2025年中考数学二轮培优几何专项练习：胡不归（2份，原卷版+解析版）

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1．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】作∠OCE=120°，过点P作PG⊥CE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG=PC；当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，
∴OA=3，OC=3，
作∠OCE=120°，
∵∠OCB=60°，
则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，
过点P作PG⊥CE于点G，如图：
在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，
∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC，
∴AP+PC= AP+PG，
当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，
延长AG交y轴于点F，
∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，
∴∠CFG=30°，
∴CF=2CG，GF=CF，
在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，
∴AF=2OA=6，OF=，
∴CF=OF-OC=，
∴GF=()=，
∴AG=AF-FG=，
即AP+PC的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为 ．
【答案】6
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点，
∴AO＝3，，
∴，
作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵CH⊥AB，
∴，
∴，
∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此时，，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴2BC＋AC的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．
3．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点作，交的延长线于，

四边形是平行四边形，
，
∴
∵PH丄AD
∴
∴，，
∴
当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，
此时 ，，，
∴ ，
则最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ．
【答案】4
【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．
【详解】解：如图，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，
∴∠AFB＝90°
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝，
∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，
∴PF＝，
∴PA+2PB＝2＝＝2BF，
在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB•sin45°＝4，
∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．
5．如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为 ．
【答案】4
【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，
∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴PDPB，
∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，
又∵点C（0，1）在y轴上，
∴AC＝1+3＝4，
∴CDAC＝2，
即PC+PD的最小值为，
∴PC+PB的最小值为4，
故答案为：4．
6．如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为 ．
【答案】3
【详解】思路引领：在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．易证ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解决问题．
答案详解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴tan∠CAB，
∴∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝2，
在射线AB的下方作∠MAB＝30°，过点E作ET⊥AM于T，过点C作CH⊥AM于H．
∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，
∴ETAE，
∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，
∴CH＝AC•sin6°＝23，
∵AE+EC＝CE+ET≥CH，
∴AE+EC≥3，
∴AE+EC的最小值为3，
故答案为3．
7．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为 ．
【答案】4
【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝BM，于是可得AM+BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，
∴MH＝BM，
∴AM+BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，
∴AT＝AB•sin60°＝4，
∵AM+MH≥AT，
∴AM+MH≥4，
∴AM+BM≥4，
∴AM+BM的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．
8．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于 .
【答案】
【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6.
【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EDC=∠DAB＝30°，
∴PE=PD，
∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)，
∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，
∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，
∴PB+PE的最小值=AB=3，
∴2PB+ PD的最小值等于6，
故答案为：6.
【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.
9．如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值．
【详解】解：如图，过点D作于，过点C作于．
∵，
∴，
∵，
设，，

∴，
∴，
∴或（舍弃），
∴，
∵，，，
∴（等腰三角形两腰上的高相等）
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为,
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．
二、解答题
10．如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．

(1)若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；
(2)在（1）条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少?
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由点的坐标求出直线的解析式，再由点的横坐标代入直线的解析式求出点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线解析式求，从而得到抛物线的函数表达式；
（2）过点作轴于点，过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点，过点作于点，由点和点的坐标求线段、和的长度，得到，结合速度可知时间为，然后利用“角所对的直角边是斜边的一半”得，从而得到，进而求得此时点坐标．
【详解】（1）解：对于，当时，或，
∴，，
将点代入，得：
∴，
则直线的解析式为：，
当时，，
∴，
将点代入，得：，
∴，
∴抛物线的表达式为：；
（2）由题意得：点的运动时间为，
过点作轴于点，

∵，，
∴，，，
∴，
过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，此时，
∴与直线的交点即为所求点，
∵，
∴当时，，
∴点的坐标为时，点在整个运动过程中用时最少．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求抛物线解析式、特殊角的直角三角形三边关系，第2问的突破点是利用转化的思想结合“角所对的直角边是斜边的一半”将进行转化，然后利用垂线段最短求得用时最小时的点坐标．
11．已知抛物线过点，两点，与轴交于点，，

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标；
(3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)解析式为，顶点的坐标为
(2)点的坐标为
(3)存在，最小值为
【分析】（1）根据题意设抛物线的交点式，然后代入点的坐标，求解即可；
（2）作轴，交于点，通过设和的坐标，利用“割补法”表示出，从而利用二次函数的性质求解最值即可；
（3）将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，构造出含角的直角三角形，然后转换为求得最小值，继而确定当、、三点共线时，满足取得最小值，此时利用含角的直角三角形的性质分段求解再相加即可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为，其中，
∵，
∴点的坐标为，
将代入，解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∵对称轴为直线，
∴将代入，得：，
∴顶点的坐标为；
（2）解：∵，，
∴直线的解析式为：，
∵点在抛物线上，且位于直线下方，
∴设，其中，，
如图所示，作轴，交于点，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
整理可得：，其中，
∵，
∴当时，取得最大值，
将代入，得：，
∴此时点的坐标为；

（3）解：存在最小值，理由如下：
如下图所示，将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，
分别连接，，，则，，

∴在中，，
∴随着点的运动，总有，
∴，
要使得取得最小值，即要使得取得最小值，
如下图，当、、三点共线时，满足取得最小值，

此时，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴存在最小值，最小值为．
【点睛】本题考查求二次函数解析式，二次函数综合面积问题，以及利用“胡不归”模型构造三角形求线段和最值问题，掌握二次函数的基本性质，熟练运用函数思想解决图形面积问题是解题关键．
12．抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
(3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)有，最小值为
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）在中，，，根据，有，即可得，问题得解；
（3）先求出，即，即有，则的最小值是的最小值，即点D到AC的垂线段DN的长，问题随之得解．
【详解】（1）把点，代入抛物线中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2），
理由是：如图1，
令，则，即，
∵，，
∴，，，
在中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）在M，N移动的过程中，有最小值是，理由如下：
由（2）知：，
∴，即，
∴，
∴的最小值是的最小值，即D、M、N三点共线时，点D到AC的垂线段DN的长，如图2，
抛物线解析式为：；
∴对称轴是：，即，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴在M，N移动的过程中，有最小值是．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的性质，解直角三角形以及垂线段最短等知识．题目难度不大，细心作答即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90°得到，点A的对应点是点E．
①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；
②若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①点E在抛物线上；②P（0，−）
【分析】（1）先求出A、B坐标，然后根据待定系数法求解即可；
（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E的坐标，然后把E的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E是否在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，，则，得，可知HP＋PE的最小值为EH的长，从而解决问题．
【详解】（1）解：当x=0时，y=-4，
当y=0时，，
∴x=-3，
∴A（-3，0），B（0，-4），
把A、B代入抛物线，
得，
∴，
∴抛物线解析式为．
（2）解：①∵A（-3，0），C（0，6），
∴AO=3，CO=6，
由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°
∴E到x轴的距离为6-3=3，
∴点E的坐标为（6，3），
当x=3时，，
∴点E在抛物线上；
②过点E作EH⊥AB，交y轴于P，垂足为H，
∵A（−3，0），B（0，−4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝5，
∵，
∴，
∴，
∴HP＋PE的最小值为EH的长，
作EG⊥y轴于G，
∵∠GEP＝∠ABO，
∴tan∠GEP＝tan∠ABO，
∴，
∴，
∴，
∴OP＝−3＝，
∴P（0，−）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将转化为HP的长是解题的关键．
14．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求A、C两点的坐标；
(2)连接AC，点P为直线AC上方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，过点P作PD⊥AC交AC于点D，PE⊥x轴交AC于点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线沿射线CB方向平移3个单位得到新抛物线y'，点M为新抛物线y'对称轴上一点，在新抛物线y'上是否存在一点N，使以点C、A、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A（﹣3，0），C
(2)最大值，，
(3)存在，此时或或，见解析
【分析】（1）令x=0，求出y的值，可求出点C的坐标；令y=0，可求出x的值，由此可求出点A的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，根据相似三角形的性质可表达PD+DE的值，再利用二次函数的性质求出最值；
（3）分三种情况：当四边形ACNM是平行四边形时，当ACMN时平行四边形时，当ANCM时平行四边形时，分别利用点的平移和中点坐标公式进行求解即可．
（1）
在中，
令x＝0，．
∴C），
令y＝0，x1＝﹣3，x2＝1，
∵xA＜xB，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
（2）
∵PE⊥x轴，y⊥x轴，
∴PE∥y轴，
∴∠PED＝∠ACO，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴△PED∽△ACO，
∴DE：PD：PE＝OC：OA：AC，
在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，
∴，
∴，
∴，，
∴，
当PE最大时，PD+DE最大，
设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），，
∴，
∴直线．
设，﹣3＜m＜0，
∴，
∴，
∵，﹣3＜m＜0，
∴时，，
∴，
∴．
（3）
存在，此时或或．
在射线CB上取一点Q，使CQ＝，过点Q作QG⊥y轴于点G，则∠QGC＝90°，如图，
∵B（1，0），C（0，），
∴OB＝1，OC＝，
∵∠BOC＝90°，
∴BC＝，
∵∠QGC＝∠BOC＝90°，∠QCG＝∠BCO，
∴△QGC∽△BOC，
∴QG：BO＝CG：CO＝CQ：CB，即，
∴QG＝3，CG＝，
∴沿射线CB方向平移个单位相当于向右平移3个单位，再向下平移个单位，
∵，
将抛物线向右平移3个单位，再向下平移个单位得到新抛物线y′，
∴，
∴新抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵点M为新抛物线y′对称轴上一点，
∴点M的横坐标为2，
当四边形ACMN为平行四边形时，如图，
根据平行四边形的性质可知：AC∥NM，AC＝NM，
由图可知，将点C先向右平移2个单位，再向下平移若干个单位得到点M，
∴将点A（﹣3，0）先向右平移2个单位，再向下平移若干个单位得到点N，
∴点N的横坐标为：﹣3+2＝﹣1，
当x＝﹣1时，，
∴此时点N的坐标为；
∴将点A（﹣3，0）先向右平移2个单位，再向下平移个单位得到点N（﹣1，﹣）；
∴将点C（0，）先向右平移2个单位，再向下平移个单位得到点M（2，﹣）；
当四边形ACNM为平行四边形时，如图，
根据平行四边形的性质可知：AC∥MN，AC＝NM，
由图可知，将点A（﹣3，0）先向右平移5个单位，再向下平移若干个单位得到点M，
∴将点C（0，）先向右平移5个单位，再向下平移若干个单位得到点N，
∴点N的横坐标为：0+5＝5，
当x＝5时，，
∴此时点N的坐标为（5，﹣）；
∴点C（0，）先向右平移5个单位，再向下平移个单位得到点N（5，﹣）；
将点A（﹣3，0）先向右平移5个单位，再向下平移个单位得到点M（2，﹣）；
当ANCM为对角线时，A（﹣3，0），C（0，）的中点为：，
∵点M在对称轴x＝2上，
∴点M的横坐标为x＝2，
∴点N的横坐标为x＝﹣5，
当x＝﹣5时，，
∴N（﹣5，），
∴点M的纵坐标为，
∴．
综上所述，符合题意的点M的坐标为：. 或 或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法，轴对称最值问题，平行四边形存在性等知识，包括分类讨论思想等，（3）关键是进行正确的分类讨论．
15．如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF＝，连接AE，CF．
(1)求证：△ABE≌△CBF．
(2)如图2，连接DE，当DE＝BE时，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面积）
(3)如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP+PG的值最小时，求MP的值．
【答案】(1)见解析
(2)2或6
(3)
【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CBF；
（2）由“SSS”可证△ADE≌△ABE，可得∠DAE＝∠BAE＝45°，可证AH＝EH，由勾股定理可求BE的长，即可求解；
（3）先确定点P的位置，过点B作BQ⊥CF于Q，由勾股定理可求CE的长，由平行线分线段成比例可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠EBF＝90°＝∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBF，
又∵BE＝BF，AB＝BC，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：如图2，过点E作EH⊥AB于H，
∵△ABE≌△CBF，
∴S△ABE＝S△CBF，
∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，
∴△ADE≌△ABE（SSS），
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∵EH⊥AB，
∴∠EAB＝∠AEH＝45°，
∴AH＝EH，
∵BE2＝BH2+EH2，
∴10＝EH2+（4﹣EH）2，
∴EH＝1或3，
当EH＝1时
∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×1＝2，
当EH＝3时
∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×3＝6，
∴S△BCF的值是2或6；
（3）解：如图3，过点P作PK⊥AE于K，
由（1）同理可得△ABE≌△CBF，
∴∠EAB＝∠BCF，
∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∵∠AGC＝∠ADC＝90°，
∴点A，点G，点C，点D四点共圆，
∴∠ACD＝∠AGD＝45°，
∵PK⊥AG，
∴∠PGK＝∠GPK＝45°，
∴PK＝GK＝PG，
∴MP+PG＝MP+PK，
∴当点M，点P，点K三点共线时，且点E，点G重合时，MP+PG值最小，即MP+PG最小，
如图4，过点B作BQ⊥CF于Q，
∵BE＝BF＝，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，
∴EF＝2，BQ＝EQ＝FQ＝，
∵CQ＝，
∴CE＝CQ﹣EQ＝，
∵MK⊥AE，CE⊥AE，
∴MK∥CE，
∴，
又∵M是CD的中点，
∴DC＝2DM，
∴MP＝CE＝．
【点睛】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质与判定、正方形的性质及圆的基本性质是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；
（2）点M为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，求点M的坐标；
（3）若P为y轴上的一个动点，连接PD，求PB＋PD的最小值．
【答案】（1）y=（x）2，（，）；（2）（，）或（，）或（，）或（，）或（，）；（3）
【详解】思路引领：（1）将A、B、C三点的坐标代入y＝ax2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；
（2）当以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB；②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，分别列出方程，求解即可；
（3）连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．最小值就是线段DH，求出DH即可．
答案详解：（1）由题意，解得 ，
∴抛物线解析式为yx2x，
∵yx2x（x）2，
∴顶点坐标（，）；
（2）设点M的坐标为（，y）．
∵A（﹣1，0），B（0，），
∴AB2＝1+3＝4．
①以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB，
则（1）2+y2＝4，解得y＝±，
即此时点M的坐标为（，）或（，）；
②以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB，
则（）2+（y）2＝4，解得y或y，
即此时点M的坐标为（，）或（，）；
③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，
则（1）2+y2＝（）2+（y）2，解得y，
即此时点M的坐标为（，）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，）；
（3）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．
理由：∵OA＝1，OB，
∴tan∠ABO，
∴∠ABO＝30°，
∴PHPB，
∴PB+PD＝PH+PD＝DH，
∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．
在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD，∠HAD＝60°，
∴sin60°，
∴DH，
∴PB+PD的最小值为．
17．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．
【答案】(1)；；(2)的面积最大值是，此时点坐标为；(3)的最小值是3.
【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点代入可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)作轴交于，如图，利用三角形面积公式，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题；
(3)作关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，则，利用锐角三角函数的定义可得出，此时最小，求出最小值即可．
【详解】解：(1)将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，
∵，∴点的坐标为，
代入抛物线的解析式得，，∴，
∴抛物线的解析式为，即．
令，解得，，∴，
∴，
∵的面积为5，∴，∴，
代入抛物线解析式得，，解得，，∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
(2)过点作轴交于，如图，设，则，
∴，
∴，，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．
(3)作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，
∵，，
∴，，∴，
∵，
∴，∴，
∵、关于轴对称，∴，
∴，此时最小，
∵，，
∴，
∴．
∴的最小值是3．
【点睛】主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的有关计算和利用对称的性质求最值问题．解（1）题的关键是熟练掌握待定系数法和相关点的坐标的求解；解（2）题的关键是灵活应用二次函数的性质求解；解（3）题的关键是作关于轴的对称点，灵活应用对称的性质和锐角三角函数的知识，学会利用数形结合的思想和转化的数学思想把求的最小值转化为求的长度．
18．已知抛物线过点，两点，与y轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)过点A作，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标；
(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为：，顶点；(2)证明见解析；(3)点；(4)存在，的最小值为．
【分析】(1)设交点式，利用待定系数法进行求解即可；
(2)先证明四边形ADBM为菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证；
(3)先求出直线BC的解析式，过点P作y轴的平行线交BC于点N，设点，则点N，根据可得关于x的二次函数，继而根据二次函数的性质进行求解即可；
(4)存在，如图，过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点F，过点A作，垂足为H，交y轴于点Q，此时，则最小值，求出直线HC、AH的解析式即可求得H点坐标，进行求得AH的长即可得答案.
【详解】解：(1)函数的表达式为：，
即：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
则顶点；
(2)，，
∵A(1,0)，B(3,0)，∴OB=3，OA=1，
∴AB=2，
∴，
又∵D(2，-1)，
∴AD=BD=，
∴AM=MB=AD=BD，
∴四边形ADBM为菱形，
又∵，
菱形ADBM为正方形；
(3)设直线BC的解析式为y=mx+n，
将点B、C的坐标代入得：，
解得：，
所以直线BC的表达式为：y=-x+3，
过点P作y轴的平行线交BC于点N，
设点，则点N，
则，
，故有最大值，此时，
故点；
(4)存在，理由：
如图，过点C作与y轴夹角为的直线CF交x轴于点F，过点A作，垂足为H，交y轴于点Q，
此时，
则最小值，
在Rt△COF中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=，
∴OF=，
∴F(-，0)，
利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：…①，
∵∠COF=90°，∠FOC=30°，
∴∠CFO=90°-30°=60°，
∵∠AHF=90°，
∴∠FAH=90°-60°=30°，
∴OQ=AO•tan∠FAQ=，
∴Q(0,)，
利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
故点，而点，
则，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，解直角三角形的应用，正方形的判定，最值问题等，综合性较强，有一定的难度，正确把握相关知识，会添加常用辅助线是解题的关键.
19．如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A，B两点，与ｙ轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求的值；
（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少．
【答案】（1）；（2）或；（3）F．
【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，依次求出的值得到直线的解析式、点D的纵坐标、的值得到抛物线的函数表达式；
（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC两种情况讨论即可；
（3）过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求，理由是，由于点M在线段AF上以每秒1个单位的速度运动，在线段FD上以每秒2个单位的速度运动，从而根据直线BD的倾斜角是30°知道，又根据垂直线段最短的性质知点F即为所求，从而根据含30°直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A，B两点，
∵BM=9，AB=6，∴BF=，BD=，AF=
∴A（-2，0），B（4，0）
∵点B在直线上，∴，即
∴直线的解析式为
∵点D在直线上，且横坐标为-5，∴纵坐标为
∵点D在抛物线上，∴，解得
∴抛物线的函数表达式为
（2）易得，点C的坐标为，则
设点P的坐标为，
分两种情况：
①若△PAB∽△ABC，则∠PAB=∠ABC，
∴由∠PAB=∠ABC 得，即
∴，解得
此时点P的坐标为，，
∴由得，解得
②若△PAB∽△BAC，则∠PAB=∠BAC，
∴由∠PAB=∠BAC 得，即
∴，解得
此时点P的坐标为，，
∴由得，解得
（3）如图，过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求
∵直线BD的解析式为，∴∠FBA=∠FGD=30°
∵AB=6，∴AF=
∴点F的坐标为
【点睛】本题考查单动点问题；二次函数和一次函数交点问题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；相似三角形的判定；垂直线段最短的性质；分类思想和数形结合思想的应用．
三、一次函数综合
20．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x＋和直线l2：y＝﹣x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时PF＋OP的最小值．
【答案】（1）S△ABC=；（2）点F坐标为（1，）；PF＋OP的最小值为．
【分析】（1）根据l1的解析式可得A、B坐标，把点B坐标代入y＝﹣x＋b可求出b值，进而可得出点C坐标，即可求出AC、OB的长，利用三角形面积公式即可得答案；
（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，根据A、B、C坐标可得△ABC是直角三角形，可得点C′在直线l2上，根据两点间距离公式可得出C′坐标，可得C′E为EF＋CF的最小值，利用待定系数法可得出直线C′E的解析式，联立直线C′E与l1解析式即可得出得F的坐标；作二、四象限对角线l3，过点F作FG⊥l3于G，交y轴于P，可得∠GOP=45°，可得PG=，可得FG为PF＋OP的最小值，过点F作FQ⊥x轴，交l3于Q，可得△FGQ为等腰直角三角形，可得FG=FQ，由l3的解析式为y=-x及点F的坐标可得点Q坐标，进而可得FQ的长，即可得FG的长，可得答案．
【详解】（1）∵l1：y＝x＋，
∴当x=0时，y=，当y=0时，x=-3，
∴A（-3，0），B（0，），
∵点B直线l2：y＝﹣x＋b上，
∴b=，
∴直线l2的解析式为y＝﹣x＋，
∴当y=0时，x=1，
∴C（1，0），
∴AC=4，OB=，
∴S△ABC===．
（2）如图，作点C关于直线l1的对称点C′，连接C′E，交l1于F，
∵A（-3，0），B（0，），C（1，0），
∴AB2=（-3）2+（）2=12，BC2=12+（）2=4，AC2=42=16，
∵AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴点C′在直线l2上，
∵点C与点C′关于直线l1的对称，
∴CC′=2BC=4，
设点C′（m，﹣m＋，）
∴（m-1）2+（﹣m＋）2=42，
解得：m1=-1，m2=3，
∵点C′在第二象限，
∴m=-1，
∴﹣m＋=，
∵FC=FC′，
∴EF＋CF=EF+FC′，
∴当C′、F、E三点共线时EF＋CF的值最小，
设直线C′E的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线C′E的解析式为，
联立直线C′E与l1解析式得，
解得：，
∴F（1，）．
如图，作二、四象限对角线l3，过点F作FG⊥l3于G，交y轴于P，过点F作FQ⊥x轴，交l3于Q，
∴直线l3的解析式为y=-x，∠GOP=45°，
∴△GOP是等腰直角三角形，
∴PG=OP，
∴G、P、F三点共线时，PF＋OP的值最小，最小值为FG的长，
∵∠GOP=45°，∠POE=90°，
∴∠EOQ=45°，
∴∠FQO=45°，
∴△FGQ是等腰直角三角形，
∴FG=FQ，
∵F（1，），直线l3的解析式为y=-x，
∴Q（1，-1），
∴FQ=-（-1）=+1，
∴FG=FQ=×（+1）=，
∴PF＋OP的最小值为．
【点睛】本题考查一次函数的综合、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质是解题关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线l1和直线l2相交于y轴上的点B，分别交x轴于A、C且∠OBC＝30度．
（1）求直线l2的解析式；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l1上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点F的坐标，并求出此时的最小值．
【答案】（1）；（2）F（1，），PF+OP的最小值为 ；
【分析】（1）求出B（0，），再由OC=BO•tan30°=1，求出C（1，0），再由待定系数法求直线解析式即可；
（2）先确定∠ABC=90°，则可知C点关于直线l2的对称点C'在l2上，过点C'作C'K⊥y轴交K点，易证△C'KB≌△COB（AAS），则C'的纵坐标为2，即可求C'（1，2），连接C'E交l1于F，因为EF+CF=EF+C'F≥C'E，所以当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E；当P、F、Q三点共线时，PF+OP的值最小，过F作FG⊥x轴交l3，于点G，易证△FQG为等腰直角三角形，然后求出最小值即可．
【详解】解：（1）令x=0，则y=，
∴B（0，），
∴OB=，
∵∠OBC=30°，
∴OC=BO•tan30°=×，
∴C（1，0），
设直线l2的解析式为y=kx+b，
则，
∴，
∴直线l2的解析式为；
（2）令y=0，则，
∴x=3，
∴A（3，0），
∴OA=3，
∴tan∠ABO=，
∴∠ABO=60°，
∴∠ABC=90°，
∴C点关于直线l1的对称点C'在l2上，
如图1，过点C'作C'K⊥y轴交K点，
∵∠KBC'=∠CBO，∠C'KB=∠BOC，BC=BC'，
∴△C'KB≌△COB（AAS），
∴BK=BO=，
∴C'的纵坐标为2，
∴，
∴x=1，
∴C'（1，2），
连接C'E交l1于F，
∵EF+CF=EF+C'F≥C'E，
∴当C'、E、F三点共线时，EF+CF的值最小为C'E，
设直线C'E的解析式为y=kx+b，
∵E（5，0），C'（-1，2），
则，
∴，
∴，
∴，
解得x=1，
∴F（1，），
作第二、四象限的角平分线l3，，过点F作FQ⊥l3，，交y轴于点P，交l3，于点Q，
在Rt△PQO中，∠POQ=45°，
∴，
∴PF+OP=PF+PQ≥FQ，
当P、F、Q三点共线时，PF+OP的值最小，
过F作FG⊥x轴交l3，于点G，
∴△FQG为等腰直角三角形，
∴FQ=FG，
∵l3，的解析式为y=x，
∴G（1，1），
∴FG=1+，
∴FQ=+，
∴PF+OP的最小值为+．
【点睛】本题考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象及性质，通过构造坐标象限的角平分线将转化为求FQ的长是解（2）问的关键，数形结合，利用坐标平移的性质是解题关键．
22．如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．
（1）求的值；
（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；
（3）求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用矩形的性质，用表示点的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）首先求出四边形的面积，再根据条件求出的面积，即可解决问题；
（3）过点作轴交于点，则，即可转化为求的最小值，作点关于一次函数的对称点，过点作轴的垂线交轴于点，交一次函数于点，即的最小值为，算出长度即可．
【详解】（1）在中，令，则，
点的坐标为，
，，
，
把代入中得：，
解得：；
（2）由（1）得一次函数为，，，
，，，
，
的面积与四边形的面积之比为，
的面积与四边形的面积之比为，
，
设点的横坐标为，则，
解得：，
把代入中得：，
；
（3）
如图所示，过点作轴交于点，
，
，
，
作点关于一次函数的对称点，且OO’与直线DF交于Q点，过点作轴的垂线交轴于点，
，
，
当、、在同一直线时最小，
即的最小值为，
，
，，，
在中，，
，
在中．，
的最小值为．