初中数学北师大版（2024）七年级下册6 完全平方公式综合训练题

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2.理解平方差公式和完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算；
3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.
知识点01 平方差公式
平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
即(a+b)(a-b)=a²-b²
公式的几种变化：
①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；
（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²
②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²
③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=
④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²
⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=
⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b)
知识点02 完全平方公式
完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.
即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² 完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b²
公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍
公式的变化：
①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab
⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab
知识点03 平方差和完全平方差区别
平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²
完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b²
平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍
题型01 判断是否可用平方差公式运算.
【例题】下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练】
1．下列能使用平方差公式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
题型02 运用平方差公式进行运算.
【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)．
【变式训练】
1．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)； (2)；
(3)； (4)．
2．（2023·上海·七年级假期作业）计算：
(1)； (2)．
题型03 利用平方差公式进行简便运算.
【例题】（2023上·吉林长春·八年级校考阶段练习）用简便方法计算：
(1) (2)
【变式训练】
1．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)； (2)．
2．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)．
(2)．
(3)．
题型04 平方差公式与几何图形.
【例题】（2023上·江苏泰州·七年级靖江市靖城中学校联考期中）图1、图2分别由两个长方形拼成．
(1)图1中图形的面积为，图2中图形的面积为 ．（用含有a、b的代数式表示）
(2)由（1）可以得到等式： ．
(3)根据你得到的等式解决下列问题：
①计算：．
②若，求的值．
【变式训练】
1．（2023上·陕西安康·八年级校联考阶段练习）【实践操作】
（1）如图，在边长为的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（），把图中形的纸片按图剪拼，改造成了一个大长方形如图，用含、的式子表示图中大长方形的面积为______；

（2）请写出图、图、图验证的乘法公式为：______；
【应用探究】
（3）利用（）中验证的公式简便计算：；
（4）计算：．
2．（2023上·山东济南·七年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习）实战与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）．
A． B． C．
(2)请应用上面的公式完成下列各题：
①已知，，则______；
②计算：；
③计算：
题型05 运用完全平方公式进行运算
【例题】（2023上·河南信阳·八年级校考阶段练习）用乘法公式计算
(1)
(2)
【变式训练】
1．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
题型06 利用完全平方公式进行简便运算
【例题】用简便方法计算：．
【变式训练】
1．用简便算法计算
(1) (2)
题型07 通过对完全平方公式变形求值
【例题】（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）已知：，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【变式训练】
1．已知，，求下列代数式的值．
(1)
(2)
2．已知，求下列式子的值：
(1)；
(2)．
题型08 求完全平方式中的字母系数
【例题】已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ．
【变式训练】
1．若是一个完全平方式，则 ．
2．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ．
题型09 完全平方式在几何图形中的应用
【例题】（2023上·江苏·九年级专题练习）我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下：
解：，
，∴当时，的值最小，最小值是，
∴，∴当时，的值最小，最小值是，
∴的最小值是．
请你根据上述方法，解答下列各题．
(1)知识再现：当______时，代数式的最小值是______；
(2)知识运用：若，当______时，有最______值（填“大”或“小”），这个值是______；
(3)知识拓展：若，求的最小值．
【变式训练】
1．例：求代数式的最小值.
解：，
，，
当时，代数式有最小值，
仿照以上方法，完成下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)求代数式的最大值.
2．我们已学完全平方公式：，观察下列式子：
，
，原式有最小值是；
，
，原式有最大值是；
并完成下列问题：
(1)代数式有最 （填大或小）值，这个值= ．
(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务．
①用含的式子表示花圃的面积；
②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？
题型10 完全平方公式在几何图形中的应用
【例题】现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于、的关系式：（用、的代数式表示出来）；
图1表示： ；图2表示： ；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(2)若，，则 ； ；
(3)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【变式训练】
1．将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若，，求的值．
解：因为，所以，即．
又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，则 ；
(2)若，，求的值；
(3)两个正方形如图摆放，面积和为34，，则图中阴影部分面积和为 ．
2．如图①，正方形是由两个长为a、宽为b的长方形和两个边长分别为a、b的正方形拼成的．
(1)利用正方形面积的不同表示方法，直接写出、、之间的关系式，这个关系式是 ；
(2)若m满足，请利用（1）中的数量关系，求的值；
(3)若将正方形的边、分别与图①中的、重叠，如图②所示，已知，，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．
一、单选题
1．（2023上·河南驻马店·八年级统考阶段练习）下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）下列式子：① ；② ； ③，其中正确的是（ ）
A．①②③B．只有①②C．只有②D．只有①
3．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）若，，则的值是（ ）
A．27B．28C．29D．30
4．（2023上·山东济南·七年级山东省济南稼轩学校校考阶段练习）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023上·山东青岛·八年级统考期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到．若已知，由图2所表示的数学等式，则的值为（ ）
A．12B．11C．10D．9
二、填空题
6．（2023上·上海杨浦·七年级统考期末）计算： .
7．（2023上·重庆开州·八年级校联考阶段练习）若是一个完全平方式，那么 ．
8．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）如图，在边长为a的正方形中减去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证了公式 ．
9．（2023上·黑龙江牡丹江·八年级统考阶段练习）设是实数，定义一种新运算；．下面有四个推断：①；②；③；④．其中正确推断的序号是 ．
10．（2023上·甘肃兰州·七年级兰州市第五十五中学校考开学考试）对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：．根据这一规定，计算 ．
三、解答题
11．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
12．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）利用乘法公式计算下列各题
(1)
(2)
(3)
(4)
13．（2023上·四川宜宾·八年级校考阶段练习）（1）已知，求代数式的值．
（2）若，求
14．（2023上·吉林白城·八年级校联考期末）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法规为．
(1)计算：_______；
(2)化简二阶行列式的值．
15．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）下面是小明同学化简求值的过程，请你认真阅读并完成相应的任务．
先化简，再求值：，其中．
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
当时，原式．……第四步
(1)小明同学第________步开始出现错误．
(2)写出正确的化简求值过程．
16．（2023上·安徽阜阳·八年级统考阶段练习）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，则______，______（请用含a，b的代数式表示，只需表示，不必化简）．
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？这个乘法公式是______
(3)运用（2）中得到的公式，计算：．
17．（2023上·甘肃武威·八年级校考期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
(1)观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片多少张，号卡片多少张，号卡片多少张．
(3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
18．（2023上·河南周口·八年级校考期中）若x满足，求的值．
解：设，，
则，．
∴
．
(1)若x满足，求的值．
(2)若x满足，求的值．友情提示（2）中的可通过逆用积的乘方公式变成．
(3)若x满足，求的值．