2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习五（含答案）

这是一份2025年中考数学二轮复习《压轴题》专项练习五（含答案），共19页。
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
(4)已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝mx2＋3mx﹣2m＋1的图象经过点C，交x轴于点A(x1，0)，B(x2，0)(点A在点B左侧)，且x2﹣x1＝5，连接BC，D是AC上方的抛物线一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接BC，CD，S△DCE：S△BCE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)第二象限内抛物线上是否存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标，若不存在，请说明理由．
如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，﹣3)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
如图1，抛物线y＝ax2＋bx经过点A(﹣5，0)，点B(﹣1，﹣2)．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点Q(﹣4，0)作y轴的平行线，交直线AP于点M，交直线OP于点N，当点P运动时，4QM＋QN的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；
(3)如图3，长度为eq \r(5)的线段CD(点C在点D的左边)在射线AB上移动(点C在线段AB上)，连接OD，过点C作CE∥OD交抛物线于点E，线段CD在移动的过程中，直线CE经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．
已知抛物线y=x2﹣4x﹣m(m＞0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点．
(1)若m=5时，求△ABD的面积．
(2)若在(1)的条件下，点E在线段BC下方的抛物线上运动，求△BCE面积的最大值．
(3)写出C点( ， )、C′点( ， )坐标(用含m的代数式表示)
如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出Q点和P点的坐标(可用含m的代数式表示)
如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB＝2OC＝4OA，连接AC，BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是抛物线y＝ax2＋bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点，DE⊥x轴于点E，交BC于点F．设点D的横坐标为m．
①请用含m的代数式表示线段DF的长；
②已知DG∥AC，交BC于点G，请直接写出当DG＝eq \f(3,5)AC时点D的坐标．
如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B(1，4)和点E(3，0)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；
(3)在条件(2)下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；
(4)在条件(2)下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝﹣eq \r(2)x2﹣6eq \r(2)x＋7eq \r(2)交x轴于A，B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，直线y＝eq \r(2)x＋7eq \r(2)经过点A、C，点M是线段AC上的一动点(不与点A，C重合)．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)当点P，C关于抛物线的对称轴对称时，求PM＋eq \f(\r(6),3)AM的最小值及此时点M的坐标；
(3)连接BC，当△AOM与△ABC相似时，求出点M的坐标．
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣ax2＋6ax＋6与y轴交于点B，交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点C，且S△ABC＝30．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P为第一象限抛物线上一点，其横坐标为t，PD⊥x轴于点D，设tan∠PAD等于m，求m与t之间的函数关系式；
(3)如图3，在(2)的条件下，当m＝eq \f(4,3)时，过点B作BN⊥AB交∠PAC的平分线于点N，点K在线段AB上，点M在线段AN上，连接KM、KN，∠MKN＝2∠BNK，作MT⊥KN于点T，延长MT交BN于点H，若NH＝4BH，求直线KN的解析式．
如图，经过原点的抛物线y=﹣x2＋2mx(m＞0)与x轴的另一个交点为A，过点P(1，m)作直线PA⊥x轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(点B、C不重合)，连接CB、CP.
(1)当m=3时，求点A的坐标及BC的长；
(2)当m＞1时，连接CA，若CA⊥CP，求m的值；
(3)过点P作PE⊥PC，且PE=PC，当点E落在坐标轴上时，求m的值，并确定相对应的点E的坐标.
\s 0 答案
解：(1)抛物线的解析式为y=﹣eq \f(1,2)(x＋4)(x﹣1)，即y=﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2；
(2)存在．当x=0，y=﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2=2，则C(0，2)，∴OC=2，
∵A(﹣4，0)，B(1，0)，
∴OA=4，OB=1，AB=5，
当∠PCB=90°时，∵AC2=42＋22=20，BC2=22＋12=5，AB2=52=25
∴AC2＋BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为(﹣4，0)；
当∠PBC=90°时，PB∥AC，如图1，设直线AC的解析式为y=mx＋n，
把A(﹣4，0)，C(0，2)代入得
，解得，
∴直线AC的解析式为y=eq \f(1,2)x＋2，
∵BP∥AC，∴直线BP的解析式为y=eq \f(1,2)x＋p，
把B(1，0)代入得eq \f(1,2)＋p=0，解得p=﹣eq \f(1,2)，
∴直线BP的解析式为y=eq \f(1,2)x﹣eq \f(1,2)，
解方程组得或，
此时P点坐标为(﹣5，﹣3)；
综上所述，满足条件的P点坐标为(﹣4，0)，P2(﹣5，﹣3)；
(3)存在点E，设点E坐标为(m，0)，F(n，﹣eq \f(1,2)n2﹣eq \f(3,2)n＋2)
①当AC为边，CF1∥AE1，易知CF1=3，此时E1坐标(﹣7，0)，
②当AC为边时，AC∥EF，易知点F纵坐标为﹣2，
∴﹣eq \f(1,2)n2﹣eq \f(3,2)n＋2=﹣2，解得n=，
得到F2(，﹣2)，F3(，﹣2)，
根据中点坐标公式得到： =或=，
解得m=或，此时E2(，0)，E3(，0)，
③当AC为对角线时，AE4=CF1=3，此时E4(﹣1，0)，
综上所述满足条件的点E为(﹣7，0)或(﹣1，0)或(，﹣2)或(，﹣2)．
解：(1)∵抛物线y＝mx2＋3mx﹣2m＋1的图象交x轴于点A(x1，0)，B(x2，0)，
∴x1，x2是方程mx2＋3mx﹣2m＋1＝0的两根，
∴x1＋x2＝﹣3，x1x2＝．
∵x2﹣x1＝5，
∴＝25．即：﹣4x1x2＝25，
∴9﹣4×＝25．解得：m＝﹣eq \f(1,2)．
∴抛物线的解析式为y＝﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2．
(2)S△DCE：S△BCE存在最大值eq \f(4,5)，此时点D的坐标为(﹣2，3)，理由：
令y＝0，则﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2＝0，解得：x＝﹣4或1，
∴A(﹣4，0)，B(1，0)，令x＝0，则y＝2，∴C(0，2)．
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
∴，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝eq \f(1,2)x＋2．
过点D作DH⊥x轴于点H，交AC于点M，过点B作BN⊥x轴于点B，交直线AC于点N，如图，
则DM∥BN，∴△EDM∽△EBN，
∴．
设D(a，﹣eq \f(1,2)a2﹣eq \f(3,2)a＋2)，则M(a，﹣eq \f(1,2)a＋2)，
∴DM＝(﹣eq \f(1,2)a2﹣eq \f(3,2)a＋2)﹣(﹣eq \f(1,2)a＋2)＝﹣eq \f(1,2)a2﹣2a．
当x＝1时，y＝eq \f(1,2)×1＋2＝eq \f(5,2)，∴N(1，eq \f(5,2))．∴BN＝eq \f(5,2)．
∵等高的三角形的面积比等于底的比，
∴S△DCE：S△B∁E＝．
∴S△DCE：S△B∁E＝﹣eq \f(1,5)a2﹣eq \f(4,5)a＝﹣eq \f(1,5)(a＋2)2＋eq \f(4,5)，
∵﹣eq \f(1,5)＜0，
∴当a＝﹣2时，S△DCE：S△BCE有最大值为eq \f(4,5)，此时点D(﹣2，3)；
(3)第二象限内抛物线上存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍，点D的横坐标为﹣2或﹣，理由：
∵A(﹣4，0)，B(1，0)，C(0，2)，
∴OA＝4，OB＝1，OC＝2，
∴AC＝2eq \r(5)，BC＝eq \r(5)，AB＝OA＋OB＝5．
∵AC2＋BC2＝25＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°．
取AB的中点P，连接OP，则P(﹣eq \f(3,2)，0)，
∴OP＝eq \f(3,2)．∴PA＝PB＝PC＝eq \f(5,2)，
∴∠BAC＝∠PCA．
∵∠CPB＝∠BAC＋∠PCA，
∴∠CPB＝2∠BAC．
过点D作DR⊥y轴于点R，延长交AC于点G，如图，
①当∠DCF＝2∠BAC时，
设D(m，﹣eq \f(1,2)m2﹣eq \f(3,2)m＋2)，则DR＝﹣m，OR＝﹣eq \f(1,2)m2﹣eq \f(3,2)m＋2，
∴CR＝OR﹣OC＝﹣eq \f(1,2)m2﹣eq \f(3,2)m．
∵DR⊥y轴，OA⊥y轴，
∴DR∥AB，
∴∠G＝∠BAC．
∵∠DCF＝∠G＋∠CDG，∠DCF＝2∠BAC，
∴∠CDG＝∠G＝∠BAC．
∵tan∠BAC＝，∴tan∠CDR＝eq \f(1,2)．
∴，得：m＝﹣2或0(舍去)，
∴m＝﹣2．
∴点D的横坐标为﹣2；
②当∠FDC＝2∠BAC时，
∵∠CPB＝2∠BAC，
∴∠FDC＝∠CPB．
∵tan∠CPB＝eq \f(4,3)，∴tan∠FDC＝eq \f(4,3)，
∵tan∠FDC＝，∴，
设FC＝4n，则DF＝3n，∴CD＝5n．
∵tan∠G＝tan∠BAC＝eq \f(1,2)，
∴tan∠G＝，
∴FG＝6n．
∴CG＝FG﹣FC＝2n．
∵tan∠G＝，∴RC＝n，
∴DR＝＝n，∴，
解得：a＝﹣eq \f(29,11)或0(舍去)，
∴a＝﹣eq \f(29,11)，即点D的横坐标为﹣eq \f(29,11)，
综上，第二象限内抛物线上存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍，点D的横坐标为﹣2或﹣eq \f(29,11)．
解：(1)将A，B，C代入函数解析式得，
，解得，
∴这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；
(2)①设BC的解析式为y＝kx＋b，
将B，C的坐标代入函数解析式得，
，解得，
∴BC的解析式为y＝x﹣3，
设M(n，n﹣3)，P(n，n2﹣2n﹣3)，
PM＝(n﹣3)﹣(n2﹣2n﹣3)＝﹣n2＋3n＝﹣(n﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)，
当n＝eq \f(3,2)时，PM最大＝eq \f(9,4)，∴线段PM的最大值eq \f(9,4)；
②当PM＝PC时，(﹣n2＋3n)2＝n2＋(n2﹣2n﹣3＋3)2，
解得n1＝n2＝0(不符合题意，舍)，n3＝2，
n2﹣2n﹣3＝﹣3，
P(2，﹣3)．
当PM＝MC时，(﹣n2＋3n)2＝n2＋(n﹣3＋3)2，
解得n1＝0(不符合题意，舍)，n2＝3﹣eq \r(2)，n3＝3＋eq \r(2)(不符合题意，舍)，
n2﹣2n﹣3＝2﹣4eq \r(2)，
P(3﹣eq \r(2)，2﹣4eq \r(2))．
综上所述：P(3﹣eq \r(2)，2﹣4eq \r(2))或(2，﹣3)．
解：(1)将点A(﹣5，0)，点B(﹣1，﹣2)代入y＝ax2＋bx，
∴，解得，
∴y＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(5,2)x；
(2)4QM＋QN的值为定值，设P(t，eq \f(1,2)t2＋eq \f(5,2)t)，﹣5＜t＜0，
设直线AP的解析式为y＝kx＋b，
∴，解得，
∴y＝eq \f(1,2)tx＋eq \f(5,2)t，
设直线PO的解析式为y＝k'x，∴eq \f(1,2)t2＋eq \f(5,2)t＝tk'，
∴k'＝eq \f(1,2)t＋eq \f(5,2)，∴y＝(eq \f(1,2)t＋eq \f(5,2))x，
∵点Q(﹣4，0)，∴M(﹣4，eq \f(1,2)t)，
∴N(﹣4，﹣2t﹣10)，∴QM＝﹣eq \f(1,2)t，QN＝2t＋10，
∴4QM＋QN＝﹣2t＋2t＋10＝10，
∴4QM＋QN的值不变；
(3)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，
∴，解得，
∴y＝﹣eq \f(1,2)x﹣eq \f(5,2)，设D(m，﹣eq \f(1,2)m﹣eq \f(5,2))，
∵CD＝eq \r(5)，点C在点D的左边，
∴C(m﹣2，﹣eq \f(1,2)m﹣eq \f(1,2))，
设直线OD的解析式为y＝k'x，
∴﹣eq \f(1,2)m﹣eq \f(5,2)＝k'm，
∴k'＝﹣﹣，∴y＝(﹣﹣)x，
∵CE∥OD，
∴直线CE的解析式为y＝(﹣﹣)x﹣＝﹣x﹣ (x＋1)，
当eq \f(1,2)x＋1＝0时，x＝﹣2，此时y＝1，∴直线CE经过定点F(﹣2，1)，
过点F作FK⊥x轴交直线AB于点K，过点E作EG∥FK交AB于点G，
∴＝，
∵点F(﹣2，1)，
∴K(﹣2，﹣eq \f(3,2))，
∴FK＝eq \f(5,2)，∴当GE最大时，的值最小，
设E(n，eq \f(1,2)n2＋eq \f(5,2)n)，则G(n，﹣eq \f(1,2)n﹣eq \f(5,2))，∴GE＝﹣eq \f(1,2)(n＋3)2＋2，
∴当n＝﹣3时，GE有最大值2，
∴的最小值为1.25．
解：(1)若m=5时，抛物线即为y=x2﹣4x﹣5，
令y=0，得x2﹣4x﹣5=0，解得x=5或x=﹣1，
则A(﹣1，0)，B(5，0)，AB=6．
∵y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9，
∴顶点D的坐标为(2，﹣9)，
∴△ABD的面积=0.5×AB×|yD|=eq \f(1,2)×6×9=27；
(2)如图1，过点E作y轴的平行线交BC于F．
在(1)的条件下，有y=x2﹣4x﹣5，则C(0，﹣5)，
设直线BC的解析式为y=kx﹣5(k≠0)．
把B(5，0)代入，得0=5k﹣5，解得k=1．
故直线BC的解析式为：y=x﹣5．
设E(m，m2﹣4m﹣5)，则F(m，m﹣5)，
∴S△BCE=eq \f(1,2)EF×OB=eq \f(1,2)×(m﹣5﹣m2﹣4m﹣5)×5=﹣2.5(m﹣2.5)2﹣125/8，
即S△BCE=﹣eq \f(5,2)(m﹣eq \f(5,2))2﹣125/8，∴当m=eq \f(5,2)时，△BCE面积的最大值是125/8；
(3)∵y=x2﹣4x﹣m(m＞0)，
∴x=0时，y=﹣m，对称轴为直线x=2，∴C(0，﹣m)，
∵C点关于抛物线对称轴的对称点为C′点，∴C′(4，﹣m)．
以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形分两种情况：
①线段CC′为对角线，如图2，∵平行四边对角线互相平分，
∴PQ在对称轴上，此时P点为抛物线的顶点，与D点重合，
∵y=x2﹣4x﹣m=(x﹣2)2﹣4﹣m，∴P(2，﹣4﹣m)，
∵线段PQ与CC′中点重合，C(0，﹣m)，C′(4，﹣m)，设Q(2，y)，
∴=﹣m，解得y=4﹣m，∴Q(2，4﹣m)；
②线段CC′为边，如图3，
∵以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，∴PQ=CC′=4，
设点Q的坐标为(2，y)，则点P坐标为(6，y)或(﹣2，y)，
∵点P在抛物线上，将x=6和x=﹣2分别代入y=x2﹣4x﹣m中，解得y均为12﹣m，
故点P的坐标为(6，12﹣m)或(﹣2，12﹣m)，Q(2，12﹣m)．
综上所述，如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，
以点C、C′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，Q点和P点的坐标分别是：
Q(2，4﹣m)，P(2，﹣4﹣m)或Q(2，12﹣m)，P(6，12﹣m)
或Q(2，12﹣m)，P(﹣2，12﹣m)．故答案为0，﹣m，4，﹣m．
解：(1)在抛物线y＝ax2＋bx﹣4中，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴点C的坐标为(0，﹣4)，
∴OC＝4，
∵OB＝2OC＝4OA，
∴OA＝2，OB＝8，
∴点A为(﹣2，0)，点B为(8，0)，
则把点A、B代入解析式，得：
，解得：，
∴此抛物线的表达式为y＝eq \f(1,4)x2﹣eq \f(3,2)x﹣4；
(2)①设直线BC的解析式为y＝mx＋n，则把点B、C代入，
得，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝eq \f(1,2)x﹣4；
设点D为(m，eq \f(1,4)m2﹣eq \f(3,2)m﹣4)，可得F(m，eq \f(1,2)m﹣4)，
∴DF＝eq \f(1,2)m﹣4−(eq \f(1,4)m2﹣eq \f(3,2)m﹣4)＝﹣eq \f(1,4)m2＋2m；
②∵点A为(﹣2，0)，点B为(8，0)，点C的坐标为(0，﹣4)，
∴AC2＝22＋42＝20，BC2＝82＋42＝80，AB2＝(8＋2)2＝100，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝∠ACO＋∠OCF＝90°，
∵DG∥AC，
∴∠DGC＝∠ACB＝90°，
∴∠DGF＝∠AOC＝90°，
∴∠DFG＋∠FDG＝90°，
∵DE⊥x轴，
∴DE∥y轴，
∴∠OCF＝∠DFG，
∵∠ACO＋∠OCF＝90°，∠DFG＋∠FDG＝90°，
∴∠ACO＝∠FDG，
∴△AOC∽△FGD，
∴，
∵AC2＝22＋42＝20，
∴AC＝2eq \r(5)，
∵DG＝eq \f(3,5)AC，
∴DG＝eq \f(6\r(5),5)，
∴DF＝3，
∵DF＝﹣eq \f(1,4)m2＋2m，
∴﹣eq \f(1,4)m2＋2m＝3，解得m1＝2，m2＝6，
∴点D的坐标为(2，﹣6)或(6，﹣4)．
解：(1)将点B(1，4)，E(3，0)的坐标代入抛物线的解析式得：
，解得：，
抛物线的解析式为y=﹣2x2+6x．
(2)如图1所示；
∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°．
∴∠BDC+∠EDO=90°．
又∵∠ODE+∠DEO=90°，
∴∠BDC=∠DE0．
在△BDC和△DOE中，
，
∴△BDC≌△DEO．
∴OD=AO=1．
∴D(0，1)．
(3)如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，
连接B′D交抛物线的对称轴与点M．
∵x=﹣=eq \f(3,2)，∴点B′的坐标为(2，4)．
∵点B与点B′关于x=eq \f(3,2)对称，
∴MB=B′M．
∴DM+MB=DM+MB′．
∴当点D、M、B′在一条直线上时，MD+MB有最小值(即△BMD的周长有最小值)．
∵由两点间的距离公式可知：BD=eq \r(10)，DB′=eq \r(13)，
∴△BDM的最小值=eq \r(10)+eq \r(13)．设直线B′D的解析式为y=kx+b．
将点D、B′的坐标代入得：
，解得：k=eq \f(3,2)，b=1．
∴直线DB′的解析式为y=eq \f(3,2)x+1．
将x=eq \f(3,2)代入得：y=3eq \f(1,4)．∴M(eq \f(3,2)，3eq \f(1,4))．
(4)如图3所示：过点F作FG⊥x轴，垂足为G．
设点F(a，﹣2a2+6a)，则OG=a，FG=﹣2a2+6a．
∵S梯形DOGF=eq \f(1,2)(OD+FG)×OG=eq \f(1,2)(﹣2a2+6a+1)×a=﹣a3+3a2+eq \f(1,2)a，
S△ODA=eq \f(1,2)OD×OA=eq \f(1,2)×1×1=eq \f(1,2)，S△AGF=eq \f(1,2)AG×FG=﹣a3+4a2﹣3a，
∴S△FDA=S梯形DOGF﹣S△ODA﹣S△AGF=﹣a2+eq \f(7,2)a﹣eq \f(1,2)．
∴当a=eq \f(7,4)时，S△FDA的最大值为．
∴点P的坐标为(eq \f(7,4)，4)eq \f(3,8)．
解：(1)在y＝﹣xeq \r(2)2﹣6eq \r(2)x＋7eq \r(2)中，令y＝0得：
﹣eq \r(2)x2﹣6eq \r(2)x＋7eq \r(2)＝0，解得x＝﹣7或x＝1，
∴A(﹣7，0)，B(1，0)；
(2)过P作PN⊥x轴于N，交AC于M，如图：
抛物线y＝﹣eq \r(2)x2﹣6eq \r(2)x＋7eq \r(2)的对称轴为直线x＝﹣3，
在y＝﹣eq \r(2)x2﹣6eq \r(2)x＋7eq \r(2)中，令x＝0得y＝7eq \r(2)，
∴C(0，7eq \r(2))，∴AC＝7eq \r(3)，∴sin∠CAB＝eq \f(\r(6),3)，
在Rt△AMN中，MN＝AMsin∠CAB＝eq \f(\r(6),3)AM，
∴PM＋eq \f(\r(6),3)AM最小，即是PM＋MN最小，由垂线段最短可知PM＋eq \f(\r(6),3)AM的最小值即为PN的长，
∵点P，C(0，7eq \r(2))关于抛物线的对称轴直线x＝﹣3对称，
∴PN与OC关于抛物线y＝﹣eq \r(2)x2﹣6eq \r(2)x＋7eq \r(2)的对称轴直线x＝﹣3对称，P(﹣6，7eq \r(2))，
∴PN＝OC＝7eq \r(2)，即PM＋eq \f(\r(6),3)AM的最小值为7eq \r(2)，
由A(﹣7，0)，C(0，7eq \r(2))得直线AC解析式为y＝eq \r(2)x＋7eq \r(2)，
在y＝eq \r(2)x＋7eq \r(2)中，令x＝﹣6得y＝eq \r(2)，∴M(﹣6，eq \r(2))；
(3)过M作MH⊥x轴于H，过M'作M'G⊥x轴于G，如图：
∵A(﹣7，0)，B(1，0)，C(0，7eq \r(2))，
∴AB＝8，AC＝7eq \r(3)，
∵∠MAO＝∠BAC，
∴△AOM与△ABC相似，分两种情况：
①当△ABC∽AMO时，＝，∴＝，∴AM＝，
∵MH⊥x轴，
∴MH∥OC，
∴△AMH∽△ACO，
∴＝＝，即＝，∴AH＝，MH＝，
∴OH＝OA﹣AH＝eq \f(13,3)，
∴M(﹣，)，
②当△ABC∽△AOM'时，
∴＝，即＝，∴AM'＝，
同理可得＝＝，∴＝，
∴AG＝，M'G＝，∴OG＝OA﹣AG＝，
∴M'(﹣，)，
综上所述，当△AOM与△ABC相似时，M坐标为(﹣，)或(﹣，)．
解：(1)令x＝0，则y＝6，
∴B(0，6)，
令y＝0，则﹣ax2＋6ax＋6＝0，
∴x1＋x2＝6，x1x2＝﹣，
∴|x1﹣x2|＝，∵S△ABC＝30＝6×，
解得a＝eq \f(3,8)，
∴y＝﹣eq \f(3,8)x2＋eq \f(9,4)x＋6；
(2)∵P点横坐标为t，
∴P(t，﹣eq \f(3,8)t2＋eq \f(9,4)t＋6)，
∵PD⊥x轴，
∴PD＝﹣eq \f(3,8)t2＋eq \f(9,4)t＋6，
令y＝0，则﹣eq \f(3,8)x2＋eq \f(9,4)x＋6，解得x＝﹣2或x＝8，
∴A(﹣2，0)，C(8，0)，
∴AD＝t＋2，
∵tan∠PAD＝m，
∴＝m，
整理得，m＝﹣eq \f(3,8)(t﹣8)(0＜t＜8)；
(3)连接BC与AP交于点E，
∵A(﹣2，0)，B(0，6)，C(8，0)，
∴AC＝10，BC＝10，
∴AC＝BC，
∴∠BAO＝∠ABE，
∵OB＝6，OC＝8，
∴tan∠OCB＝eq \f(4,3)，
∵m＝eq \f(4,3)，
∴∠PAD＝∠OBC，
∴∠BCO＝∠APD，
∴∠PAD＋∠BCO＝90°，
∴BC⊥AP，
∴∠BEA＝90°，
∴△ABO≌△EAB(AAS)，
∴∠BAE＝∠ABO，
∵AN平分∠PAC，
∴∠EAN＝∠NAC，
∴2∠OAE＋2∠EAN＝90°，
∴∠BAN＝45°，
∴△ABN是等腰直角三角形，
∴BN＝AB＝2eq \r(10)，
在Rt△APD中，设AN与PD交于Z，过Z作ZY⊥AP交于Y，
∵AZ是∠PAD的平分线，
∴YZ＝ZD，
∵tan∠PAD＝eq \f(4,3)，
设PD＝4，ZD＝y，则AD＝3，AP＝5，YZ＝y，
在Rt△PYZ中，(4﹣y)2＝y2＋22，
∴y＝eq \f(3,2)，∴tan∠ZAD＝eq \f(1,2)，
设N(m，n)，则＝，
∵2eq \r(10)＝，解得m＝6，n＝4，
∴N(6，4)，
过A作AL⊥AB交于HM的延长线于L，过B作BS∥HL交AL于点S，交KN于点Q，
∵MT⊥KN，
∴∠NHT＝90°﹣∠HNT，∠BKN＝90°﹣∠HNT，
∵∠MKN＝2∠BNK，
∴∠AKM＝180°﹣(∠BKN＋∠NKM)＝90°﹣∠HNT，
∴∠AKM＝∠HTN，
∵∠BAN＝∠BNA＝45°，
∴∠HMN＝∠KMA，
∵∠HMN＝∠AML，
∴∠KMA＝∠AML，
∵AL⊥AB，∠PAN＝∠CAN，
∴∠CAL＝∠BAE，
∴∠KAM＝∠MAL，
∴△AKM≌△ALM(ASA)，
∴AK＝AL，∠ALM＝∠AKN，
∵BN⊥AB，AL⊥AB，
∴BN∥AL，
∵BS∥HL，
∴四边形BHLS是平行四边形，
∴∠ALM＝∠BSA，
∴∠BKN＝∠BSA，
∵AB＝BN，∠ABN＝∠BAS＝90°，
∴△NBK≌△BAS(ASA)，
∴BK＝AS，
∴HL＝KN，
∵NH＝4BH，
设BH＝a，KB＝b，则NH＝4a，AB＝5a，
∵AK＝AL，
∴5a﹣b＝a＋b，
∴b＝2a，
∴BK：AB＝2：5，
过K作KG⊥x轴交于G，
∴△ABO∽△AKG，
∴＝＝＝，
∴KG＝eq \f(18,5)，AG＝eq \f(6,5)，∴K(﹣eq \f(4,5)，eq \f(18,5))，
设直线KN的解析式为y＝sx＋h，
∴，解得，
∴y＝x＋．
解：(1)当m=3时，抛物线解析式为y=﹣x2＋6x，
当y=0时，﹣x2＋6x=0，解得x1=0，x2=6，则A(6，0)，
抛物线的对称轴为直线x=3，
∵P(1，3)，
∴B(1，5)，
∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C
∴C(5，5)，
∴BC=5﹣1=4；
(2)当y=0时，﹣x2＋2mx=0，解得x1=0，x2=2m，则A(2m，0)，
B(1，2m﹣1)，
∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C，而抛物线的对称轴为直线x=m，
∴C(2m﹣1，2m﹣1)，
∵PC⊥PA，
∴PC2＋AC2=PA2，
∴(2m﹣2)2＋(m﹣1)2＋12＋(2m﹣1)2=(2m﹣1)2＋m2，
整理得2m2﹣5m＋3=0，解得m1=1，m2=，即m的值为；
(3)如图，
∵PE⊥PC，PE=PC，
∴△PME≌△CBP，
∴PM=BC=2m﹣2，ME=BP=2m﹣1﹣m=m﹣1，
而P(1，m)
∴2m﹣2=m，解得m=2，
∴ME=m﹣1=1，
∴E(2，0)；
作PH⊥y轴于H，如图，
易得△PHE′≌△PBC，
∴PH=PB=m﹣1，HE′=BC=2m﹣2，
而P(1，m)
∴m﹣1=1，解得m=2，
∴HE′=2m﹣2=2，
∴E′(0，4)；
综上所述，m的值为2，点E的坐标为(2，0)或(0，4).