深圳2024年八年级上册数学（北师大版） 重难点突破 勾股定理逆定理的应用

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专题02 勾股定理逆定理的应用题型一 勾股数的应用1．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：　 　；（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为　 　和　 　．2．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时明《周牌算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“正整数直角三角形”，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25等都是勾股数．（1）小欢在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们这样的勾股数叫做完美勾股数．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22．判断8，15，17和9，40，41这两组勾股数是不是完美勾股数，并说明理由；（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长为，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值．3．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　）A．47 B．62 C．79 D．984．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…请写出下一数组：　 　．5．观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26……请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：　 　．6．观察下列等式：32+42＝52；52+122＝132；72+242＝252；92+402＝412；112+602＝612…按照这样的规律，第六个等式是　 　．7．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长4，且a和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1•c2．8．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c根据你发现的规律，请写出（1）当a＝19时，求b、c的值；（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．9．请认真阅读题意，并根据你的发现填空（1）将任何一组已知的勾股数中的每一个数都扩大为原来的正整数倍后，就得到一组新的勾股数，例如：3、4、5，我们把每一个数扩大为原来的2倍、3倍，则分别得到6、8、10和9、12、15，若把每一个数都扩大为原来的12倍，就得到　 　，若把每一数都扩大为原来的n（n为正整数）倍，则得到　 　（2）对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数若勾股数为3、4、5．则有32＝4+5若勾股数为5、12、13，则有52＝12+13若勾股数为7、24、25，则有72＝24+25若勾股数为m（m为奇数）、n、　 　则有m2＝2n+1，用m表示n＝　 　当m＝17时，n＝　 　，此时勾股数为　 　．题型二 判断三角形形状10．适合下列条件的△ABC中，是直角三角形的有（　　）① ②a＝b，∠A＝45° ③④a＝2.5，b＝6，c＝6.5 ⑤∠A＝32°，∠B﹣∠A＝26°．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个11．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（　　）A．三个内角度数之比是3：4：5 B．三边的平方之比是5：12：13 C．三边长度之比是1：： D．三个内角度数之比是2：3：412．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（　　）A．1 B．2 C．3 D．413．如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的位置如图所示，你能判断△ABC是什么三角形吗？请说明理由．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h，有下列四种说法：①a•b＝c•h；②a+b＜c+h；③以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形；④+＝．其中正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C的个数为（　　）A．3 B．4 C．5 D．616．下列说法错误的是（　　）A．△ABC中，若有∠A+∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形 B．△ABC中，若有∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形 C．△ABC的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则△ABC是直角三角形 D．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度是417．下列说法中正确的个数为（　　）（1）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC为直角三角形；（2）三角形三个内角之比为1：2：3，则此三角形为直角三角形；（3）若三角形的三条边长分别为3k、4k、5k（k＞0），则此三角形为直角三角形；（4）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形为直角三角形．A．1 B．2 C．3 D．418．若a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，试判断△ABC的形状并说明理由．19．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．（1）求CD的长；（2）求AB的长；（3）判断△ABC的形状．