中考数学二轮专题复习《函数压轴题》专项练习五（含答案）

中考数学二轮专题复习

《函数压轴题》专项练习五

1.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，5).有一宽度为1，长度足够长的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和点Q，交直线AC于点M和点N，交x轴于点E和点F.

(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；

(2)当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标；

(3)在矩形的平移过程中，是否存在以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，抛物线L1：y=﹣x2+bx+c经过点A(1，0)和点B(5，0)，已知直线l的解析式为y=kx﹣5.

(1)求抛物线L1的解析式、对称轴和顶点坐标.

(2)若直线l将线段AB分成1：3两部分，求k的值；

(3)当k=2时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线上方的一点，当△PMN面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值.

(4)将抛物线L1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为L2

①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围；

②直接写出直线l与图象L2有四个交点时k的取值范围.

3.在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)经过点A、B．

(1)求a、b满足的关系式及c的值．

(2)当x＜0时，若y=ax2+bx+c(a＜0)的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．

(3)如图，当a=﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4.如图，抛物线与x轴交于点A(﹣，0)、点B(2，0)，与y轴交于点C(0，1)，连接BC．             

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t(﹣＜t＜2)，求△ABN的面积S与t的函数关系式；

(3)若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．             

5.如图，已知抛物线y=x2﹣bx﹣c与x轴交于点A(-1，0)、C，与y轴交于点B(0，3)，抛物线的顶点为P．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若抛物线向下平移k个单位后经过点(﹣5，6)．

①求k的值及平移后抛物线所对应函数的最小值；

②设平移后抛物线与y轴交于点D，顶点为Q，点M是平移后的抛物线上的一个动点，请探究：当点M在何处时，△MBD的面积是△MPQ面积的2倍？求出此时点M的坐标．

6.如图，已知二次函数y=ax2＋x＋c的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B，C，点C的坐标为(8，0)，连接AB、AC．

(1)请直接写出二次函数y=ax2＋x＋c的表达式；

(2)判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；

(4)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

0.参考答案

1.解：(1)∵抛物线上的点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，5)

∴将其代入y=﹣x2+bx+c，得

，解得b=﹣，c=5.

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5.

∴点A的坐标是(﹣5，0).

(2)作FG⊥AC于G，设点F坐标(m，0)，

则AF=m+5，AE=EM=m+6，FG=(m+5)，FM==，

∵sin∠AMF=，∴=，∴=，

整理得到2m2+19m+44=0，

∴(m+4)(2m+11)=0，∴m=﹣4或﹣5.5(舍弃)，

∴点Q坐标(﹣4，).

(3)①当MN是对角线时，点M在y轴的右侧，设点F(m，0)，

∵直线AC解析式为y=x+5，

∴点N(m，m+5)，点M(m+1，m+6)，

∵QN=PM，

∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣(m+1)2﹣(m+1)+5]，

解得m=﹣3+或﹣3﹣(舍弃)，此时M(﹣2+，3+)，

当MN是对角线时，点N在点A的左侧时，设点F(m，0).

∴m+5﹣(﹣m2﹣m+5)=[﹣(m+1)2﹣(m+1)+5]﹣(m+6)，

解得m=﹣3﹣或﹣3+(舍弃)，此时M(﹣2﹣，3﹣)

②当MN为边时，设点Q(m，﹣m2﹣m+5)则点P(m+1，﹣m2﹣m+6)，

∵NQ=PM，

∴﹣m2﹣m+6=﹣(m+1)2﹣(m+1)+5，解得m=﹣3.

∴点M坐标(﹣2，3)，

综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，

点M的坐标为(﹣2，3)或(﹣2+，3+)或(﹣2﹣，3﹣).

2.解：(1)∵抛物线L1：y=﹣x2+bx+c经过点A(1，0)和点B(5，0)

∴y=﹣(x﹣1)(x﹣5)=﹣(x﹣3)2+4，

∴抛物线L1的解析式为y=﹣x2+6x﹣5

对称轴：直线x=3

顶点坐标(3，4)；

(2)∵直线l将线段AB分成1：3两部分，则l经过点(2，0)或(4，0)，

∴0=2k﹣5或0=4 k﹣5

∴k=或k=.

(3)如图1，设P(x，﹣x2+6x﹣5)是抛物线位于直线上方的一点，

解方程组，解得或

不妨设M(0，﹣5)、N(4，3)∴0＜x＜4

过P做PH⊥x轴交直线l于点H，则H(x，2x﹣5)，

PH=﹣x2+6x﹣5﹣(2x﹣5)=﹣x2+4x，

S△PMN=PH•xN=(﹣x2+4x)×4=﹣2(x﹣2)2+8

∵0＜x＜4

∴当x=2时，SPMN最大，最大值为8，此时P(2，3)

(4)如图2，

A(1，0)，B(5，0).由翻折，得D(3，﹣4)，

①当x≤1或3≤x≤5时y随x的增大而增大

②当y=kx﹣5过D点时，3k﹣5=﹣4，解得k=，

当y=kx﹣5过B点时，5k﹣5=0，解得k=1，

直线与抛物线的交点在BD之间时有四个交点，即＜k＜1，

当＜k＜1时，直线l与图象L2有四个交点.

3.解：(1)y=x+2，令x=0，则y=2，令y=0，则x=﹣2，

故点A、B的坐标分别为(﹣2，0)、(0，2)，则c=2，

则函数表达式为：y=ax2+bx+2，

将点A坐标代入上式并整理得：b=2a+1；

(2)当x＜0时，若y=ax2+bx+c(a＜0)的函数值随x的增大而增大，

则函数对称轴x=﹣≥0，而b=2a+1，

即：﹣≥0，解得：a≥-，故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；

(3)当a=﹣1时，二次函数表达式为：y=﹣x2﹣x+2，

过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，

∵OA=OB，∴∠BAO=∠PQH=45°，

S△PAB=×AB×PH=×2×PQ×=1，则yP﹣yQ=1，

在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，

则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，故：|yP﹣yQ|=1，

设点P(x，﹣x2﹣x+2)，则点Q(x，x+2)，

即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2=±1，解得：x=﹣1或﹣1±，

故点P(﹣1，2)或(﹣1+，1)或(﹣1﹣，﹣)．

4.解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由题可得：                                                                                                                             

，解得：，∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2+x+1；                                                                                                                             

(2)当﹣＜t＜2时，yN＞0，∴NP==yN=﹣t2+t+1，                                                                                                                             

∴S=ABPN=×(2+)×(﹣t2+t+1)=(﹣t2+t+1)=﹣t2+t+；                                                                                                                             

(3)∵△OPN∽△COB，∴=，∴=，∴PN=2PO．                                                                                                                             

①当﹣＜t＜0时，PN==yN=﹣t2+t+1，PO==﹣t，∴﹣t2+t+1=﹣2t，                                                                                                                             

整理得：3t2﹣9t﹣2=0，解得：t1=，t2=．                                                                                                                             

∵＞0，﹣＜＜0，                                                                                                                             

∴t=，此时点N的坐标为(，)；                                                                                                                             

②当0＜t＜2时，PN==yN=﹣t2+t+1，PO==t，∴﹣t2+t+1=2t，                                                                                                                             

整理得：3t2﹣t﹣2=0，解得：t3=﹣，t4=1．                                                                                                                             

∵﹣＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为(1，2)．                                                                                                                             

综上所述：点N的坐标为(，)或(1，2)．                                         

5.解：(1)∵点A(﹣1，0)、点B(0，3)，在抛物线上，

∴，解得：，

∴所求的抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣3；

(2)设平移后抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣3﹣k．

∵它经过点(﹣5，6)，

∴6=(﹣5)2﹣4(﹣5)﹣3﹣k．∴k=﹣2．

∴平移后抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣3﹣2=x2﹣4x﹣1．配方，得y=(x﹣2)2﹣3．

∵a=1＞0，

∴平移后的抛物线的最小值是﹣3．

(3)由(2)可知，BD=PQ=2，对称轴为x=﹣2．

又∵S△MBD=2S△MPQ，

∴BD边上的高是PQ边上的高的2倍．设M点坐标为(m，n)．

①当M点的对称轴的左侧时，则有0﹣m=2(﹣2﹣m)．

∴m=﹣4．∴n=(﹣4)2﹣4(﹣4)﹣1=1．

∴M(﹣4，1)．

②当M点在对称轴与y轴之间时，则有0﹣m=2[m﹣(﹣2)]．∴m=﹣．

∴n=(﹣)2﹣(﹣)﹣1=﹣2．∴M(﹣，﹣2)．

③当M点在y轴的右侧时，

则有m=2[(m﹣(﹣2)]．∴m=﹣4＜0，不合题意，应舍去．

综合上述，得所求的M点的坐标是(﹣4，1)或(﹣，﹣2)．

6.解：(1)将点A(0，4)、C(8，0)代入y=ax2＋x＋c中，

得：，解得：，

∴该二次函数的解析式为y=﹣x2＋x＋4．

(2)令y=﹣x2＋x＋4中y=0，

则﹣x2＋x＋4=0，解得：x=﹣2，或x=8，

∴点B的坐标为(﹣2，0)，

又∵点A(0，4)，点C(8，0)，

∴AB=2，AC=4，BC=10．

∵AB2＋AC2=20＋80=100=BC2，

∴△ABC为直角三角形．

(3)设点N的坐标为(m，0)，

则AC=4，AN=，CN=|8﹣m|．

以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况：

①              当AC=AN时，即4=，解得：m=﹣8，或m=8(舍去)，

此时点N的坐标为(﹣8，0)；

②              当AC=CN时，即4=|8﹣m|，解得：m=8﹣4，或m=8＋4，

此时点N的坐标为(8﹣4，0)或(8＋4，0)；

③当AN=CN时，即=|8﹣m|，解得：m=3，此时点N的坐标为(3，0)．

综上可知：以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标为：

(﹣8，0)、(8﹣4，0)、(8＋4，0)或(3，0)．

(4)设点N的坐标为(n，0)(﹣2＜n＜8)，则BN=n﹣(﹣2)=n＋2．

∵MN∥AC，∴△BMN∽△BAC，∴=．

∵S△BAC=AB•AC=20，BN=n＋2，BC=10，

∴S△BMN=S△BAC•=(n＋2)2．

S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=AO•BN﹣(n＋2)2=﹣(n﹣3)2＋5，

∴当n=3，即点N的坐标为(3，0)时，△AMN面积最大，最大值为5．