苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆同步练习题

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆同步练习题，共24页。试卷主要包含了设椭圆C，故选D等内容，欢迎下载使用。
题组一 由椭圆的标准方程探究其几何性质
1.椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=π3,则m= ( )
A.1 B.2 C.3 D.2
2.(2024重庆西南大学附属中学期中)椭圆x225+y29=1和椭圆x29-k+y225-k=1(00)上一点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,若△PF1F2的周长为6,且椭圆的离心率为12,则椭圆的方程为( )
A.x22+y2=1 B.x24+y2=1
C.x24+y23=1 D.x23+y24=1
7.(2024广西玉林四校联考)已知F,A分别为椭圆的一个焦点和短轴的一个端点,椭圆的长轴长是10,且cs∠OFA=45,则椭圆的方程为( )
A.x225+y216=1或x216+y225=1 B.x225+y216=1
C.x225+y29=1或y225+x29=1 D.x225+y29=1
8.(2024江苏宿迁泗阳期中)阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积是83π,长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形,则椭圆的方程为( )
A.x224+y28=1 B.x228+y212=1
C.x232+y216=1 D.x236+y218=1
题组三 求椭圆离心率的值(或范围)
9.(2023四川绵阳实验高级中学质检)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在点P,使得PF1=3PF2,其中F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.0,14 B.14,1 C.12,1 D.12,1
10.(2024江苏连云港高级中学期中)已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足MF1·MF2=0的点M总在椭圆的内部,则椭圆离心率的取值范围是 ( )
A.0,12 B.0,22
C.12,22 D.22,1
11.(2023江苏镇江句容碧桂园学校期中)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0),斜率为2的直线与椭圆交于M,N两点,且MN的中点坐标为(1,-1),则椭圆C的离心率是( )
A.12 B.22 C.32 D.23
12.(2024江苏苏州三校阶段检测)在△ABC中,AC⊥BC,sin A=35,以A,C为焦点且经过点B的椭圆的离心率记为e1,以B,C为焦点且经过点A的椭圆的离心率记为e2,则e1e2= .
题组四 椭圆几何性质的应用
13.(2023北京清华大学附属中学朝阳学校期中)如图,椭圆C:x236+y29=1与x轴交于点A,B,把线段AB分成6等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P1,P2,P3,P4,P5,F是椭圆C的右焦点,则P1F+P2F+P3F+P4F+P5F=( )
A.20 B.153 C.36 D.30
14.(多选题)(2024广东广州期中)如图所示,用一个与圆柱底面所成的角θ=π3的平面截圆柱,所得截面是一个椭圆,已知圆柱底面圆的半径为2,则( )
A.椭圆的长轴长等于4
B.椭圆的离心率为32
C.椭圆的标准方程可以是x216+y24=1
D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-23
15.(2023江苏南京师范大学附属中学期中)若F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点P,Q为椭圆C上关于坐标原点对称的两点,且PQ=F1F2,则四边形PF1QF2的面积为 .
16.(2024浙江嘉兴八校联盟期中)给定椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径是a2+b2的圆为椭圆C的准圆.已知椭圆C的一个焦点为F(2,0),其短轴的一个端点到点F的距离为3.
(1)求椭圆C和其准圆的方程;
(2)若点A,B是C的准圆与x轴的两个交点,P是C上的一个动点,求AP·BP的取值范围.
能力提升练
题组 椭圆的几何性质及其应用
1.(2022山东青岛期中)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是32,左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上一点,且∠F1PF2=π2,△F1PF2的面积等于3,则椭圆E的方程为( )
A.x28+y22=1 B.x24+y2=1
C.x220+y25=1 D.x212+y23=1
2.(2023江苏南京期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,连接AF2并延长,交椭圆C于点B,若BF1∶BF2=7∶3,则椭圆C的离心率为( )
A.14 B.13 C.12 D.33
3.(2024浙江杭州师范大学附属中学期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为26,它与y轴的一个交点坐标是(0,-2),过点P32,12的直线与椭圆C交于A,B两点,且满足PA+PB=0,若M为直线AB上任意一点,O为坐标原点,则OM的最小值为( )
A.1 B.2 C.2 D.22
4.(2024江苏泰州中学质检)已知F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,若E上存在不同的两点A,B,使得F1A=2F2B,则椭圆E的离心率的取值范围为( )
A.(2-1,1) B.(0,2-1)
C.(0,3-22) D.(3-22,1)
5.(多选题)(2023湖南衡阳四中期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线l:x-y-1=0交于A,B两点,记直线l与x轴的交点为E,点E,F关于原点对称,若∠AFB=90°,则( )
A.2a2+b2=a2b2
B.椭圆C过四个定点
C.存在实数a,使得AB=3
D.ABb>0)的左、右焦点分别是F1,F2,其中F1F2=2c,直线l:y=k(x+c)(k∈R)与椭圆交于A,B两点,则下列说法中正确的有( )
A.若AB的中点为M,则kOM·k=b2a2
B.△ABF2的周长为4a
C.若AB的最小值为3c,则椭圆的离心率e=13
D.若AF1·AF2=3c2,则椭圆的离心率的取值范围是55,12
7.(2024黑龙江哈尔滨第三中学期中)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为63,点A1,A2为其长轴的两个端点,点P为椭圆C上异于A1,A2的一点,则直线PA1和PA2的斜率之积等于 .
8.(2024四川成都期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为74,斜率为正的直线l与椭圆C交于A,B两点,与x轴、y轴分别交于P,Q两点,且AP=PQ=QB,则直线l的斜率为 .
9.(2023江苏常州第二中学期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0,-2),且离心率为22,右焦点为F.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知点M满足2OM=OF(O为坐标原点),在椭圆C上是否存在点B(异于C的顶点),使得直线AB与以M为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点?若存在,求出直线AB的方程;若不存在,请说明理由.
10.(2023江苏盐城中学期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设A(-2,0),过点R(1,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆C于M,N两点,连接AM,AN,分别交直线x=3于P,Q两点,若直线PR、QR的斜率分别为k1、k2,则k1·k2是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
3.1.2 椭圆的几何性质
基础过关练
1.C 由题意得a=m2+1,b=m,c=1,∠F1AO=π6(O为坐标原点),则tan π6=cb=1m=33,所以m=3.故选C.
2.B 椭圆x29-k+y225-k=1的焦点在y轴上,且a=25-k,b=9-k,c=25-k-(9-k)=4.椭圆x225+y29=1的焦点在x轴上,且a=5,b=3,c=4,所以两个椭圆有相等的焦距.由于00),A,B分别为长轴的左、右端点,则2a=4,a=2.过C作CD⊥AB,垂足为D.由BC=2,∠CBA=45°,可得CD=BD=1,则C(1,1)或C(1,-1),又C在椭圆上,所以14+1b2=1,解得b2=43,所以c=4-43=263,所以焦距2c=463.故选A.
4.ACD 由椭圆方程知a=2,b=1.
对于A,PF1+PF2=2a=22,故A正确;
对于B,c=a2-b2=1,故离心率e=22,故B错误;
对于C,短轴长为2b=2,长轴长为2a=22,故C正确;
对于D,PF1+PF2=22≥2PF1·PF2,故PF1·PF2≤2,
当且仅当PF1=PF2=2时等号成立,
故cs∠F1PF2=PF12+PF22-F1F222PF1·PF2=(PF1+PF2)2-2PF1·PF2-F1F222PF1·PF2=4-2PF1·PF22PF1·PF2≥0,故D正确.故选ACD.
5.A 因为椭圆x29+y24=1的焦点坐标为(±5,0),
所以所求椭圆的焦点坐标为(±5,0),即c=5,
因为所求椭圆的短半轴长为25,所以b=25,
所以a2=b2+c2=20+5=25,
故所求椭圆的方程为x225+y220=1.故选A.
6.C 设椭圆的半焦距为c,则c>0,由题意可得2a+2c=6,e=ca=12,a2=b2+c2,解得a=2,b=3,c=1,所以椭圆的方程为x24+y23=1.故选C.
7.C 当焦点在x轴上时,cs∠OFA=OFAF=cc2+b2=ca=45,
因为2a=10,所以a=5,c=4,则b2=a2-c2=9,所以椭圆方程为x225+y29=1;
同理,当焦点在y轴上时,椭圆方程为y225+x29=1.
故选C.
8.A 由已知得83ππ=ab,则ab=83①,
由长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形,得a2+b2=2b②,
联立①②得b2=8,a2=24,故椭圆的方程为x224+y28=1.故选A.
9.D 由椭圆的定义得PF1+PF2=2a,
因为PF1=3PF2,所以PF1=32a,PF2=12a,
而PF1-PF2≤F1F2=2c,当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立,
即32a-12a≤2c,即a≤2c,则e=ca≥12,又01,所以AB的取值范围为(22,4),故C正确,D错误.故选ABC.
6.BD 对于A,设A(x1,y1),B(x2,y2),则k=y1-y2x1-x2,Mx1+x22,y1+y22,可得kOM=y1+y22x1+x22=y1+y2x1+x2,
由A,B在C上,得x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式相减得x12-x22a2=-y12-y22b2,即y12-y22x12-x22=-b2a2,所以kOM·k=y12-y22x12-x22=-b2a2,故A错误;
对于B,直线l恒过点(-c,0),即左焦点F1,
所以△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=2a+2a=4a,故B正确;
对于C,直线l所过的定点F1(-c,0)在椭圆内部,故l与椭圆相交,
联立y=k(x+c),x2a2+y2b2=1,消去y可得(a2k2+b2)x2+2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0,
则x1+x2=-2a2k2ca2k2+b2,x1x2=a2k2c2-a2b2a2k2+b2,
则AB=1+k2-2a2k2ca2k2+b22-4(a2k2c2-a2b2)a2k2+b2
=21+k2a4k4(a2-b2)(a2k2+b2)2-a2k2(a2-b2)-a2b2a2k2+b2
=21+k2a2k2+b2·a6k4-a4k4b2-(a4k2-a2b2k2-a2b2)(a2k2+b2)
=21+k2a2k2+b2·a2b4(k2+1)=2ab2(1+k2)a2k2+b2
=2b2a+2ab2-2b4aa2k2+b2
=2b2a+2b2c2a3k2+ab2,
令t=k2≥0,可知f(t)=2b2a+2b2c2a3t+ab2在[0,+∞)上单调递减,无最小值,故C错误;
对于D,AF1=(-c-x1,-y1),AF2=(c-x1,-y1),则AF1·AF2=x12+y12-c2=3c2,可得x12+y12=4c2,
由x12a2+y12b2=1,可得y12=b21-x12a2,则x12+b21-x12a2=4c2,整理得x12=a2(4c2-b2)c2,又-a≤x1≤a,
所以0≤a2(4c2-b2)c2≤a2,即0≤4c2-b2≤c2,则0≤4c2-(a2-c2)≤c2,
所以0≤5c2-a2≤c2,即4c2≤a2≤5c2,即4e2≤1≤5e2,解得55≤e≤12,故D正确.故选BD.
7.答案 -3或-13
解析 若a>b>0,则不妨取A1(0,-a),A2(0,a),
设P(x0,y0)(x0≠0),由P在椭圆C上,得y02a2+x02b2=1,即x02=b2a2(a2-y02),
所以kPA1·kPA2=y0+ax0·y0-ax0=y02-a2x02=y02-a2b2a2(a2-y02)=-a2b2,
∵ca=63,∴a2-b2a2=23,即b2a2=13,
故kPA1·kPA2=-a2b2=-3;
若b>a>0,则不妨取A1(-b,0),A2(b,0),
设P(x1,y1)(x1≠±b),由点P在椭圆C上,得y12a2+x12b2=1,则y12=a2b2(b2-x12),
则kPA1·kPA2=y1x1+b·y1x1-b=y12x12-b2=a2b2(b2-x12)x12-b2=-a2b2,
∵cb=63,∴b2-a2b2=23,即a2b2=13,
故kPA1·kPA2=-a2b2=-13,
故直线PA1和PA2的斜率之积为-3或-13.
8.答案 34
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的斜率为k(k>0),点A在第一象限,
∵AP=PQ=QB,∴AP=PQ=QB,且A,B,P,Q四点共线,
∴xP-x1=xQ-xP=x2-xQ,yP-y1=yQ-yP=y2-yQ,
又∵xQ=0,yP=0,∴x1=-2x2,y1=-12y2,
∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上,
∴x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,
两式相减可得x12-x22a2+y12-y22b2=0,即y12-y22x12-x22=-b2a2,
∴y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=-b2a2,
又k=y1-y2x1-x2=-12y2-y2-2x2-x2=12·y2x2,
∴y1+y2x1+x2=-12y2+y2-2x2+x2=-12·y2x2=-k,
∴-k2=-b2a2,∴k2=b2a2=a2-c2a2=1-ca2=1-716=916,∴k=±34,又k>0,∴k=34.
9.解析 (1)由题意可知b=2,ca=22,a2=b2+c2,解得a=22,b=2,c=2,
故椭圆C的标准方程为x28+y24=1.
(2)假设存在满足题意的点B,则由题意可得直线AB和直线MP的斜率均存在.
设直线AB的方程为y=kx-2,k≠0,
联立y=kx-2,x28+y24=1,消去y可得(2k2+1)x2-8kx=0,
解得x=0或x=8k2k2+1,则点B8k2k2+1,4k2-22k2+1.
因为P为AB的中点,A(0,-2),所以P4k2k2+1,-22k2+1.
由2OM=OF,F(2,0)可得M(1,0),
所以直线MP的斜率为-22k2+14k2k2+1-1=22k2-4k+1.
因为直线AB与以M为圆心的圆相切于点P,所以AB⊥MP,
所以k·22k2-4k+1=-1,整理得2k2-2k+1=0,方程无实数解.所以不存在满足题意的点B.
10.解析 (1)由题意得e=ca=22,b=|0-0+2|12+(-1)2,a2=b2+c2,解得a=2,b=2,c=2,
故椭圆C的方程为x24+y22=1.
(2)设l的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),
由x=my+1,x24+y22=1消去x,得(m2+2)y2+2my-3=0,
所以y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-3m2+2,
由A、M、P三点共线可知kAM=kAP,即y1x1-(-2)=yP3-(-2),所以yP=5y1x1+2,同理可得yQ=5y2x2+2,
故k1k2=yP3-1·yQ3-1=14yPyQ=14·5y1x1+2·5y2x2+2
=254×y1y2(my1+3)(my2+3)=254×y1y2m2y1y2+3m(y1+y2)+9
=254×-3m2+2-3m2m2+2+-6m2m2+2+9=254×-16=-2524,
因此k1·k2为定值-2524.