第06讲 命题与证明（原卷版讲义）

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知识点一 推理的必要性
几何中研究图形的性质时,有些使用了观察、操作和实验等方法,但如果仅限于观察、操作和实验等方法，难以使人确信结果的正确性,所以在研究几何图形的性质时,还需要进行必要的推理.
特别提醒：
(1)推理不但可以使我们对知识的理解更全面、更深入，而且可以更快地获得新知识.
(2)要判断一个数学结论是否正确，仅仅靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步有理有据地进行推理，检验数学结论是否正确.
【例1】先观察再验证：（如图）
（1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？
（2）图（2）中两条线a与b哪一条更长？
（3）图（3）中的直线AB与直线CD平行吗？
【答案】（1）中的实线是直的；（2）a与b一样长；（3）AB与CD平行
【详解】试题分析： 在三条线段上分别取两点，连接得到直线，判断三条线段是否在直线上即可；
用直尺直接量出两线段的长度，比较即可；
测量的度数，若 则
试题解析：观察可能得出的结论是：
(1)中的实线是弯曲的；
(2)a更长一些；
(3)AB与CD不平行．
用科学的方法验证可发现：
(1)中的实线是直的；
(2)a与b一样长；
(3)AB与CD平行．
知识点二 命题
1.定义
对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子).
2.分类
真命题:正确的命题；
假命题:错误的命题.
特别提醒：
(1)“错误的命题不是命题”这一说法是不正确的事实上,假命题也是命题,
(2)命题中常见的关键词有“是”“不是”“大于”“小于”“如果………那么…”等.
【例2】下列语句中，①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②同角的余角相等；③负数有一个立方根；④相等的角是对顶角；假命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据平行线的判定和互余以及对顶角和立方根的概念判断即可．
【详解】①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题；
②同角的余角相等，是真命题；
③负数有一个立方根，是真命题；
④相等的角不一定是对顶角，是假命题；
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
☆方法技巧： 判断一个语句是否为命题的方法：
(1)命题必须是一个完整的语句，且是对某一事件的陈述，包括肯定句和否定句，而疑问句、感叹句和祈使句都不是命题.
(2)命题必须对某一事件作出肯定或否定的判断若满足以上两点，则是命题,否则不是命题.
知识点三 命题的组成
数学命题通常由题设和结论两部分组成,命题常写成“如果……那么……”的形式,即如果p，那么q.
特别提醒：
(1)通常情况下,命题都可以写成“如果……那么……”的形式，当有一些命题的条件和结论不是十分明显时，我们可以把它改写成“如果……那么……”的形式，再找出它的条件和结论.
(2)有些命题的条件和结论不止一个，此时要注意分清它们的条件和结论:
【例3】请将“等角的补角相等”请改写成“如果，那么”的形式 ．
【答案】如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等
【分析】本题考查了命题的改写，根据题意，找出题设和结论，运用命题的结果进行改写即可求解，掌握命题的组成元素是解题的关键．
【详解】解：等角的补角相等，题设是：等角的补角，结论是：补角相等，
∴改写的形式为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等 ．
知识点四 互逆命题
互逆命题
2. 反例:符合命题条件,但不满足命题结论的例子.
特别提醒：
(1)互逆命题是指两个命题间的关系.(2)当一个命题是真(假)命题时，它的逆命题不一定是真(假)命题.(3)要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.
【例4】写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明：
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)垂直于同一条直线的两直线平行；
(3)相等的角是内错角；
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形．
【答案】(1)同旁内角互补，两直线平行，真命题
(2)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题
(3)内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等
(4)等边三角形有一个角是60°真命题
【分析】写出各个命题的逆命题，作出判断即可．
【详解】（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题；
（2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题；
（3）内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等；
（4）等边三角形有一个角是60°真命题．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
知识点五 定理与证明
1.定理
证明
3.证明命题的一般步骤
第1步:分清命题的条件和结论,如果问题与图形有关,要根据条件画出图形,并在图形上标出有关字母与符号;
第2步:结合图形,写出已知、求证;
第3步:分析因果关系,找出证明途径，
第4步:有条理地写出证明过程(每一步推理都要有根据).
特别提醒：
符号“∵”读作“因为”,符号“∴”读作“所以”
【例5】如图，、相交于点，平分交于点，平分交于点，．求证：．
请填写证明过程中的推理依据．
证明：已知，


又平分 ， 平分 ，
， 角平分线的定义，
，
．

【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质与判定完成证明过程即可求解．
【详解】证明：已知，
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
又平分 ， 平分 已知，
，(角平分线的定义)，
等量代换，
内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:38:37；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jye.cm；学号：53016436
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/2 6:26:11；用户：小尧老师2号；邮箱：dgca15@jye.cm；学号：53016436
考点一：举例说明假（真）命题
例1．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（22-23八年级上·安徽滁州·期末）要说明命题“若，则”是假命题，下列所列举的反例错误的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（22-23八年级上·浙江温州·期中）证明“若，则”是假命题的反例可以是 ．（写一个即可）
【变式1-3】（21-22八年级上·浙江杭州·期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，则可以是 ．（只填一个值即可）
考点二：写出命题的题设与结论
例2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）把命题“全等三角形的对应中线相等”改写成“如果，那么”的形式： ．
【变式2-1】（22-23八年级上·上海浦东新·期中）将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式 ．
【变式2-2】（21-22八年级上·浙江温州·期中）将命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”改写成“如果…那么…”的形式 ．
【变式2-3】（21-22八年级上·安徽芜湖·阶段练习）一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的语句叫做命题．现阶段我们在数学上学习的命题可看作由题设（或条件）和结论两部分组成．现有一命题“对顶角相等”：
（1）请把此命题改写成“如果……那么……”的形式；
（2）写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假．
考点三：写出命题的逆命题
例3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）写出命题“如果，，那么”的逆命题： ．
【变式3-1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）请写出“对顶角相等”的逆命题
【变式3-2】（23-24八年级上·安徽池州·期末）“对顶角相等”请写出该命题的逆命题 ．
考点四：举反例
例4．（22-23八年级上·安徽合肥·期中）已知命题：“三角形三条高线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
【变式4-1】（21-22八年级上·安徽滁州·期末）对于命题“如果，那么”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式4-2】（23-24八年级上·浙江温州·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【变式4-3】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列选项中，可以用来证明命题“若，则．”是假命题的反例的是（ ）
A． B． C． D．
考点五：反证法证明中的假设
例5．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）用反证法证明命题：“已知，，求证：．”第一步应先假设 ．
【变式5-1】（23-24八年级上·吉林长春·阶段练习）用反证法证明，“在中，对边是．若，则．”第一步应假设 ．
【变式5-2】（23-24八年级上·山西临汾·期末）玲玲在用反证法证明“中至少有一个内角小于或等于”时，她应先假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于B．有一个内角大于等于
C．每一个内角都大于D．每一个内角都小于
【变式5-3】（23-24八年级上·福建泉州·期末）用反证法证明“若，，则”时，第一步应先假设（ ）
A．不平行于B．不平行于C．D．
考点六：用反证法证明命题
例6．（23-24七年级下·上海·阶段练习）在下列说法中：①三角形至少有两个锐角，②三角形最多有一个钝角，③三角形至少有一个内角的度数不少于．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【变式6-1】（23-24八年级上·河北邯郸·期末）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④）B．③④②①C．③④①②D．④③②①
【变式6-2】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）已知：如图，．
求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角．
下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾．
②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角．
③假设有两个（或三个）直角，不妨设．
④∵，
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①②B．③④②①C．①②③④D．③④①②
【变式6-3】（22-23八年级上·河南周口·期末）用反证法证明命题“若，则”时，应假设 ．
1．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）下列语句中，属于命题的是（ ）
A．作的平分线B．同旁内角互补
C．画线段D．你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢
2．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）下列命题是真命题的是( )
A．如果，那么点是的中点
B．三条线段分别为，，，如果，那么这三条线段一定能组成三角形
C．三角形的内角和等于
D．如果，那么
3．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）下列命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②两直线平行，同位角相等；③对顶角相等；④若，则；⑤邻补角的平分线互相垂直，其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）下列命题中，假命题是（ ）
A．三角形内角和是B．如果直线，，那么直线
C．如果，那么D．三角形任意两边之和大于第三边
5．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）下列命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等
C．在同一平面内有三条直线，，，若，，则
D．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
6．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）下列语句是命题的有（ ）
①连接； ②等边对等角； ③同角的余角不相等； ④作线段的垂直平分线； ⑤你来吗？
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）下列语句中是命题的是（ ）
A．作的平分线B．美丽的大自然C．同位角相等D．你吃饭了吗
8．（22-23八年级上·甘肃白银·期末）下列语句是命题的是（ ）
A．你喜欢数学吗？B．小明是男生C．城阳世纪公园D．加强体育锻炼
9．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）下列命题中，真命题是（ ）
A．相等的角是对顶角B．同旁内角互补
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
10．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等B．如果，那么
C．若，则D．同位角相等，两直线平行
11．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．无理数是无限小数
C．全等三角形的对应角相等D．若，则
12．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）命题“如果，那么”是 （填“真命题”或“假命题”）．
13．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
(1)两直线平行，同旁内角互补；
(2)如果，那么，．
14．（22-23八年级上·安徽滁州·期中）写出下列命题的逆命题，并判断真假．
(1)三角形三个内角的和等于；
(2)两直线平行，同旁内角互补．
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）
模块三 核心考点举一反三
模块四 小试牛刀过关测
1．掌握命题的概念，并能分清命题的组成部分；
2．经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解．理解原命题与逆命题的概念；
3．初步培养不同几何语言相互转化的能力．