2025年中考数学二轮培优几何专项练习：相似模型--一线三等角及“K”模型（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
2．矩形中，，，点P是上的动点，当时，的长是（ ）．

A．1B．3C．1或3D．1或4
3．如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持．当时，则的长为（ ）
A．2B．C．3D．
4．如图，在矩形中，，将点折叠到边上点处，折痕为，连接，，若点是中点，则长为（ ）

A．B．C．D．
5．如图，在等边中，点分别在边上，，若，则的长度为（ ）

A．1B．C．2D．
二、填空题
6．如图，在边长为的菱形中，，将菱形沿翻折，使点A的对应点G落在对角线上．若，则的长为 cm，的长为 cm．

7．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为 ．
8．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ．
9．如图，点D是等边边上一点，将等边折叠，使点A与点D重合，折痕为（点E在边上）．（1）当时， ；（2）当时， ．
10．如图，已知是等边三角形，，点D，E，F分别在上，，同时平分和，则 ，BD的长是 ．

11．如图，将菱形绕点逆时针旋转到菱形的位置，使点落在上，与交于点，若，，则的长为 ．

12．在等边中，为上一点，为上一点，且，，，则的边长为 ．

13．如图，等边中，、分别在边，上，，，沿直线折叠，使点落在边上的处，则 ．

14．如图，在中，，点E是边上一点，连接，过点E作，交于点F，且，则 度，的长为 ．

15．如图，在等边中，将沿翻折，点恰好落在边的点处，且，则 ．

16．如图，矩形中，，，E为的中点，F为上一点，，且．对角线与交于点G，则的长为 ．

17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cs∠α＝，下列结论：①△ADE∽△ACD；②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；③△DCE为直角三角形时，BD为8或；④0＜CE≤6.4．其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
18．如图，等边的边长为，点是边上一动点，将等边沿过点的直线折叠，该直线与直线交于点，使点落在直线上的点处，且折痕为则的长为 ．
19．如图，在矩形中，，，分别以、所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，是边上的一个动点（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，将沿对折后，点恰好落在上的点处，则的值为 ．
20．将边长为15的等边三角形纸片进行折叠，使点A落在对边上的点D处，折痕交于点E，交于点F，且满足，则的长为 ．

三、解答题
21．课题学习：
【证明体验】
（1）如图1，在四边形中，点P为上一点，，求证：．
【思考探究】
（2）如图2，在四边形中，点P为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．
【拓展延伸】
（3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题：
如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长．
22．如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
(3)当点是线段的中点时，求证：．
23．如图，在中，，，点为边上一动点（不与点、重合），过点作射线交于点，使；
(1)求证：；
(2)设，，求与的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)当为等腰三角形时，求的长．(直接写出答案，不写解题过程)．
24．如图，在中，点D、E分别在边、上，连接、，且．
(1)证明：；
(2)若，，当点D在上运动时（点D不与B、C重合），且是等腰三角形，求此时的长．
25．如图，在中，，，点为边上一动点（不与点、重合），过点作射线交于点，使．

(1)求证：；
(2)当为直角三角形时，求线段长度．
26．如图，在中，，，点、分别在线段、上运动，并保持

(1)当是等腰三角形时，求的长；
(2)当时，求的长．
27．已知等边三角形的边长为4．
(1)如图，在边上有一个动点，在边上有一个动点，满足，求证：；

(2)如图，若点在射线上运动，点在直线上，满足，当时，求的长；

(3)在（2）的条件下，将点绕点逆时针旋转到点，求的面积．
28．已知：如图，在中，，，，是斜边上的一个动点，，交射线于点与、不重合），是边上一点，且．设、两点的距离为，的面积为．

(1)若时，求的值．
(2)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．
(3)当与相似时，求的长度．
29．如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．
（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；
（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；
（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．
30．如图，点D是等边边上一点，将等边折叠，使点A与点D重合，折㢃为（点E在边上）．

(1)当点D为的中点时，的值为______．
(2)当点D为的三等分点时，的值为______．
31．如图所示，直线与轴相交于点，与y轴相交于点B，将沿着y轴折叠，使点A落在x轴上，点A的对应点为点C．

(1)求点C的坐标；
(2)设点P为线段上的一个动点，点P与点A、C不重合，连接，以点P为端点作射线交于点M，使，
①求证：；
②是否存在点P使为直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
32．在矩形中，点在上，，，．
(1)如图1，连接，过点作，交于点，连接，证明：是等腰三角形；
(2)如图2，点在矩形的边上（点不与点、重合），连接，过点作，交于点，连接．求证：；
(3)如图3，若交于点，，其他条件不变，且的面积是6，求的长．
33．阅读下列材料：
如图1，点A、D、E在直线l上，且，
则：，
又，
故．
像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．

请根据以上阅读解决下列问题：
(1)如图2，中，，，直线ED经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
(2)如图3，在中，点D在上，，，， ，求点C到边的距离．
(3)如图4，在平行四边形中，E为边上一点，F为边上一点．若，，，，求的长．
34．如图，在中，，，点是的中点，将含有的三角板的锐角顶点与点重合，并绕着点旋转，交边于、两点，交的延长线于点．

(1)如图1，求证：
(2)如图2，连接，，，求的面积．
35．如图1，点P是线段上与点A，点B不重合的任意一点，在的同侧分别以A，P，B为顶点作，其中∠1与∠3的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段为等联线．

(1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
(2)如图3，在中，，延长至点B，使，作的等联角和．将沿折叠，使点A落在点M处，得到，再延长交的延长线于E，连接并延长交的延长线于F，连接．
①确定的形状，并说明理由；
②若，求等联线和线段的长（用含k的式子表示）．
36．如图，已知等腰，，，点P是边上的动点（点P不与点B、C重合），作．射线交边于点M．
(1)求证：；
(2)若为等腰三角形，求的长；
(3)如图，延长到点N，使得，当时，求的长．
37．【感知】
如图①，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），．
易证：（不要求证明）．
【探究】
如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．
(1)求证：．
(2)若，则的长为_____________．
【应用】
如图③，在中，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作与边交于点E．
(3)当时，求的长．
(4)当是等腰三角形时，直接写出的长．
38．如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合．将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，射线与线段相交于点，与射线相交于点．
(1)求证：∽．
(2)当，，求的长．
(3)在（2）的条件下，求的长．