度为h，
∵sin31°＝．
∴h＝5•sin31°．
故选：A．
【点评】本题考查了接直角三角形的应用中的坡度坡角问题，解题的关键是理解：一个角的正弦等于这个角的对边比斜边．
5．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键．
6．（3分）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变，又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（ ）
A．40海里 B．60海里 C．40海里 D．20海里
【分析】首先证明PB＝BC，推出∠C＝30°，可得PC＝2PA，求出PA即可解决问题．
【解答】解：在Rt△PAB中，∵∠APB＝30°，
∴PB＝2AB，
由题意得BC＝2AB，
∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴PC＝2PA，
∵PA＝AB•tan60°，
∴PC＝2×20×＝40（海里），
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是证明出PB＝PC．
7．（3分）已知函数y＝ax2+bx+4（a＜0），2a﹣b＝0，在此函数图象上有A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
【分析】根据已知可得该抛物线开口向下，再求出抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性，求出点C关于直线x＝﹣1的对称点，再利用增减性即可解答．
【解答】解：∵2a﹣b＝0，
∴2a＝b，
∵y＝ax2+bx+4（a＜0），
∴对称轴为x＝﹣＝﹣＝﹣1，
∴C（，y3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2﹣，y3），
∵a＜0，
∴图象开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∵﹣2﹣＜﹣＜﹣，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．（3分）已知AB＝4，CD＝9，BD＝17，AB⊥BD，CD⊥BD，在线段BD上有一点P，使得△PAB和△PCD相似，则满足条件的点P的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．无数
【分析】分两种情况讨论，由三角形的性质可列出等式，可求解．
【解答】解：设BP＝x，则PD＝17﹣x，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴当或时，△PAB和△PCD相似，
当时，则，解得：x＝，
当时，则，解得：x＝，
∴BP的值有三个，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
9．（3分）抛物线y＝x2+4x+5对称轴是 直线x＝﹣2 ．
【分析】利用对称轴公式，进行计算即可解答．
【解答】解：由对称轴公式可得：
对称轴是：直线x＝﹣＝﹣＝﹣2，
故答案为：直线x＝﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握对称轴公式是解题的关键．
10．（3分）已知a为锐角，tan（90°﹣a）＝，则a的度数为 30° ．
【分析】先根据α为锐角及tan60°＝解答即可．
【解答】解：∵α为锐角，tan（90°﹣α）＝，
∴90°﹣α＝60°，
∴α＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．
11．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为 9cm2 ．
【分析】由DE都是中点，可得DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，则△ADE∽△ABC，且相似比是1：2，则△ADE的面积和△ABC的面积比是1：4，则△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，结合已知条件，可得结论．
【解答】解：在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，且＝，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积：△ABC的面积＝1：4，
∴△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，
∵△ADE的面积是3cm2，
∴四边形BDEC的面积是9cm2，
故答案为：9cm2．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形中位线的定理，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．
12．（3分）若二次函数y＝x2﹣2x+m图象的顶点在x轴上方，则实数m的取值范围是 m＞1 ．
【分析】求得对称轴为直线x＝1，代入解析式得到y＝m﹣1，根据题意m﹣1＞0，解得m＞1．
【解答】解：抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝1，
将x＝1代入y＝x2﹣2x+m，得y＝m﹣1，
所以抛物线的顶点为（1，m﹣1），
∴m﹣1＞0，
∴m＞1，
故答案为：m＞1．
【点评】本题考查二次函数图象和系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
13．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是 （1，0） ．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
【分析】根据表中数据得到点（﹣2，﹣3）和（0，﹣3）对称点，从而得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，再利用表中数据得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），然后根据抛物线的对称性就看得到抛物线与x轴的一个交点坐标．
【解答】解：∵x＝﹣2，y＝﹣3；x＝0时，y＝﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）．
故答案为（1，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
14．（3分）若太阳光线与地面成α角，30°＜α＜45°，一棵树的影子长为10米，则树高h的范围是（取） ＜h＜10 ．
【分析】利用坡度算出坡角最大或最小时树高的范围即可．
【解答】解：AC＝10．
①当∠A＝30°时，BC＝ACtan30°＝10×≈5.7．
②当∠A＝45°时，BC＝ACtan45°＝10．
∴5.7＜h＜10．
【点评】本题考查了三角函数定义的应用．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，其中点A、C分别在x轴、y轴上，B（4，2）．P是x轴负半轴上一点，OP＝OC，过点P的直线l分别与y轴、边BC交于点D、点E，连接AE．当△POD与△ABE相似时，则CE的长为 1或+1 ．
【分析】分两种情形：当△ABE∽△DOP时，∠AEB＝∠DPO，证明EP＝EA，求出点E的横坐标即可解决问题．②当△ABE∽△POD时，过点E作EH⊥PA于H．证明△PHE∽△EHA，可得EH2＝PH•AH，设AH＝x，则PH＝6﹣x，构建方程求出x，即可解决问题．
【解答】解：①当△ABE∽△DOP时，∠AEB＝∠DPO，
∵BC∥AP，
∴∠EAP＝∠AEB，
∴∠EPA＝∠EAP，
∴EP＝EA，
∴点E的横坐标为1，
∴CE＝1．
②当△ABE∽△POD时，过点E作EH⊥PA于H．
∵∠BAE＝∠EPA，∠BAE+∠EAP＝90°，
∴∠EPA+∠EAP＝90°，
∴∠AEP＝90°，
∵EH⊥AP，
∴∠EHP＝∠EHA＝90°，
∴∠PEH+∠EPH＝90°，∠PEH+∠AEH＝90°，
∴∠EPH＝∠AEH，
∴△PHE∽△EHA，
∴EH2＝PH•AH，
设AH＝x，则PH＝6﹣x，
∴x（6﹣x）＝4，
∴x2﹣6x+4＝0，
∴x＝3﹣或3+（舍弃），
∴EC＝+1．
综上所述，满足条件的EC的值为1或+1．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
16．（3分）如图，在△ABO中，O是角平分线AD，BE的交点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是 ．
【分析】过点O作OF⊥AB，垂足为F，先利用等腰三角形的三线合一性质可得AD⊥BC，BD＝BC＝6，从而在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD＝8，再利用角平分线的定义可得∠ABE＝∠DBE，然后利用AAS证明△BOF≌△BOD，从而利用全等三角形的性质OD＝OF，BF＝BD＝6，进而求出AF＝4，最后设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，从而在Rt△AOF中，利用勾股定理求出x的值，进而在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：过点O作OF⊥AB，垂足为F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝6，
在Rt△ABD中，AB＝10，
∴AD＝＝＝8，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵∠ODB＝∠OFB＝90°，OB＝OB，
∴△BOF≌△BOD（AAS），
∴OD＝OF，BF＝BD＝6，
∴AF＝AB﹣BF＝4，
设OD＝OF＝x，则AO＝AD﹣OD＝8﹣x，
在Rt△AOF中，AF2+OF2＝AO2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴在Rt△ABD中，tan∠OBD＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（3分）如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE，当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中不全等的相似三角形共有 3 对．
【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，利用三角形内角和得到∠3＝∠4，则可判断△AFE∽△DFC；根据相似的性质得AF：DF＝EF：FC，而∠AFD＝∠EFC，则可判断△AFD∽△EFC；由于∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，所以∠3＝∠5，于是可判断△ABD∽△AEC．
【解答】解：∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），
∴△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，
∴∠3＝∠4，
∴△AFE∽△DFC；
∴AF：DF＝EF：FC，
而∠AFD＝∠EFC，
∴△AFD∽△EFC；
∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，
∴∠3＝∠5，
∴△ABD∽△AEC．
∴图中不全等的相似三角形共有3对，
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
18．（3分）如图，D是等边△ABC边AD上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC、BC上，则CE：CF的值为 4：5 ．
【分析】求出△AED∽△BDF，由折叠得出CE＝DE，CF＝DF，求出△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，得出△AED与△BDF的相似比即可．
【解答】解：设AD＝k，则DB＝2k，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝3k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，
∴∠EDA+∠FDB＝120°，
又∵∠EDA+∠AED＝120°，
∴∠FDB＝∠AED，
∴△AED∽△BDF，
由折叠得：CE＝DE，CF＝DF，
∴△AED的周长为4k，△BDF的周长为5k，
∴△AED与△BDF的相似比为4：5
∴CE：CF＝DE：DF＝4：5．
故答案为：4：5．
【点评】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用、等边三角形的性质、相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是求出相似三角形．
三、解答题（本大题共10小题，共96分.）
19．（8分）求tan260°+4sin30°cos45°的值．
【分析】分别把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝（）2+4××
＝3+．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD．如果sin∠ACB＝，求AD的长．
【分析】先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝2，sin∠ACB＝，
∴AC＝＝＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∵CD＝8，
∴AD＝＝＝10，
∴AD的长为10．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及勾股定理是解题的关键．
21．（8分）如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小明在点D处，自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测自己的影长FG＝4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵CD∥EF∥AB，
∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴＝，＝，
又∵CD＝EF，
∴＝，
∵DF＝3，FG＝4，BF＝BD+DF＝BD+3，BG＝BD+DF+FG＝BD+7，
∴＝，
∴BD＝9，BF＝9+3＝12，
∴＝，
解得，AB＝6.4m．
答：路灯杆AB的高度为6.4m．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果．
22．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．若点P是线段BC上的动点，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．求线段PM的最大值．
【分析】先利用对称性得到点B的坐标为（﹣3，0），设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），再把把C点坐标代入求得a＝﹣1，则抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，接着利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝x+3，设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），所以PM＝﹣t2﹣3t，然后根据二次函数的性质求PM的最大值．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点A的坐标（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C（0，3）代入得a×3×（﹣1）＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），
即y＝﹣x2﹣2x+3，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+3，
设P（t，t+3）（﹣3＜t＜0），则M（t，﹣t2﹣2t+3），
∴PM＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵PM＝﹣（t+）2+，
∴当t＝﹣时，PM有最大值，最大值为．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
23．（10分）如图，点E是边长为4的正方形ABCD的边BC上一动点，连接AE，过点E作AE的垂线交CD边于点F．当点E从点B运动到点C时，求点F运动的路程．
【分析】根据正方形的性质证明△ABE∽△ECF，可得＝，设BE＝x，CF＝y，当点E从点B运动到点C时，点F运动的路程即为抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1的最大值．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C，∠BAE+∠BEA＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠BEA+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴＝，
设BE＝x，CF＝y，
∵正方形ABCD的边长为4，
则CE＝4﹣x，
∴＝，
∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线的顶点为（2，1），开口向下，
∴x＝2时，y最大＝1，
∴当点E从点B运动到点C时，点F运动的路程为1．
【点评】本题考查了正方形的性质，二次函数的性质，三角形相似的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABE∽△ECF．
24．（10分）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
【分析】过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，设AC＝x米，由锐角三角函数定义求出PC＝AC＝x（米），QC＝BC＝（x+3）米，再由PC﹣QC＝PQ＝5米得出方程，求解即可．
【解答】解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如图所示：
设AC＝x米，
由题意得：PQ＝5米，∠APC＝30°，∠BQC＝45°，
在Rt△APC中，tan∠APC＝＝tan30°＝，
∴PC＝AC＝x（米），
在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝＝tan45°＝1，
∴QC＝BC＝AC+AB＝（x+3）米，
∵PC﹣QC＝PQ＝5米，
∴x﹣（x+3）＝5，
解得：x＝4（+1），
∴BC＝4（+1）+3＝4+7≈14（米），
答：无人机飞行的高度约为14米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义和锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25．（10分）如图，点D在△ABC的边AD上，已知AD＝2，DB＝1，AC＝，∠ADC＝60°，求∠BCD的度数．
【分析】作CE⊥AB于点E，先证明△ABC∽△ACD，则＝＝，所以BC＝CD，∠ABC＝∠ADC＝60°，再推导出CD＝CE，则BC＝×CE＝CE，再根据勾股定理证明BE＝＝CE，则∠B＝∠ACD＝∠ECB＝45°，即可求得∠BCD＝15°．
【解答】解：如图，作CE⊥AB于点E，
∵AD＝2，DB＝1，AC＝，
∴AB＝2+1＝3，
∴＝，＝＝，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD，
∴＝＝，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴BC＝CD，
∵∠CED＝90°，∠ADC＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴DE＝CD，
∴CE＝＝CD，
∴CD＝CE，
∴BC＝×CE＝CE，
∴BE＝＝CE，
∴∠B＝∠ECB＝45°，
∴∠ACD＝∠B＝45°，
∴∠BCD＝60°﹣45°＝15°，
∴∠BCD的度数是15°．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．点D、E为直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方．当四边形ACDE的周长最小时，求点E的坐标．
【分析】在y轴上取点F，使CF＝DE＝1，连接BF，交直线x＝1于点E，所以AE+CD的最小值为BF，则四边形ACDE的周长最小值为：AC+DE+BF，可得直线BF：y＝﹣x+2，令x＝1，则y＝，即求得E的坐标（，1）．
【解答】解：在y轴上取点F，使CF＝DE＝1，连接BF，交直线x＝1于点E，
∴四边形CFED为平行四边形，
∴EF＝CD，
∵C（0，3），
∴F（0，2）
∴OF＝2，
∴C（0，3），OB＝OC．
∴OB＝3，B（3，0），
∵A（﹣1，0），
∴直线x＝1为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴，
∴EA＝EB，
∴AE+CD＝BE+EF≥BF，
∴AE+CD的最小值为BF，
∴四边形ACDE的周长最小值为：AC+DE+BF，
∵F（0，2），B（3，0），
∴直线BF：y＝﹣x+2，
令x＝1，则y＝
∴E的坐标（，1）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，通过确定点F点来求最小值，是本题的难点．
27．（12分）现有一边长BC＝120cm，高AD＝80cm的三角形木板．按如图所示方法（矩形顶点P、N分别在AB、AC边上，MQ在BC边上）对三角形木片进行裁剪，要使得矩形MNPQ面积最大，应如何裁剪？（求出PN长度即可）
【分析】设PN＝xcm，依据△APN∽△ABC，即可得到AE＝80﹣x，进而得出DE＝PQ＝80﹣x，再根据S矩形PQMN＝（x﹣60）2+2400，即可得到当x＝60时，矩形MNPQ面积最大为2400cm2．
【解答】解：如图所示，设PN＝xcm，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
又∵AD⊥BC，AE⊥PN，
∴＝，即＝，
∴AE＝80﹣x，
∴DE＝PQ＝80﹣x，
∴S矩形PQMN＝PQ×PN＝（80﹣x）×x＝（x﹣60）2+2400，
∴当x＝60时，矩形MNPQ面积最大为2400cm2，
即PN长度为60cm时，矩形MNPQ的面积最大．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值．
28．（12分）已知二次函数y＝x2+2bx﹣3b的图象经过点A（1，0）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）二次函数图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为C，点P从点A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面积的最大值；
（3）在点P、Q运动的过程中，是否存在使△PBQ与△BOC相似的时刻，如果存在，求出运动时间t，如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A（1，0）代入解析式，求出b的值，即可得到解析式；
（2）过点Q作QN⊥AB于点N，利用＝表示出△BPQ的高NQ，然后表示出△BPQ的面积，利用二次函数的性质求出最大面积；
（3）由∠PBQ＝∠OBC，∠BOC＝90°，知△PBQ与△BOC相似只需△PBQ为直角三角形，分两种情况：①当∠PQB＝90°时，△PBQ是等腰直角三角形，BP＝BQ，有4﹣2t＝t，解得t＝4﹣2；②当∠BPQ＝90°时，t＝（4﹣2t），解得t＝．
【解答】解：（1）把点A（1，0）代入y＝x2+2bx﹣3b得：1+2b﹣3b＝0，
解得：b＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）过Q作QN⊥OB于N，如图：
在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，令y＝0得x1＝﹣3，x2＝1，
∴C（0，﹣3），B（﹣3，0），A（1，0），
∴AB＝4，OB＝OC＝3，BC＝3，
设运动时间为t，则BQ＝t，AP＝2t，
∴BP＝4﹣2t，
∵sin∠NBQ＝sin∠OBC，
∴＝，即＝，
∴NQ＝t，
∴S△BPQ＝BP•NQ＝（4﹣2t）×t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣1）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝1时，△BPQ面积的最大值为；
（3）在点P、Q运动的过程中，存在使△PBQ与△BOC相似的时刻，理由如下：
∵∠PBQ＝∠OBC，∠BOC＝90°，
∴△PBQ与△BOC相似只需△PBQ为直角三角形，
①当∠PQB＝90°时，如图：
∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°，
∴△PBQ是等腰直角三角形，BP＝BQ，
∴4﹣2t＝t，
解得t＝4﹣2；
②当∠BPQ＝90°时，如图：
同理可知BQ＝PB，
∴t＝（4﹣2t），
解得t＝，
综上所述，t的值为4﹣2或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标、三角形面积等知识，解题的关键是数形结合和分类讨论思想的应用．
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