最新中考几何专项复习专题17 几何最值之胡不归巩固练习（提优）

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高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
几何最值之胡不归巩固练习
1．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA＝，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是 s．
【解答】
【解析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，
∵EH∥AB，
∴∠HEB＝∠ABE，
∴tan∠HED＝tan∠EBA＝，
设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，
∴蚂蚁从D爬到E点的时间＝＝4(s)
若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间＝＝4(s)，
∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，
∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，
作AG⊥EH于G，则AD＋DH≥AH≥AG，
∴AD＋DH的最小值为AQ的长，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A(﹣1，0)，B(3，0)，
直线BE交y轴于C点，如图，
在Rt△OBC中，∵tan∠CBO＝，
∴OC＝4，则C(0，4)，
设直线BE的解析式为y＝kx＋b，
把B(3，0)，C(0，4)代入得，解得，
∴直线BE的解析式为，
解方程组得或，则E点坐标为，
∴，
∴蚂蚁从A爬到G点的时间＝(s)，
即蚂蚁从A到E的最短时间为．
2．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
(1)证明：CE是⊙O的切线；
(2)若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
【解答】(1)见解析；(2)；(3)AB＝8
【解析】(1)连接OC，如图，
∵CA＝CE，∠CAE＝30°，
∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，
∴∠OCE＝90°，
∴CE是⊙O的切线；
(2)过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图，
由题可得CH＝h．
在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，
∴h＝OC•sin60°＝ OC，
∴OC＝ h，
∴AB＝2OC＝ h；
(3)作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，
则∠AOF＝∠COF＝ ∠AOC＝ (180°﹣60°)＝60°．
∵OA＝OF＝OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF＝AO＝OC＝FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF＝DO．
过点D作DH⊥OC于H，
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝ DC，
∴CD＋OD＝DH＋FD．
根据两点之间线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH＋FD(即CD＋OD)最小，
此时FH＝OF•sin∠FOH＝ OF＝6，
则OF＝4，AB＝2OF＝8．
∴当CD＋OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．
3.抛物线与轴交于点A、B(A在B的左边)，与轴交于点C，点P是直线AC上方抛物线上的一点，PF⊥轴于点F，PF与线段AC交于点E，将线段OB沿轴左右平移，线段OB的对应线段是，当的值最大时，求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标.
【解答】
【解析】在抛物线中，
令，即，解得，
，
令，解得，，
设直线AC的解析式为，将A、C两个点坐标代入得，
解得，∴直线AC的解析式为，
设，∵PF⊥轴，且点E在直线AC上，点P在直线AB上方的抛物线上，
，
，
，
，，∴∠CAO＝30º，
过点E作EH∥AB交y轴于点H，则EH⊥y轴且∠CEH＝∠CAO＝30º，，
∵PF⊥x轴，FO⊥OH，EH⊥y轴，∴四边形EFOH为矩形，
，
∴当时，取得最大值，此时，
，∴PC∥轴，
∵PF⊥轴，CO⊥轴，，∴四边形PFOC为矩形，
，
作C关于轴的对称点D，连接DB1，则B1C=B1D，
过O1作OQ∥B1D且O1Q=B1D，连接DQ、PQ,PQ交轴于点G.则四边形O1B1DQ为平行四边形.
当最小时，四边形的周长最小，
而，∴当点与G重合时，的值最小为PQ的长，
∵点C、D关于轴对称，且，
，
的最小值为，即四边形的周长的最小值为，
设直线PQ的解析式为，
将P、Q坐标代入得，解得，
，
令，解得，，即.
4．如图，已知抛物线y＝(x＋2)(x﹣4)(k为常数，且k＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－x＋b与抛物线的另一交点为D．
(1)若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
(2)若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
【解答】(1)；(2)或；(3)当点F坐标为(﹣2，)时，点M在整个运动过程中用时最少.
【解析】(1)抛物线y＝(x＋2)(x﹣4)，
令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，
∴A(﹣2，0)，B(4，0)．
∵直线经过点B(4，0)，
∴×4＋b＝0，解得b＝ ，
∴直线BD解析式为：．
当x＝﹣5时，y＝ ，
∴D(﹣5，)．
∵点D(﹣5，)在抛物线y＝(x＋2)(x﹣4)上，
∴(﹣5＋2)(﹣5﹣4)＝ ，
∴．
∴抛物线的函数表达式为：(x＋2)(x﹣4)．
即．
(2)由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，
∴C(0，﹣k)，OC＝k．
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．
设P(x，y)，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．
tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，
∴．
∴P(x，x＋k)，代入抛物线解析式y＝ (x＋2)(x﹣4)，
得(x＋2)(x﹣4)＝x＋k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，
解得：x＝8或x＝﹣2(与点A重合，舍去)，
∴P(8，5k)．
∵△ABC∽△APB，
∴，即，
解得：．
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．
设P(x，y)，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．
tan∠ABC＝tan∠PAB，即：，
∴．
∴P(x，x＋)，代入抛物线解析式y＝(x＋2)(x﹣4)，
得(x＋2)(x﹣4)＝x＋，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，
解得：x＝6或x＝﹣2(与点A重合，舍去)，
∴P(6，2k)．
∵△ABC∽△PAB，
，
∴，
解得，
∵k＞0，
∴，
综上所述，或．
(3)方法一：
如答图3，由(1)知：D(﹣5，)，
如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN＝，ON＝5，BN＝4＋5＝9，
∴tan∠DBA＝，
∴∠DBA＝30°．
过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°．
过点F作FG⊥DK于点G，则FG＝DF．
由题意，动点M运动的路径为折线AF＋DF，运动时间：t＝AF＋DF，
∴t＝AF＋FG，即运动的时间值等于折线AF＋FG的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF＋FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点A作AH⊥DK于点H，则t最小＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．
∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：，
∴，
∴F(﹣2，)．
综上所述，当点F坐标为(﹣2，)时，点M在整个运动过程中用时最少．
方法二：
作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，
∵∠DBA＝30°，
∴∠BDH＝30°，
∴FH＝DF×sin30°＝，
∴当且仅当AH⊥DK时，AF＋FH最小，
点M在整个运动中用时为：，
∵lBD：，
∴FX＝AX＝﹣2，
∴F(﹣2，)．
5．(1)如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD＋PC的最小值和PD﹣PC的最大值；
(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋PC的最小值为 ，PD﹣PC的最大值为 ．
(3)如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋PC的最小值为 ，PD﹣PC的最大值为 ．
【解答】(1)5，5；(2)，；(3)，
【解析】(1)如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．
∵，
∴，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴，
∴PG＝PC，
∴PD＋PC ＝DP＋PG，
∵DP＋PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD＋PC的值最小，最小值为．
∵PD﹣PC ＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大(如图2中)，最大值为DG＝5．
(2)如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．
∵，
∴，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴，
∴，
∴PD＋ ＝DP＋PG，
∵DP＋PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD＋的值最小，最小值为．
∵PD﹣＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣的值最大，最大值为．
(3)如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝4，作DF⊥BC于F．
∵，
∴，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴，
∴PG＝，
∴PD＋＝DP＋PG，
∵DP＋PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD＋的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，
∴DF＝CD•sin60°＝，CF＝2，
在Rt△GDF中，DG＝，
∵PD﹣＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣的值最大(如图2中)，最大值为DG＝．
6．如图1，抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)(0＜m＜4)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
(1)求a的值和直线AB的函数表达式；
(2)设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；
(3)如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求E′A＋ E′B的最小值．
【解答】(1)a＝﹣，；(2)m＝2；(3)
【解析】(1)令y＝0，则ax2＋(a＋3)x＋3＝0，
∴(x＋1)(ax＋3)＝0，
∴x＝﹣1或﹣，
∵抛物线y＝ax2＋(a＋3)x＋3(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，
∴﹣＝4，
∴a＝﹣．
∵A(4，0)，B(0，3)，
设直线AB解析式为y＝kx＋b，则，解得，
∴直线AB解析式为．
(2)如图1中，
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∴，
∵NE∥OB，
∴，
∴AN＝ (4﹣m)，
∵抛物线解析式为，
∴，
∴，解得m＝2．
(3)如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′＝ ，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．
∵OE′＝2，OM′•OB＝ ×3＝4，
∴OE′2＝OM′•OB，
∴，∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴，
∴M′E′＝BE′，
∴AE′＋BE′＝AE′＋E′M′＝AM′，此时AE′＋BE′最小(两点间线段最短，A、M′、E′共线时)，
最小值＝AM′＝ ．