数学苏教版 (2019)第3章 圆锥曲线与方程3.2 双曲线同步练习题

这是一份数学苏教版 (2019)第3章 圆锥曲线与方程3.2 双曲线同步练习题，共20页。试卷主要包含了已知双曲线C，设F1,F2分别是双曲线C，与椭圆C，已知双曲线E，若双曲线C等内容，欢迎下载使用。
题组一 根据双曲线的标准方程研究其几何性质
1.双曲线4x2+ky2=4k的虚轴长是实轴长的2倍,则实数k的值是( )
A.16 B.116 C.-16 D.-116
2.(多选题)(2024江苏宿迁泗阳实验高级中学开学测试)已知双曲线C:x22-y2m=1,则下列说法正确的是( )
A.C的实轴长为2
B.若C的两条渐近线相互垂直,则m=2
C.若C的一个焦点为(2,0),则m=2
D.若m=2,则C上的点到焦点距离的最小值为2
3.(多选题)(2024江苏盐城联盟期中)设F1,F2分别是双曲线C:x2m-y2m=1的左、右焦点,且F1F2=4,则下列结论正确的有( )
A.m=2
B.存在实数t,使直线y=2x+t与双曲线的左、右两支各有一个交点
C.C的虚轴长是2
D.C的离心率是2
题组二 由双曲线的几何性质求其标准方程
4.(2024山东临沂开学考试)已知双曲线C:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为-2,实轴长为4,则C的标准方程为( )
A.y2-x24=1 B.y24-x216=1
C.y24-x2=1 D.y216-x24=1
5.(教材习题改编)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为x±2y=0,且C过点(4,1),则C的方程为( )
A.x24-y2=1 B.x212-y23=1
C.x28-y2=1 D.x216-y24=1
6.(2024天津百中期中)与椭圆C:x225+y216=1共焦点且过点P(2,2)的双曲线的标准方程为( )
A.x216-y27=1 B.x26-y23=1
C.x23-y26=1 D.x29-y216=1
7.(2024江苏连云港赣榆期中)已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,斜率为2的直线l与E的一条渐近线垂直,且交E于A,B两点,|AF2-AF1|=4.
(1)求E的方程;
(2)设点P为线段AB的中点,求直线OP的方程.
题组三 双曲线的渐近线
8.(2023江苏镇江句容碧桂园学校期中)若双曲线C:x2a2-y24=1的一条渐近线与直线l:3x+2y-2=0相互垂直,则C的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积S=( )
A.25 B.6 C.213 D.8
9.(2024河北部分高中期中)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作C的一条渐近线l的垂线,垂足为A,且A在第一象限,并与C交于点B,若FB=BA,则l的斜率为 ( )
A.2 B.1 C.12 D.-74
10.(2024重庆十一中期中)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴的一个端点为D,F1,F2分别是C的左、右焦点,直线x=2a与C交于A,B两点.若△ABD的重心在以F1F2为直径的圆上,则C的渐近线方程为( )
A.y=±78x B.y=±87x
C.y=±2147x D.y=±144x
11.(多选题)(2023江苏扬州宝应中学期中)已知双曲线C过点(3,2),且渐近线方程为y=±33x,则下列结论正确的是( )
A.双曲线C的方程为x23-y2=1
B.双曲线C的离心率为3
C.曲线y=ex-2-1经过双曲线C的一个焦点
D.焦点到渐近线的距离为1
题组四 双曲线的离心率
12.(2023江苏南通如东期中)过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点作x轴的垂线与两渐近线交于两点,这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )
A.2 B.2 C.3 D.4
13.(2024江苏盐城一中、大丰中学联考)设F1,F2是椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)与双曲线C2:x2a22-y2b22=1(a2>0,b2>0)的公共焦点,曲线C1,C2在第一象限内交于点M,∠F1MF2=60°,若椭圆的离心率e1∈33,1,则双曲线的离心率e2的取值范围是( )
A.(1,2] B.(1,3]C.[3,+∞) D.[2,+∞)
14.(2024江苏南京第九中学调研)已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1且倾斜角为30°的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若AF2=BF2,则双曲线C的离心率为( )
A.2 B.3 C.2 D.22
15.(2024河南焦作第一中学月考)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线C为等轴双曲线,且过点P(2,3),求双曲线C的方程;
(2)经过原点O且倾斜角为45°的直线l与C的右支交于点M,△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形,求双曲线C的离心率.
能力提升练
题组 双曲线的几何性质及其应用
1.(2023江苏淮安涟水第一中学月考)若双曲线C:y2a2-x24=1(a>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则双曲线C的焦距为( )
A.8 B.10 C.12 D.16
2.(2023江苏连云港灌云期中)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为x-2y=0,左焦点在直线x+y+5=0上,A,B分别是左、右顶点,点P为右支上位于第一象限的动点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1+k2的取值范围为( )
A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(2,+∞) D.(1,+∞)
3.(2024江苏苏州调研)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作直线分别与双曲线的两条渐近线相交于A、B两点,且OB·BF=0,AB=2BF,则该双曲线的离心率为( )
A.2 B.3 C.2 D.5
4.(2023吉林长春实验中学期中)已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且PF1>PF2,线段PF1的垂直平分线过F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则2e1+e22的最小值为( )
A.6 B.3 C.6 D.3
5.(2024四川部分学校联考)已知F1,F2分别是双曲线Γ:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线分别交双曲线左、右两支于A,B两点,点C在x轴上,CB=4F2A,BF2平分∠F1BC,则双曲线Γ的渐近线方程为( )
A.y=±63x B.y=±223x
C.y=±62x D.y=±263x
6.(2024江苏南京六校联考)已知圆C1:x2+y2=b2(b>0)与双曲线C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),在C2上存在一点P,过点P作圆C1的两条切线,切点分别为A、B,且∠APB=π3,则双曲线C2的离心率的取值范围是( )
A.1,52 B.52,+∞ C.(1,3] D.[3,+∞)
7.(多选题)(2024江西九江第一中学期中)过双曲线C:x24-y25=1的右焦点作直线l与该双曲线交于A、B两点,则( )
A.存在四条直线l,使AB=6
B.存在直线l,使弦AB的中点为(4,1)
C.与该双曲线有相同渐近线且过点(8,10)的双曲线的标准方程为y220-x216=1
D.若A,B都在该双曲线的右支上,则直线l斜率的取值范围是-∞,-52∪52,+∞
8.(多选题)(2024重庆十一中期中)随着我国航天科技的快速发展,双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要的作用,双曲线的光学性质是:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知F1,F2分别为双曲线C:x24-y2=1的左、右焦点,过C右支上一点A(x0,y0)(x0>2)作直线l交x轴于M4x0,0,交y轴于点N,则( )
A.C的渐近线方程为y=±12x
B.过点F1作F1H⊥AM于H,则OH=2
C.点N的坐标为0,1y0
D.四边形AF1NF2的面积的最小值为25
9.(2023江苏南京第十三中学调研)已知双曲线C:x2-2y2=1的左、右顶点分别为A,B,点P(x,y)是双曲线C在第一象限内的点,则yx-1+yx+1的取值范围为 .
10.(2024辽宁朝阳联考)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,a2+b2=1,O为坐标原点,过F的直线l与C的右支交于A,B两点.
(1)若b0,b>0)有共同的左、右焦点F1,F2,且双曲线的实轴长为22.
(1)求双曲线C2的标准方程;
(2)若曲线C1与C2在第一象限内的交点为P,求证:∠F1PF2=90°;
(3)过右焦点F2的直线l与双曲线C2的右支交于A,B两点,与椭圆C1交于C,D两点,记△AOB,△COD的面积分别为S1,S2,求S1S2的最小值.
答案与分层梯度式解析
3.2.2 双曲线的几何性质
基础过关练
1.C 双曲线方程可化为x2k+y24=1,易知k0,
由于F1F2=4,所以2c=4,c=2,则m+m=c2=4,故m=2,A正确;
由m=2得双曲线的方程为x22-y22=1,则a=b=2,所以虚轴长为22,离心率为ca=22=2,故C错误,D正确;
易得渐近线的方程为y=±x,斜率为±1,由于直线y=2x+t的斜率为2>1,所以不存在实数t,使直线y=2x+t与双曲线的左、右两支各有一个交点,B错误.
故选AD.
4.C 由题意知双曲线的焦点在y轴上,2a=4,-ab=-2,即a=2,b=1,故C的标准方程为y24-x2=1.故选C.
5.B 因为双曲线C的渐近线方程为x±2y=0,
所以可设C的方程为x2-4y2=λ(λ≠0),把点(4,1)代入得λ=42-4×1=12,
所以C的方程为x2-4y2=12,即x212-y23=1.故选B.
方法技巧 若题目中已知双曲线的渐近线方程为Ax±By=0,求双曲线的标准方程时,标准方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0),再代入某点坐标求解.
6.C 解法一:易得椭圆C中c=3,记F1(-3,0),F2(3,0),所以|PF1-PF2|=|25+2-1+2|=23=2a,
所以a=3,所以b=c2-a2=6,所以双曲线的标准方程为x23-y26=1,故选C.
解法二:由题意可设双曲线的标准方程为x225-λ-y2λ-16=1(160)有共同焦点的双曲线方程可设为x2a2-λ-y2λ-b2=1(b20,则k1·k2=yx+2·yx-2=y2x2-4=x24-1x2-4=14,
因为P在第一象限内,所以k1>0,k2>0,则k1+k2≥2k1k2=1,显然k1≠k2,故等号不成立,即k1+k2>1.故选D.
3.B 由题意得双曲线的右焦点为F(c,0),渐近线方程为bx±ay=0,
∵OB·BF=0,∴OB⊥BF,故F到渐近线的距离为BF=|bc|a2+b2=bcc=b,
∴OB=OF2-BF2=a,AB=2BF=2b,
则tan∠AOB=2ba,tan∠FOB=ba,tan 2∠FOB=2·ba1-ba2,
由∠AOB=π-2∠FOB,得tan∠AOB+tan 2∠FOB=0,即2ba+2·ba1-ba2=0,解得ba2=2,
则c2a2=a2+b2a2=3,∴离心率e=ca=3.故选B.
4.C 设椭圆的长轴长为2a1(a1>0),双曲线的实轴长为2a2(a2>0),由题意可知F1F2=F2P=2c,不妨设点P在第一象限内,
由椭圆及双曲线的定义得F1P+F2P=2a1,F1P-F2P=2a2,∴F1P+2c=2a1,F1P-2c=2a2,两式相减,可得4c=2a1-2a2,即a1-a2=2c,
则2e1+e22=2a1c+c2a2=4a1a2+c22ca2=4(2c+a2)a2+c22ca2=8ca2+4a22+c22ca2=4+2a2c+c2a2≥4+22a2c·c2a2=6,当且仅当2a2c=c2a2,即c=2a2时取等号,∴2e1+e22的最小值为6,故选C.
5.D 因为CB=4F2A,所以△F1AF2∽△F1BC.
在双曲线中,易知F1F2=2c,则F2C=6c,设AF1=t,则BF1=4t,AB=3t.
由BF2平分∠F1BC及角平分线定理可知BF1BC=F1F2F2C=2c6c=13,
所以BC=3BF1=12t,所以AF2=14BC=3t.
由双曲线定义知AF2-AF1=2a,即3t-t=2a,解得t=a.
由BF1-BF2=2a,得BF2=4t-2a=2t=2a,
所以AB=AF2=3a,即△ABF2是等腰三角形.
由余弦定理知cs∠F1BF2=BF12+BF22-F1F222BF1·BF2=BA2+BF22-AF222AB·BF2,
即16a2+4a2-4c216a2=13,化简得11a2=3c2,所以8a2=3b2,则双曲线Γ的渐近线方程为y=±263x.故选D.
6.B 连接OB,OA,OP,则OA⊥AP,由切线长定理可知PA=PB,易证得△AOP≌△BOP,
所以∠APO=∠BPO=12∠APB=π6,则OP=2OA=2b,
设P(x,y),且|x|≥a,则y2=b2x2a2-b2,
OP=2b=x2+y2=x2+b2x2a2-b2=c2x2a2-b2≥c2a2·a2-b2=a,
所以ba≥12,故e=ca=1+ba2≥1+14=52,
故选B.
7.ACD 由已知得a=2,b=5,c=3,对于A,双曲线的通径为2b2a=50恒成立.
设A(xA,yA),B(xB,yB),则yA+yB=-30m5m2-4,yAyB=255m2-4.
若A、B都在该双曲线的右支上,则yAyB=255m2-40)共渐近线的双曲线方程可设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0,a>0,b>0).
8.ABD 对于A,由已知可得a=2,b=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±12x,故A正确.
对于B,易得kAM=y0x0-4x0=x0y0x02-4=x0y04y02+4-4=x04y0,
所以直线AM的方程为y=x04y0x-1y0,
联立y=x04y0x-1y0,x24-y2=1,化简得x2-2x0x+x02=0,由于Δ=4x02-4x02=0,所以直线AM为双曲线的切线.
由双曲线的光学性质可知AM平分∠F1AF2,
延长F1H与AF2交于点E(图略),则AH垂直平分F1E,即H为F1E的中点.
又O是F1F2的中点,所以OH=12F2E=12(AE-AF2)=12(AF1-AF2)=a=2,故B正确.
对于C,设N(0,yN),则y0-0x0-4x0=0-yN4x0-0,
整理可得-x02yN+4yN=4y0.
又x024-y02=1,所以x02=4+4y02,所以-(4+4y02)yN+4yN=4y0,解得yN=-1y0,所以N0,-1y0,故C错误.
对于D,S四边形AF1NF2=S△AF1F2+S△NF1F2=12×F1F2×|y0|+1|y0|≥12×25×2|y0|·1|y0|=25,
当且仅当|y0|=1|y0|,即y0=±1时,等号成立.
所以四边形AF1NF2的面积的最小值为25,故D正确.
故选ABD.
9.答案 (2,+∞)
解析 由双曲线方程可知A(-1,0),B(1,0),
则kPB=yx-1,kPA=yx+1,
∵点P(x,y)在双曲线上,
∴x2-2y2=1,
∴kPA·kPB=y2x2-1=12,且有kPA>0,kPB>0,
令kPA=m,则kPB=12m(m>0),
则yx-1+yx+1=12m+m≥212=2,当且仅当m=12m,即m=22时等号成立,
∵双曲线渐近线的斜率为±22,∴m≠22,∴yx-1+yx+1>2,
∴yx-1+yx+1的取值范围为(2,+∞).
10.解析 (1)因为b22,
则e=ca=1a1,
所以C的离心率e的取值范围是(1,2).
(2)易知F(1,0),直线l的斜率不为0,所以可设其方程为x=my+1.
联立x=my+1,x2a2-y21-a2=1,得[a2(m2+1)-m2]y2+2m(a2-1)·y-(a2-1)2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-2m(a2-1)a2(m2+1)-m2,y1y2=-(a2-1)2a2(m2+1)-m2,
由于A,B两点均在C的右支上,故y1y20,即m20恒成立.
由于a2(1-a2)>0,所以只需-a4+3a2-1>0成立即可,
解得5-120,-6k2-21-2k2>0,解得k2>12,故AB=22(1+k2)2k2-1.
设原点到直线l的距离为d,
∴S1S2=12AB·d12CD·d=ABCD=22(1+4k2)4(2k2-1)=22×2+32k2-1∈(2,+∞).
综上可知,S1S2的最小值为2.