2025年九年级中考数学二轮专题复习课件 大单元整合专题一 “见招出招”攻破常考几何模型

这是一份2025年九年级中考数学二轮专题复习课件 大单元整合专题一 “见招出招”攻破常考几何模型，共60页。PPT课件主要包含了问题1，与中位线有关，见一个或两个中点，考虑中位线，问题2，问题3，问题4，类中线，ADAB+DC，见角平分线等内容，欢迎下载使用。
(1)见两个中点.如图,点D,E分别是边AB,AC的中点.
(2)见一个中点. 如图,点D是边AB的中点.
如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,已知∠ADE=45°,则∠CFE的度数为(　　)A.40°　　　　　　　B.45°　　　　　　　　C.50°　　　　　　　D.55°
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点N是BC边上一点,点M为AB边上的动点,点D,E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是　　　　. 
与直角三角形斜边上中点有关
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是边AB的中点.
(见直角三角形斜边上的中点)
(构造直角三角形斜边上的中线)
如图,一根木棍AB斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍的中点为P,若木棍A端沿墙下滑,且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中,点P到点O的距离(　　)A.变小　　　　　　B.不变　　　　　　C.变大　　　　　　D.无法判断
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且CF=AE,则四边形AEDF的面积为　　　　.
与等腰三角形底边上中点有关
如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点.
结论:AD⊥BC,AD平分∠BAC,BD=CD.(“三线合一”)
(见等腰三角形底边上的中点)
构造等腰三角形底边上的中线(考虑“三线合一”)
如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,过点M作MN⊥AC于点N,则MN的长为　　　　　.
如图,△ABC是以BC为底的等腰三角形,AD是边BC上的高,点E,F分别是AB,AC的中点.(1)求证:四边形AEDF是菱形.(2)如果四边形AEDF的周长为12,两条对角线的和等于7,求四边形AEDF的面积.
(1)求证:四边形AEDF是菱形.
(2)如果四边形AEDF的周长为12,两条对角线的和等于7,求四边形AEDF的面积.
(2)如图,连接EF交AD于点O,∵菱形AEDF的周长为12,∴AE=3.设EF=x,AD=y,则x+y=7,∴x2+2xy+y2=49.①在Rt△AOE中,AO2+EO2=AE2,
与倍长中线、类中线有关
(1)倍长中线:如图,AD是△ABC的中线
结论:△ABD≌△ECD
(倍长中线、倍长类中线)
(2)倍长类中线:如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AB上一点.
结论:△EBD≌△FCD
如图,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=4,点D为AB的中点,DC⊥BC,则△ABC的面积是　　　　. 
[2017贵阳24题节选(总12分)](1)阅读理解:如图(1),在四边形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系.解决此问题可以用如下方法:延长AE交DC的延长线于点F,易证△AEB≌△FEC,得到AB=FC,从而把AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断.AB,AD,DC之间的等量关系为　　　　　　. 
(2)问题探究:如图(2),在四边形ABCD中,AB∥DC,AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.
∴△AEB≌△GEC,∴AB=GC.∵AE是∠BAF的平分线,∴∠BAG=∠FAG.∵∠BAG=∠G,∴∠FAG=∠G,∴FA=FG,∴AB=CG=GF+CF=AF+CF.
见角平分线,用性质定理
已知:如图,AP是∠MAN的平分线,OC⊥AN于点C.作法:过点O作OB⊥AM于点B.
结论:①△ABO≌△ACO;②OB=OC;③AB=AC.
角平分线+垂直,考虑三线合一
已知:如图,AP是∠MAN的平分线,BO⊥AP于点O.作法:延长BO交AN于点C.
结论:①AB=AC;②OB=OC;③∠ABC=∠ACB; ④△AOB≌△AOC.
如图,AD是△ABC的角平分线,过点B作AD的垂线[1],垂足为F,过点F作FG∥AB,交AC于点G,若AB=4,求线段FG的长.
【大招点拨】①见招:提取[1]中的信息得“角平分线+垂直”.②出招:辅助线的作法为延长BF交AC于点E.
角平分线+平行线,考虑等腰三角形
已知:如图,BD平分∠ABC,AD∥BC.
结论:AB=AD.注:角平分线+平行四边形,考虑菱形.
(见角平分线+平行线)
考虑截长补短构造对称图形
结论:△BOE≌△BOA, △BOD≌△BOC.
(见角平分线+求线段间数量关系)
(考虑截长补短构造对称图形)
如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,且∠B=2∠C,求证:AB+BD=AC.
∴∠B=∠AED,BD=DE.又∠B=2∠C,∴∠AED=2∠C.而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C,∴∠C=∠EDC,∴DE=CE,∴AB+BD=AE+CE=AC.
补短法:延长AB到点F,使BF=BD,连接DF.∵BF=BD,∴∠F=∠BDF,∴∠ABC=∠F+∠BDF=2∠F.又∠ABC=2∠C,∴∠C=∠F.
类型3　 “一线三等角”模型
(一条直线上有三个相等的锐角、直角或钝角)
(构造“一线三等角”模型)
1.同侧型“一线三等角”(∠A=∠CED=∠B)锐角“一线三等角” 直角“一线三等角”(“K”型图) 钝角“一线三等角”
结论: ①△ACE∽△BED;②若任一对应边相等,则△ACE≌△BED.
2.异侧型“一线三等角”(∠FAC=∠ABD=∠CED)锐角“一线三等角” 直角“一线三等角” 钝角“一线三等角”
如图,一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合,直角顶点E落在边BC上,另一顶点F恰好落在边CD的中点处,若BC=12,则AB的长为　　　　.
已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上的两点,连接AF,BE,∠BEC=∠CFA=α.(1)如图(1),若直线CD经过∠BCA的内部,且点E,F在射线CD上,∠BCA+α=180°.求证:EF=BE-AF.(2)如图(2),若直线CD不经过∠BCA的内部,∠BCA=α,猜想线段EF,BE,AF之间的数量关系,并加以证明.
图(1)　　 图(2)
已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上的两点,连接AF,BE,∠BEC=∠CFA=α.(1)如图(1),若直线CD经过∠BCA的内部,且点E,F在射线CD上,∠BCA+α=180°.求证:EF=BE-AF.
(1)证明:在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°-α.∵∠BCA+α=180°,∴∠BCA=180°-α,∴∠CBE+∠BCE=∠BCA.∵∠BCE+∠ACF=∠BCA,
∴∠CBE=∠ACF.又∠BEC=∠CFA,CB=AC,∴△BCE≌△CAF,∴BE=CF,CE=AF.∵EF=CF-CE,∴EF=BE-AF.
已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上的两点,连接AF,BE,∠BEC=∠CFA=α.(2)如图(2),若直线CD不经过∠BCA的内部,∠BCA=α,猜想线段EF,BE,AF之间的数量关系,并加以证明.
(2)猜想:EF=BE+AF.证明:∵∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°,∴∠BCE+∠ACF=180°-α.在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°-α,∴∠CBE=∠ACF.
又∠BEC=∠CFA,CB=AC,∴△BCE≌△CAF,∴BE=CF,CE=AF.∵EF=CF+CE,∴EF=BE+AF.
如图,沿直线DE折叠等边三角形纸片ABC,使点A落在BC边上任意一点F处(不与点B,C重合),已知△ABC的边长为9,D为AB上一点,BD=5,BF=2,则CE=　　　　.
【感知】如图(1),在正方形ABCD中,E为AB边上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F.易证:△AED∽△BFE.(不需要证明)【探究】如图(2),在矩形ABCD中,E为AB边上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F.(1)求证:△AED∽△BFE.(2)若AB=10,AD=6,E为AB的中点,求BF的长.
图(1)　　　 图(2)
如图(2),在矩形ABCD中,E为AB边上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F.(1)求证:△AED∽△BFE.
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=90°,∴∠ADE+∠AED=90°.∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,
∴∠BEF+∠AED=90°,∴∠ADE=∠BEF.∵∠A=∠B,∴△AED∽△BFE.
如图(2),在矩形ABCD中,E为AB边上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE交BC于点F.(2)若AB=10,AD=6,E为AB的中点,求BF的长.
【应用】如图(3),在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AB=4.E为AB边上一点(点E不与点A,B重合),连接CE,过点E作∠CEF=45°交BC于点F.当△CEF为等腰三角形时,BE的长为 　　　　..
类型4　“手拉手”模型
(见双等腰、共顶点、顶角相等、有旋转)
(连接“拉手线”,利用全等)
如图,△ABC和△ADE是等腰三角形,∠BAC=∠DAE,将△ADE绕点A旋转一定角度后,连接BD,CE.
结论: △ADB≌△AEC.
如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形[1],∠ACB=∠ECD=90°,连接AE,D为AB边上一点,若AD=5,BD=12,则DE的长为(　　)A.11　　　　　　　　　B.13　　　　　　　　　C.12　　　　　　　　　D.25
【大招点拨】①见招:由[1]判断出“手拉手”模型.②出招:可推出△ACE≌△BCD,再利用全等三角形的性质和勾股定理求DE的长.
如图(1),在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D,E分别为AB,AC上的点,且AD=AE.将△ADE绕点A旋转,连接BD,CE,如图(2).(1)图(1)中,BD与CE的数量关系为　　　　. 
如图(1),在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D,E分别为AB,AC上的点,且AD=AE.将△ADE绕点A旋转,连接BD,CE,如图(2).(2)在图(2)的情形下,求证:BD=CE.
证明:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,∴∠BAD=∠CAE.又AB=AC,AD=AE,∴△ABD≌△ACE,∴BD=CE.
如图(1),在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D,E分别为AB,AC上的点,且AD=AE.将△ADE绕点A旋转,连接BD,CE,如图(2).(3)图(2)中,延长BD交CE于点F,求∠BFC的度数.(用含α的式子表示)
图(2)
(3)设BD,AC交于点O.∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE.又∠BOA=∠COF,∴∠BFC=∠BAC=α.
如图(1),在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D,E分别为AB,AC上的点,且AD=AE.将△ADE绕点A旋转,连接BD,CE,如图(2).(4)当α=60°时,如图(3).①BD与CE的数量关系为　　　　　　　　. ②延长CE,BD交于点F,则∠BFC的度数为　　　　　　　　. 
如图(1),在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D,E分别为AB,AC上的点,且AD=AE.将△ADE绕点A旋转,连接BD,CE,如图(2).(5)当α=90°时,如图(4).①BD与CE的数量关系为　　　　　　　　. ②设CE,BD交于点F,求∠BFC的度数.
②设AB,CE交于点P,由题易得△EAC≌△DAB,则∠ACE=∠ABD.∵∠APC=∠FPB,∴∠BFC=∠BAC=90°.
已知△AOB和△COD是直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,点C,D分别在边OA,OB上,且CD∥AB,将△COD绕点O旋转一定角度后,直线AC,DB交于点E.
结论: ①当旋转过程中点A,O,C不共线时,有△AOC∽△BOD;②AC⊥BD;③点E在△OAB的外接圆上.
(见非等腰、共顶点、顶角相等、有旋转)
(连接“拉手线”,利用相似)
如图,△ABC∽△ADE[1],∠BAC=∠DAE=90°[2],连接CE,AB=3,AC=4,点D在线段BC上运动,P为线段DE的中点[3],在点D的运动过程中,CP的最小值是　　　　.
(3)设AB,EF交于点O.∵△DAB∽△EAC,∴∠ABD=∠ACE.又∵∠BFC+∠ABD+∠BOF=180°,∠BAC+∠ACE+∠AOC=180°,∠BOF=∠AOC,∴∠BFC=∠BAC=α.
②设AB,CE交于点P,由题意易得△DAB∽△EAC,∴∠DBA=∠ECA.∵∠FPB=∠APC,∴∠BFC=∠BAC=45°.
(见120°角夹60°角)
(利用旋转构造辅助线)
已知: 如图,①在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,AB=AD;②∠EAF=60°(内嵌的半角等于两旁两个小角之和,即∠EAF=∠BAE+∠DAF=60°).　
结论：①△ABE≌△ADG;②△AEF≌△AGF;③BE+DF=EF.
构图: 如图,旋转△ABE至△ADG的位置,使AB与AD重合.
如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=120°,AB=AD.∠MAN=60°,射线AM交线段BC于点E,射线AN交线段CD于点F,连接EF.(1)判断BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.(2)若∠AEB=60°,则∠AFE=　　　　°.
如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=120°,AB=AD.∠MAN=60°,射线AM交线段BC于点E,射线AN交线段CD于点F,连接EF.(1)判断BE,DF,EF之间的数量关系,并加以证明.
(1)EF=BE+DF.证明:将△ABE绕点A逆时针旋转120°,得到△ADK,如图,则AK=AE,DK=BE,∠BAE=∠DAK,∴∠KAF=∠DAK+∠DAF=∠BAE+∠DAF=120°-60°=60°=∠EAF.又AF=AF,∴△AKF≌△AEF,∴EF=KF=DK+DF=BE+DF.
如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=120°,AB=AD.∠MAN=60°,射线AM交线段BC于点E,射线AN交线段CD于点F,连接EF.(2)若∠AEB=60°,则∠AFE=　　　　°.
已知: 如图,①四边形ABCD是正方形;②∠EAF=45°(内嵌的半角等于两旁两个小角之和,即∠EAF=∠BAE+∠DAF=45°).
结论:①△ABE≌△ADG;②△AEF≌△AGF;③BE+DF=EF.
(见90°角夹45°角)
(利用旋转或对称构造辅助线)
构图：旋转△ABE至△ADG的位置，使AB与AD重合
已知: 如图,①在Rt△PAB中,∠APB=90°,PA=PB;②∠CPD=45°(内嵌的半角等于两旁两个小角之和,即∠CPD=∠APC+∠BPD=45°).
结论:AC2+BD2=CD2.
构图1: 旋转△PAC至△PBE的位置,使PA与PB重合,连接DE.
构图2: 先作△PAC关于直线PC的对称图形,再作△PBD关 于直线PD的对称图形,点A,B的对应点重合,为点A'.
如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°.若BM=1,CN=3,则MN=　　　　. 
如图(1),点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠MAN=45°,连接MN. (1)求证:MN=BM+DN.请将下面的解题思路补充完整. 如图(2),把△ADN绕点A顺时针旋转　　　　°至△ABE,使AD与AB重合.由∠ABE+∠ABC=180°,可知E,B,C三点共线,从而可证△AEM≌　　　　,进而可得MN=BM+DN. 
(2)如图(3),当点M,N分别在正方形ABCD的边CB,DC的延长线上时,∠MAN=45°,连接MN.线段BM,DN和MN之间有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并证明.
(2)MN=DN-BM,证明如下:如图,在DC上取一点G,使DG=BM.
∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠ADG=∠ABM=90°.∵DG=BM,∴△ABM≌△ADG(SAS),∴AM=AG,∠MAB=∠GAD.∵∠MAN=∠BAM+∠BAN=45°,∴∠GAD+∠BAN=45°,∴∠GAN=45°,即∠MAN=∠GAN.∵AN=AN,∴△MAN≌△GAN(SAS),∴MN=NG=DN-DG=DN-BM,即MN=DN-BM.
类型6　“对角互补”模型
(见有一组对角互为补角)
(构造辅助线:作垂线或旋转)
特殊地,如图,∠AOB=90°,点C在∠AOB的平分线上,∠AOB+∠DCE=180°.
注:也可以是将△CFE绕点C旋转得到△CGD
如图,已知∠AOB=60°,点P是∠AOB的平分线上的一个定点,点M,N分别在射线OA,OB上,且∠MPN与∠AOB互补[1].设OP=a,则四边形PMON的面积为　　　　.
【大招点拨】①见招:由[1]得存在一组对角互为补角.②出招:过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,可得△PFN≌△PEM,∴S四边形PMON=S四边形PEOF=2S△POE,进而可求得面积.
如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°[1],CA平分∠BCD[2],若BC =2,CD=4,则AC的长为　　　　. 
【大招点拨】①见招:由[1]得存在一组对角互为补角.②出招:结合[2],过点A分别向射线CB和射线CD作垂线,再利用全等三角形的判定与性质和勾股定理可求出AC的长.