新高考数学考前考点冲刺精练卷24《三角函数的图象与性质》（2份，原卷版+教师版）

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一、选择题
下列函数中，以eq \f(π,2)为周期且在区间(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))上单调递增的是( )
A.f(x)＝|cs 2x| B.f(x)＝|sin 2x|
C.f(x)＝cs|x| D.f(x)＝sin|x|
【答案解析】答案为：A
解析：A中，函数f(x)＝|cs 2x|的周期为eq \f(π,2)，当x∈(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))时，2x∈(eq \f(π,2)，π)，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为eq \f(π,2)，当x∈(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))时，2x∈(eq \f(π,2)，π，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cs|x|＝cs x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x≥0，,－sin x，x<0，))由正弦函数图象知，在x≥0和x＜0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确.
下列函数中，是周期函数的为( )
A.y＝sin|x| B.y＝cs|x| C.y＝tan|x| D.y＝(x﹣1)0
【答案解析】答案为：B
解析：∵cs|x|＝cs x，∴y＝cs|x|是周期函数.其余函数均不是周期函数.
函数f(x)＝sineq \f(x,3)＋cseq \f(x,3)最小正周期和最大值分别是( )
A.3π和eq \r(2) B.3π和2 C.6π和eq \r(2) D.6π和2
【答案解析】答案为：C
解析：因为函数f(x)＝sineq \f(x,3)＋cseq \f(x,3)＝eq \r(2)sin(eq \f(x,3)＋eq \f(π,4))，所以函数f(x)的最小正周期T＝6π，最大值为eq \r(2).
函数f(x)＝cs x﹣cs 2x，试判断函数的奇偶性及最大值( )
A.奇函数，最大值为2 B.偶函数，最大值为2
C.奇函数，最大值为eq \f(9,8) D.偶函数，最大值为eq \f(9,8)
【答案解析】答案为：D
解析：由题意，f(﹣x)＝cs (﹣x)﹣cs (﹣2x)＝cs x﹣cs 2x＝f(x)，所以该函数为偶函数，又f(x)＝cs x﹣cs 2x＝﹣2cs2x＋cs x＋1＝﹣2(cs x﹣eq \f(1,4))2＋eq \f(9,8)，所以当cs x＝eq \f(1,4)时，f(x)取最大值eq \f(9,8).
设函数f(x)＝2sin(2x﹣eq \f(π,3))＋eq \f(3,4)，则下列叙述正确的是( )
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,12)对称
C.f(x)在[eq \f(π,2)，π]上的最小值为﹣eq \f(5,4)
D.f(x)的图象关于点(eq \f(2π,3)，0)对称
【答案解析】答案为：C
解析：对于A，f(x)的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π，故A错误；
对于B，∵sin(2×eq \f(π,12)﹣eq \f(π,3))＝﹣eq \f(1,2)≠±1，故B错误；
对于C，当x∈[eq \f(π,2)，π]时，2x﹣eq \f(π,3)∈[eq \f(2π,3)，eq \f(5π,3)]，∴sin(2x﹣eq \f(π,3))∈[﹣1，eq \f(\r(3),2)]，
∴2sin(2x﹣eq \f(π,3))＋eq \f(3,4)∈[﹣eq \f(5,4)，eq \r(3)＋eq \f(3,4)]，∴f(x)在[eq \f(π,2)，π]上的最小值为﹣eq \f(5,4)，故C正确；
对于D，∵f(eq \f(2π,3))＝eq \f(3,4)，∴f(x)的图象关于点(eq \f(2π,3)，eq \f(3,4))对称，故D错误.
下列区间中，函数f(x)＝7sin(x﹣eq \f(π,6))的单调递增区间是( )
A.(0，eq \f(π,2)) B.(eq \f(π,2)，π) C.(π，eq \f(3π,2)) D.(eq \f(3π,2)，2π)
【答案解析】答案为：A
解析：令﹣eq \f(π,2)＋2kπ≤x﹣eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得﹣eq \f(π,3)＋2kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则﹣eq \f(π,3)≤x≤eq \f(2π,3).因为(0，eq \f(π,2))⊆[﹣eq \f(π,3)，eq \f(2π,3)]，所以区间(0，eq \f(π,2))是函数f(x)的单调递增区间.
已知函数y＝sin(ωx＋eq \f(π,3))(ω＞0)在区间(﹣eq \f(π,6)，eq \f(π,3))上单调递增，则ω的取值范围是( )
A.(0，eq \f(1,2)] B.[eq \f(1,2)，1] C.(eq \f(1,3)，eq \f(2,3)] D.[eq \f(2,3)，2]
【答案解析】答案为：A
解析：当﹣eq \f(π,6)＜x＜eq \f(π,3)时，﹣eq \f(πω,6)＋eq \f(π,3)＜ωx＋eq \f(π,3)＜eq \f(πω,3)＋eq \f(π,3)，当x＝0时，ωx＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,3).
因为函数y＝sin(ωx＋eq \f(π,3))(ω＞0)在区间(﹣eq \f(π,6)，eq \f(π,3))上单调递增，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(πω,6)＋\f(π,3)≥－\f(π,2)，,\f(πω,3)＋\f(π,3)≤\f(π,2)，))解得ω≤eq \f(1,2)，因为ω＞0，所以ω的取值范围是(0，eq \f(1,2)].
y＝|cs x|的一个单调递增区间是( )
A.[﹣eq \f(π,2)，eq \f(π,2)] B.[0，π] C.[π，eq \f(3π,2)] D.[eq \f(3π,2)，2π]
【答案解析】答案为：D
解析：将y＝cs x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cs x|的图象(如图).
故选D.
函数f(x)＝eq \r(2sin \f(π,2)x－1)的定义域为( )
A.[eq \f(π,3)＋4kπ，eq \f(5π,3)＋4kπ](k∈Z) B.[eq \f(1,3)＋4k，eq \f(5,3)＋4k](k∈Z)
C.[eq \f(π,6)＋4kπ，eq \f(5π,6)＋4kπ](k∈Z) D.[eq \f(1,6)＋4k，eq \f(5,6)＋4k](k∈Z)
【答案解析】答案为：B
解析：由题意，得2sineq \f(π,2)x﹣1≥0，eq \f(π,2)x∈[eq \f(π,6)＋2kπ，eq \f(5π,6)＋2kπ](k∈Z)，
则x∈[eq \f(1,3)＋4k，eq \f(5,3)＋4k](k∈Z).
函数f(x)＝sin(x＋eq \f(5π,12))cs(x﹣eq \f(π,12))是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的非奇非偶函数
D.最小正周期为π的非奇非偶函数
【答案解析】答案为：D
解析：由题意可得f(x)＝sin(x＋eq \f(5π,12))cs(x﹣eq \f(π,12))＝sin(x＋eq \f(5π,12))cs(x＋eq \f(5π,12)﹣eq \f(π,2))＝sin2(x＋eq \f(5π,12))，∴f(x)＝eq \f(1,2)﹣eq \f(1,2)cs(2x＋eq \f(5π,6))，故f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，由函数奇偶性的定义易知，f(x)为非奇非偶函数.
函数f(x)＝eq \f(sin x＋x,cs x＋x2)在[﹣π，π]的图象大致为( )
【答案解析】答案为：D
解析：由f(﹣x)＝eq \f(sin－x＋－x,cs－x＋－x2)＝eq \f(－sin x－x,cs x＋x2)＝﹣f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A；又f(eq \f(π,2))＝eq \f(4＋2π,π2)＞1，f(π)＝eq \f(π,－1＋π2)＞0，排除B，C.
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|≤eq \f(π,2))，x＝﹣eq \f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq \f(π,4)为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在(eq \f(π,18)，eq \f(5π,36))上单调，则ω的最大值为( )
A.11 B.9 C.7 D.1
【答案解析】答案为：B
解析：因为x＝﹣eq \f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq \f(π,4)为y＝f(x)图象的对称轴，所以eq \f(2n＋1,4)·T＝eq \f(π,2)(n∈N)，即eq \f(2n＋1,4)·eq \f(2π,ω)＝eq \f(π,2)(n∈N)，所以ω＝2n＋1(n∈N)，即ω为正奇数.
因为f(x)在(eq \f(π,18)，eq \f(5π,36))上单调，则eq \f(5π,36)﹣eq \f(π,18)＝eq \f(π,12)≤eq \f(T,2)，即T＝eq \f(2π,ω)≥eq \f(π,6)，解得ω≤12.
当ω＝11时，﹣eq \f(11π,4)＋φ＝kπ，k∈Z，因为|φ|≤eq \f(π,2)，所以φ＝﹣eq \f(π,4)，此时f(x)＝sin(11x﹣eq \f(π,4)).当x∈(eq \f(π,18)，eq \f(5π,36))时，11x﹣eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13π,36)，\f(46π,36)))，所以f(x)在(eq \f(π,18)，eq \f(5π,36))上不单调，不满足题意；
当ω＝9时，﹣eq \f(9π,4)＋φ＝kπ，k∈Z，因为|φ|≤eq \f(π,2)，所以φ＝eq \f(π,4)，
此时f(x)＝sin(9x＋eq \f(π,4)).当x∈(eq \f(π,18)，eq \f(5π,36))时，9x＋eq \f(π,4)∈(eq \f(3π,4)，eq \f(3π,2))，
此时f(x)在(eq \f(π,18)，eq \f(5π,36))上单调递减，符合题意.故ω的最大值为9.
二、填空题
函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为________.
【答案解析】答案为：[2kπ＋eq \f(π,4)，2kπ＋eq \f(5π,4)](k∈Z)
解析：要使函数有意义，必须使sin x﹣cs x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cs x的图象，如图所示.
在[0,2π]内，满足sin x＝cs x的x为eq \f(π,4)，eq \f(5π,4)，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为[2kπ＋eq \f(π,4)，2kπ＋eq \f(5π,4)].
函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)cs x﹣eq \f(3,4)(x∈[0,eq \f(π,2)])的最大值是________.
【答案解析】答案为：1.
解析：由题意可得f(x)＝﹣cs2x＋eq \r(3)cs x＋eq \f(1,4)＝﹣(cs x﹣eq \f(\r(3),2))2＋1.
∵x∈[0,eq \f(π,2)]，∴cs x∈[0,1].∴当cs x＝eq \f(\r(3),2)，即x＝eq \f(π,6)时，f(x)取最大值为1.
函数f(x)＝3sin(2x﹣eq \f(π,3)＋φ)＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________.
【答案解析】答案为：eq \f(5π,6),(eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)，1)，k∈Z.
解析：若f(x)＝3sin(2x﹣eq \f(π,3)＋φ)＋1为偶函数，则﹣eq \f(π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，即φ＝eq \f(5π,6)＋kπ，k∈Z，又∵φ∈(0，π)，∴φ＝eq \f(5π,6).∴f(x)＝3sin(2x＋eq \f(π,2))＋1＝3cs 2x＋1，由2x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z得x＝eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，∴f(x)图象的对称中心为(eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,2)，1)，k∈Z.
函数f(x)＝3sin(2x﹣eq \f(π,3)＋φ)，φ∈(0，π)，若f(x)为奇函数，则φ＝________.
【答案解析】答案为：eq \f(π,3).
解析：若f(x)＝3sin(2x﹣eq \f(π,3)＋φ)为奇函数，则﹣eq \f(π,3)＋φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，又∵φ∈(0，π)，∴φ＝eq \f(π,3).
函数f(x)＝sin(﹣2x＋eq \f(π,3))的单调递减区间为________.
【答案解析】答案为：[kπ﹣eq \f(π,12)，kπ＋eq \f(5π,12)](k∈Z)
解析：f(x)＝sin(﹣2x＋eq \f(π,3))＝﹣sin(2x﹣eq \f(π,3))，
由2kπ﹣eq \f(π,2)≤2x﹣eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得kπ﹣eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为[kπ﹣eq \f(π,12)，kπ＋eq \f(5π,12)](k∈Z).
已知f(x)＝sin x＋cs x，若y＝f(x＋θ)是偶函数，则cs θ＝________.
【答案解析】答案为：±eq \f(\r(2),2).
解析：因为f(x)＝eq \r(2)sin(x＋eq \f(π,4))，所以f(x＋θ)＝eq \r(2)sin(x＋θ＋eq \f(π,4))，又因为y＝f(x＋θ)是偶函数，所以θ＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，即θ＝eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z，所以cs θ＝cs(eq \f(π,4)＋kπ)＝±eq \f(\r(2),2).
已知sin x＋cs y＝eq \f(1,4)，则sin x﹣sin2y的最大值为______.
【答案解析】答案为：eq \f(9,16).
解析：∵sin x＋cs y＝eq \f(1,4)，sin x∈[﹣1,1]，∴sin x＝eq \f(1,4)﹣cs y∈[﹣1,1]，
∴cs y∈[﹣eq \f(3,4)，eq \f(5,4)]，即cs y∈[﹣eq \f(3,4)，1]，
∵sin x﹣sin2y＝eq \f(1,4)﹣cs y﹣(1﹣cs2y)＝cs2y﹣cs y﹣eq \f(3,4)＝(cs y﹣eq \f(1,2))2﹣1，
又cs y∈[﹣eq \f(3,4)，1]，利用二次函数的性质知，当cs y＝﹣eq \f(3,4)时，(sin x﹣sin2y)max＝eq \f(9,16).
若在[0，eq \f(π,2)]内有两个不同的实数值满足等式cs 2x＋eq \r(3)sin 2x＝k＋1，则实数k的取值范围是________.
【答案解析】答案为：0≤k＜1
解析：函数f(x)＝cs 2x＋eq \r(3)sin 2x＝2sin(2x＋eq \f(π,6))，当x∈[0，eq \f(π,6)]时，f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,6))单调递增；当x∈[eq \f(π,6)，eq \f(π,2)]时，f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,6))单调递减，f(0)＝2sin eq \f(π,6)＝1，f(eq \f(π,6))＝2sin eq \f(π,2)＝2，f(eq \f(π,2))＝2sin eq \f(7π,6)＝﹣1，所以在[0，eq \f(π,2)]内有两个不同的实数值满足等式cs 2x＋eq \r(3)sin 2x＝k＋1，则1≤k＋1＜2，所以0≤k＜1.
三、解答题
设函数f(x)＝sin x＋cs x(x∈R).
(1)求函数y＝[f(x+eq \f(π,2))]2的最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)f(x﹣eq \f(π,4))在[0，eq \f(π,2)]上的最大值.
【答案解析】解：(1)因为f(x)＝sin x＋cs x，所以f(x+eq \f(π,2))＝sin(x+eq \f(π,2))＋cs(x+eq \f(π,2))＝cs x﹣sin x，
所以y＝[f(x+eq \f(π,2))]2＝(cs x﹣sin x)2＝1﹣sin 2x.
所以函数y＝[f(x+eq \f(π,2))]2的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)f(x﹣eq \f(π,4))＝sin(x﹣eq \f(π,4))＋cs(x﹣eq \f(π,4))＝eq \r(2)sin x，
所以y＝f(x)f(x﹣eq \f(π,4))＝eq \r(2)sin x(sin x＋cs x)＝eq \r(2)(sin xcs x＋sin2x)
＝sin(2x﹣eq \f(π,4))＋eq \f(\r(2),2).
当x∈[0，eq \f(π,2)]时，2x﹣eq \f(π,4)∈[﹣eq \f(π,4)，eq \f(3π,4)]，所以当2x﹣eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(3π,8)时，
函数y＝f(x)f(x﹣eq \f(π,4))在[0，eq \f(π,2)]上取得最大值，且ymax＝1＋eq \f(\r(2),2).
已知f(x)＝sin2(x＋eq \f(π,8))＋eq \r(2)sin(x＋eq \f(π,4))·cs(x＋eq \f(π,4))﹣eq \f(1,2).
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若函数y＝|f(x)|﹣m在区间[，eq \f(3π,8)]上恰有两个零点x1，x2.
①求m的取值范围；
②求sin(x1＋x2)的值.
【答案解析】解：(1)f(x)＝sin2(x＋eq \f(π,8))＋eq \r(2)sin(x＋eq \f(π,4))·cs(x＋eq \f(π,4))﹣eq \f(1,2)
＝eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))),2)＋eq \f(\r(2),2)sin(2x＋eq \f(π,2))﹣eq \f(1,2)
＝eq \f(1,2)﹣eq \f(\r(2),4)cs 2x＋eq \f(\r(2),4)sin 2x＋eq \f(\r(2),2)cs 2x﹣eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),4)sin 2x＋eq \f(\r(2),4)cs 2x＝eq \f(1,2)sin(2x＋eq \f(π,4))，
结合正弦函数的图象与性质，可得当﹣eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
即﹣eq \f(3π,8)＋kπ≤x≤eq \f(π,8)＋kπ(k∈Z)时，函数单调递增，
∴函数y＝f(x)的单调递增区间为[﹣eq \f(3π,8)＋kπ，eq \f(π,8)＋kπ](k∈Z).
(2)①令t＝2x＋eq \f(π,4)，当x∈[，eq \f(3π,8)]时，t∈[﹣eq \f(π,6),π]，eq \f(1,2)sin t∈[﹣eq \f(1,4)，eq \f(1,2)]，
∴y＝|eq \f(1,2)sin t|∈[0，eq \f(1,2)](如图).
∴要使y＝|f(x)|﹣m在区间[，eq \f(3π,8)]上恰有两个零点，m的取值范围为eq \f(1,4)＜m＜eq \f(1,2)或m＝0.
②设t1，t2是函数y＝|eq \f(1,2)sin t|﹣m的两个零点(t1=2x1＋eq \f(π,4)，t2=2x2＋eq \f(π,4))，由正弦函数图象性质可知t1＋t2＝π，即2x1＋eq \f(π,4)＋2x2＋eq \f(π,4)＝π.∴x1＋x2＝eq \f(π,4)，∴sin(x1＋x2)＝eq \f(\r(2),2).