人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品第2课时精练

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【夯实基础】
题型1 双曲线定义的应用
1.已知双曲线：的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为的三角形，则双曲线的离心率为
A．B．C．3D．5
【答案】B
【详解】根据双曲线的对称性知：
2.已知双曲线方程为，左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】易知两渐近线的夹角为60°，再由离心率公式和即可得解.
【详解】由对称性知两渐近线夹角为60°，∴，∴.
故选：B．
3.双曲线(，)的渐近线方程为，实轴长为2，则为（ ）
A．-1B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设得，再由渐近线方程，结合已知即可求得参数m、n，进而可得.
【详解】双曲线(，)的渐近线方程为，实轴长为2，得，
∴，且，则，∴.故选：C.
4.若双曲线的一条渐近线方程为，则离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由双曲线的渐近线方程可以确定与的等量关系，转化解出离心率．
【详解】解：由题意可知双曲线的渐近线方程为，，
，故选：A．
5.若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线方程写出渐近线方程，得出，进而可求出双曲线的离心率.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
又其中一条渐近线的倾斜角为，所以，则，
所以该双曲线离心率为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记基础题型.
题型2直线与双曲线的位置关系
6.已知点在双曲线上，斜率为k的直线l过点且不过点P．若直线l交C于M，N两点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据点在双曲线求出双曲线方程，根据 可得，利用韦达定理代入即可求解.
【详解】因为点在双曲线上，
所以解得，所以双曲线.
设，，
联立整理得，
所以，
所以，
，
因为，所以，
即，
所以，
整理得解得或，
当时，直线过点，不满足题意，所以，故选:A.
7.双曲线的左右焦点分别为，离心率为2，过斜率为的直线交双曲线于A，B，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的离心率为2，得到c=2a，根据过的直线的斜率为，得到，然后分别在和中，利用余弦定理求得，然后在中，利用余弦定理求解.
【详解】解：因为双曲线的离心率为2，所以c=2a，
因为过斜率为，所以，则，
在中，设，则，
由余弦定理得，
解得，则，
同理在中，设，则，
由余弦定理得，
解得，则，则，
所以在中，由余弦定理得，故选：C
8.已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支相交于点，与双曲线的右支相交于点，为坐标原点.若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】设，则，根据双曲线的定义，结合直角三角形的勾股定理，建立方程求出，的关系进行求解即可.
【详解】设，则，，，
同理，，，
，，
在，中，，
即，得，
有，，在中，由，
即，得，即离心率，故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，结合双曲线的定义和性质，利用勾股定理建立方程是解决本题的关键，属于常考题型.
9.已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知△FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为2，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得．
【详解】抛物线的准线方程为，联立双曲线，解得，由题意得，所以，所以，故选:D
【点睛】本题考查双曲线的简单性质．解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出△FAB为等腰直角三角形．
10.已知F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得和的值，再结合余弦定理计算离心率.
【详解】不妨设点在第一象限，的角平分线交轴于点，因为点是线段的中点，所以，根据角平分线定理可知，又因为，所以，，由余弦定理可得，所以，所以.
故选：B
【点睛】本题考查双曲线的离心率，双曲线的定义，三角形角平分线定理，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型.
题型3弦长公式及中点弦问题
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的一条渐近线上的点，且线段的中点在另一条渐近线上．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】由中位线可知，即可得出一条渐近线的斜率，据此得出离心率.
【详解】因为分别是的中点，所以，又，
所以，即，所以，故.
故选：A
12.已知是双曲线的右焦点，过点作垂直于轴的直线交于双曲线于两点，分别为双曲线的左、右顶点，连接交轴于点，连接并延长交于点，且为线段的中点，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先将代入双曲线，得到两点坐标，写出直线的方程，得到点坐标，写出直线的方程，得到点坐标，利用为线段的中点，构造出关于的方程，结合双曲线中，得到离心率的方程，解出离心率.
【详解】根据题意，画出示意图，如图所示，则的横坐标都为，代入双曲线方程得,
而，所以直线方程为，
令，得
所以直线:，令得，，
因为为线段中点，所以可得
，整理得，所以故选C项.
【点睛】本题考查双曲线的通径，直线与双曲线的位置关系，直线的表示和交点的计算，属于中档题.
13.（多选题）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．左焦点到渐近线的距离为1
C．直线双曲线有两个公共点
D．过右焦点截双曲线所得弦长为的直线只有三条
【答案】ABD
【分析】根据双曲线的基本性质，以及直线和双曲线的位置关系逐项分析判断即可得解.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
且点与原点连线的斜率小于，
所以可设双曲线方程为.
又双曲线过点，所以，
所以双曲线的方程为，A正确；
由双曲线方程知，，，
则左焦点为，渐近线方程为，
则左焦点到渐近线的距离，B正确；
由得，
代入双曲线的方程并整理得，
解得，所以，
故直线与双曲线只有一个公共点，C错误；
双曲线的通径长为，
因此过右焦点，两端点都在右支上且弦长为的弦有两条，
又双曲线的两顶点间距离为，
因此端点在双曲线左，右两支上且弦长为的弦只有一条，为实轴，
所以共有三条弦的弦长为，D正确.故选：ABD.
14.（多选题）已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2
B．若F为C的左焦点，点P在C上，则满足的点M的轨迹方程为
C．若A，B在C上，线段AB的中点为，则线段AB的方程为
D．若P为双曲线上任意一点，点P到点和到直线的距离之比恒为2
【答案】BCD
【分析】根据点到直线距离公式求顶点到其渐近线的距离，判断A，根据曲线轨迹方程的求法求出点M的轨迹方程，判断B，由点差法判断C，根据两点距离公式和点到直线的距离公式计算点P到点和到直线的距离由此判断D.
【详解】双曲线的顶点为，，渐近线方程为，
顶点到渐近线的距离，
顶点到渐近线的距离，A错，
双曲线的左焦点的坐标为，设，，
∵，∴ ，
∴ ，，又在双曲线上，
∴ ，∴ ，B对，设，，
∵ 线段AB的中点为，∴ ，
由已知可得，所以，∴，∴ 直线AB的斜率为3，
∴ 线段AB的方程为，即，
联立与双曲线的方程可得，化简得，
方程有两解，所以直线与双曲线相交，满足要求，C对，
设，点到点的距离，
∴，又点P到到直线的距离，
∴ 点P到点和到直线的距离之比恒为2，D对，故选：BCD.
15.在平面直角坐标系中，点在双曲线上，的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线，分别交的两条渐近线于两点，则下列结论正确的个数为（ ）
①双曲线的离心率为；
②直线的方程为；
③直线截双曲线所得弦长为3；
④．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由渐近线方程可得的值，从而即得双曲线的离心率判断①；由点在双曲线上和渐近线方程得的值，从而得的值，利用点斜式即可解决②；联立直线与双曲线的方程解出点，然后利用弦长公式即可知③；联立直线与渐近线方程得出的坐标，利用向量坐标公式即可得的值，从而判断④.
【详解】由题意双曲线的渐近线的方程为，
焦点在轴上，所以，所以双曲线的离心率为：，
故①正确；
因为点在双曲线上， 所以，联立，
解得：，所以，
所以，所以过点作斜率为的直线为：，
故②不正确；
由上述可知双曲线，联立，
消去整理得：，解得：，
所以直线截双曲线所得弦长为：，
故③正确；
由双曲线的渐近线方程为：，
由，解得点，由，解得点，
所以，故④正确，故选：C.
【能力提升】
单选题
1.若双曲线的离心率为 ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由双曲线的离心率列式计算，写出双曲线渐近线方程.
【详解】由双曲线，得，
则离心率，解得，
则双曲线的渐近线方程为，即为，故选：C
2.已知、分别为双曲线（，）的左、右焦点，圆与该双曲线相交于点，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】判断出三角形是直角三角形，结合求得的关系，再结合双曲线的定义列方程，化简求得双曲线的离心率.
【详解】由，得，即以为直径的圆，
于是，即三角形是直角三角形，
由于，则，于是，，
由，得，所以.故选：D
3.过点的直线与双曲线有唯一公共点，这样的直线有
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【分析】根据给定条件设出过点的直线方程，与双曲线方程联立，由方程组有唯一解判断作答.
【详解】过点的直线斜率不存在时，直线方程为：，将代入双曲线方程得：，
即此直线与双曲线有两个公共点，不符合要求，
因此，过点与双曲线有唯一公共点的直线斜率存在，直线的方程为，
由消去y并整理得：，
当，即时，上述关于x的一元二次方程只有1个解，即方程组有唯一解，
此时，直线与双曲线有唯一公共点，这样的直线有2条，
当时，，方程组有两个不同的解，
此时，直线与双曲线有两个公共点，不符合要求，
所以过点与双曲线唯一公共点的直线有2条.故选：B
4.过双曲线的左焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，与另外一条渐近线交于点，若，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】过左焦点与渐近线垂直的直线方程是,联立可得，故，.设直线的倾斜角是，又，根据诱导公式及二倍角的正切公式可得，从而可求解.
【详解】双曲线的左焦点，渐近线方程是，
过左焦点与渐近线垂直的直线方程是.
由，得.点的坐标是.
则.，.
设直线的倾斜角是，则.,
,
整理得,解得或（舍去）,
.故选:C.
5.双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为，点，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为（ ）
A．8B．10C．D．
【答案】B
【分析】利用已知条件求出a、b，求出双曲线方程，利用双曲线定义转化求解三角形的最小值即可.
【详解】由已知得，又，所以，
所以双曲线方程为，设双曲线的另一个焦点为F′，则|PF|＝|PF′|＋4，
△PAF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PF′|＋4＋|PA|＋3，
当F′，P，A三点共线时，|PF′|＋|PA|有最小值，为|AF′|＝3，
故△PAF的周长的最小值为10.故选：B.
【点睛】本题主要考查了双曲线定义及标准方程，利用定义转化求最小值的问题.
6.已知为双曲线的右焦点，是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点（其中在第一象限），，且的中点在双曲线上，则的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题知是直角三角形，是斜边中点，得 ，从而求出点坐标，得到点坐标，再代入双曲线方程化简可得离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程，，可得，
设 ， 解得：，
所以，双曲线的右焦点坐标，可得的中点坐标在双曲线上，所以，，，，（舍去），
故选：A．
【点睛】本题考查求双曲线离心率，求双曲线离心率的三种方法：
（1）直接求出来求解通过已知条件列方程组，解出的值；
（2）构造的齐次式，解出由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于离心率的一元二次方程求解；
（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
7.已知双曲线的左右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线在第二象限与第四象限的交点分别为、，若的面积为（其中），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】连，由条件和双曲线的对称性可四边形为矩形，，，由，结合勾股定理和双曲线定义，求出关系，进而求出渐近线的斜率，即可求解.
【详解】连，以为直径的圆与双曲线在第二象限与第四象限的交点分别为、，根据双曲线对称性， 为圆的直径，所以四边形为矩形， ，

，，
，
，所以渐近线方程为.故选:A.
【点睛】本题考双曲线的定义以及简单几何性质，考查圆的性质，属于中档题.
8.设分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分,过原点作的平行线交于点,若,则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】首先根据相似三角形可得，根据角平分线定理及双曲线的定义可得，两式相等即可求出双曲线离心率.
【详解】由题意可得：，则，∴，
由角平分线的性质可得：，结合，
故，∴，所以，整理可得：，即，∴.故选：A.
多选题
9.（多选）对于方程和（且）所表示的双曲线，下列说法正确的是（ ）
A．有相同的顶点B．有相同的焦点C．有相同的离心率D．有相同的渐近线
【答案】CD
【分析】根据方程，分别求得两方程的a，b，c和，，的值，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于双曲线，，，；
对于双曲线，，，，
显然，，分别是，，的倍，
所以两双曲线的顶点、焦点坐标均不同，故A、B错误；
，，所以有相同的离心率，故C正确；
，，所以有相同的渐近线，故D正确.故选：CD
10.（多选）已知中心在原点，且关于坐标轴对称的双曲线M的离心率为，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线M的方程可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】利用双曲线的离心率公式，以及，建立方程组求解即可．
【详解】焦点到一条渐近线的距离为b，所以，因为，所以，所以该双曲线的方程为或．
故选：AB
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，解题的关键是熟练掌握双曲线的性质和离心率问题．
11.已知双曲线，、分别为双曲线的左、右顶点，、为左、右焦点，，且，，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别为，，则下列说法正确的是（ ）．
A．当轴时，
B．双曲线的离心率
C．为定值
D．若为的内心，满足，则
【答案】BCD
【分析】对于A求出点，再求的值即可判断；对于B由，解出e的值即可；对于C，写出，利用点 在双曲线上化简即可求解；对于D，设圆I的半径为r，可推出，再结合双曲线的定义，即可得解．
【详解】∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，如图，
对于A，当PF2⊥x轴时，点P为,
，显然 ，即选项A错误；
对于B，
∴e2﹣e﹣1＝0，解得（舍负），即选项B正确；
对于C,设，则，所以 ，
由点在双曲线上可得，
代入，故C正确；
对于D，设圆I的半径为r，
，即， 由双曲线的定义知，
，即， 故选项D正确；故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义与几何性质，圆的切线性质，根据数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，是解决本题的关键所在，属于中档题．
12.设，是双曲线的左、右焦点，O是坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．双曲线的离心率为
C．点P在直线上D．双曲线的渐近线方程为
【答案】ABC
【分析】利用点到直线的距离公式可判断A；求出，由，得到，根据余弦定理可知，可判断B；由点在直线上，可设，由可判断C；由得渐近线的方程可判断D.
【详解】由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为，即，
焦点，，
因为过作的一条渐近线的垂线，垂足为，
所以，故A正确；
因为，则，
所以，在三角形中，根据余弦定理可知
，解得，即离心率或（舍），故B正确；
因为点在直线上，可设，由可知，
，解得，故C正确；
因为，解得，所以渐近线的方程为，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质以及渐近线方程、离心率的求法，关键点是熟练掌握双曲线的几何性质，考查综合分析问题、解决问题能力及运算能力，属于中档题.
填空题
13.以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 ．
【答案】
【分析】求得圆心和半径，由此求得圆的方程.
【详解】依题意，所以渐近线为，右焦点，
右焦点到渐近线的距离为.
所求圆的方程为.故答案为：
14.已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，A为双曲线的右支上一点，点A关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】由对称性和双曲线定义得到，，，在中，，由余弦定理列出方程，求出，得到离心率.
【详解】由对称性可知：，故，
由双曲线定义可知：，即，
所以，又因为，
在中，由余弦定理得：，
即，解得：，
故离心率为.故答案为：
15.已知圆的圆心为双曲线的一个焦点，半径为双曲线的实半轴长.若圆与双曲线的一条渐近线交于点，且，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】根据垂直关系可求得，利用垂径定理可构造方程求得，由离心率可求得结果.
【详解】不妨设双曲线，圆，
由得：，；
取双曲线的一条渐近线，即，到渐近线的距离，
，解得：，双曲线的离心率.故答案为：.
16.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，为的内心，且，则的离心率为 ．
【答案】4
【分析】根据三角形内角平分线定理、三角形内心的性质，结合平面向量线性运算的性质、双曲线的定义和离心率公式进行求解即可.
【详解】如图所示，在焦点三角形中， 处长交于点，
因为为的内心，所以有，
，
因为，所以有，
因此的离心率为，故答案为：
【点睛】关键点睛：运用三角形内角平分线定理、平面向量线性运算、三角形内心的性质是解题的关键.
解答题
17.如图，已知为椭圆 的右焦点，直线过点且与双曲线的两条渐近线分别交于点，与椭圆交于点.
（1）若，双曲线的焦距为4，求椭圆方程；
（2）若（为坐标原点），，求椭圆的离心率.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由双曲线的两条渐近线的夹角,根据渐近线方程可得到关于，的等式，再根据双曲线的焦距又可得到一个含，的等式，解得，的值，代入椭圆中，即可得到椭圆方程;
（2）根据可知直线垂直于，因为是双曲线的渐近线，可求出的方程，再根据垂直于，就可得到的斜率，再根据点坐标求出直线的方程，再由求出点坐标，代入椭圆方程，就可得到关于，的齐次式，即可求出离心率．
【详解】（1）∵双曲线的焦点在轴上，
∴渐近线方程为∴渐近线的斜率为又∵，
∴渐近线的倾斜角为，∴，即
又∵双曲线的焦距为4，∴，解得，
∴椭圆方程为
（2）设椭圆的焦距为，则点的坐标为
∵，∴
∵直线的方程为，∴直线的斜率为，
∴直线的方程为
联立，方程，由解得，即点，
设，由，得，
即，解得，
则，
∵点在椭圆上，代入椭圆方程，得，即，
∴，即，解得，
则椭圆的离心率是.
18.已知双曲线C：经过点，且双曲线C的右顶点到一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P分别作两条互相垂直的直线PA，PB与双曲线C交于A，B两点（A，B两点均与点P不重合），设直线AB：，试求和之间满足的关系式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点代入得，根据点到直线得距离公式可得，求得，即可得解；
（2）设，联立方程，利用韦达定理求得，再根据，可得，计算从而可得出答案.
【详解】（1）已知双曲线C：经过点，
则，右顶点为，不妨取渐近线为，即，
则，从而可解得，所以双曲线C的方程为；
（2）设，
联立，消得，
则，
则，
，
，
因为，则，
即，
即，
即，
整理得，所以.
【点睛】关键点点睛：本题考查了利用待定系数法求双曲线的方程，考查了直线与双曲线的位置关系，解决第二问的关键在于由转化为，计算量比较大，有一定的难度.
19.已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：；
(3)求△F1MF2的面积．
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)6
【解析】(1)根据设双曲线的方程为，由点在双曲线上，代入，即可得到双曲线的方程；
(2)根据题意求出，，根据向量数量积的坐标运算得到以及由点M在双曲线上得到，即可证明；
(3)以为底，以点M的纵坐标为高，即可得到△F1MF2的面积.
【详解】(1)因为，所以双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为.因为双曲线过点，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为.
(2)证明：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则， 所以，因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以.
(3)的底.由(2)知.所以的高，所以
【点睛】本题主要考查了求双曲线的标准方程以及向量的坐标运算等，属于中档题.
20.已知，为双曲线E：（，）的左、右焦点，E的离心率为，M为E上一点，且.
(1)求E的方程；
(2)设点M在坐标轴上，直线l与E交于异于M的A，B两点，且点M在以线段AB为直径的圆上，过M作，垂足为C，是否存在点D，使得为定值？若存在，求出点D的坐标以及的长度；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在；点，为定值
【分析】（1）根据双曲线的离心率和双曲线的定义求出和c，即可求出双曲线的方程；
（2）分类讨论的斜率存在与不存在两种情况，使直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理和求出直线方程，进而得出所过定点以及的长度.
【详解】（1）由题意，双曲线E的离心率为得，
根据双曲线的定义可知，，所以，则，所以，
所以E：.
（2）由题意及（1）得，在E：中，，
所以点M在双曲线E的左支上，点M在坐标轴上，则点M的坐标为，
设，，
当AB的斜率存在时，设AB的方程为，
联立，整理得，
，则，
则，，
因为M在以AB为直径的圆上，所以，
则，
所以，
整理得，解得或，验证均满足．
当时，直线AB的方程为，则直线AB过点M，不合题意，舍去；
当时，直线AB的方程为，则直线AB过定点，符合题意.
当直线AB的斜率不存在时，由，
可设直线AM的方程为，联立，解得，，
所以直线AB的方程为：，则直线AB过定点.
因为，所以是以MQ为斜边的直角三角形，
所以点C在以MQ为直径的圆上，
则当D为该圆的圆心时，为该圆的半径，即，
故存在点，使得为定值.