初中数学华东师大版（2024）九年级上册24.4 解直角三角形教案设计

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级上册24.4 解直角三角形教案设计，共7页。教案主要包含了知识与技能，过程与方法，情感态度，教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。
第1课时 解直角三角形
※教学目标※
【知识与技能】
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
【过程与方法】
通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯.
【教学重点】
直角三角形的解法.
【教学难点】
三角函数在解直角三角形中的灵活运用.
※教学过程※
一、复习引入
1.在三角形中共有几个元素？
2.直角三角形ABC中,∠C=90°,a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？
二、探索新知
1.解直角三角形
我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素（至少有一个是边）后，就可求出其余的元素.
(1)概念：
由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
（2）思考：为什么要至少有一条边?
2.已知两条边，求其余未知元素.
【例1】如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，则大树在折断之前高多少？
分析：我们在遇到实际问题时，应该先把新问题与我们熟悉的问题联系起来，再把新问题转化成熟悉的问题来进行研究.对于现实问题通常化为数学模型来处理，这里体现数学建模的思想.
解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为=13,13+5=18(米).
答：大树在折断之前高18米.
3.已知一条边和一个锐角，求其余未知元素.
【例2】如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，在炮台A处测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，在炮台B处测得敌舰C在它的正南方.试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°-∠DAC=50°,=tan∠CAB,
∴BC=AB·tan∠CAB=2000×tan50°≈2384(米).
∵=cs50°,∴AC=≈3111(米).
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.
三、巩固练习
1.在电线杆离地面8米高处向地面拉一条缆绳，缆绳和地面成53°7′角，求该缆绳的长及缆绳地面固定点到电线杆底部的距离.（精确到0.1米）
2.海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A处看灯塔Q在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B处，发现此时灯塔Q与海船的距离最短.求灯塔Q到B处的距离.（画出图形后计算，精确到0.1海里）
答案：1.如图所示，∵AC=8米，∠B=53°7′，∴AB=≈10.0(米),BC=≈6.0(米).∴该缆绳的长约为10.0米，缆绳地面固定点到电线杆底部的距离约是6.0米.
2.如图所示，当灯塔Q与海船的距离最短时，QB⊥AB.由题意知AB=32.6×=16.3(海里).∵=tan∠BAQ=tan30°,∴BQ=AB×tan30°=16.3×≈9.4(海里).答：灯塔Q到B处的距离约为9.4海里.
四、应用拓展
本节的重要内容是解直角三角形的有关知识，解直角三角形的依据是勾股定理、两锐角互余和边角之间的关系，一般有两种类型：已知两边，已知一边和一锐角，解题时要选择适当的关系式，尽可能使用原题数据和避免做除法运算.
※课后作业※
教材第117页习题24.4第1题.
第2课时 俯角与仰角
※教学目标※
【知识与技能】
1.了解仰角、俯角、方位角的概念.
2.能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题.
【过程与方法】
能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合、抽象归纳的思想方法.
【情感态度】
感知本节与实际生活的密切联系，认识知识应用于实践的意义.
【教学重点】
解直角三角形在实际中的应用.
【教学难点】
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.
※教学过程※
一、复习引入
1.什么是解直角三角形？
2.解直角三角形的依据是什么？
二、探索新知
1.仰角、俯角.
（1）几个概念：①铅垂线；②水平线；③视线；④仰角:视线在水平线的上方，视线与水平线的夹角；⑤俯角：视线在水平线的下方，视线与水平线的夹角.
（2）应用.
【例1】如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°.求旗杆BC的高.（精确到0.1米）
解：在Rt△CDE中，
∵CE=DE×tanα
=AB×tanα
=10×tan52°
≈12.80(米)，
∴BC=BE+CE=DA+CE
≈1.50+12.80=14.3(米).
答：旗杆BC的高度约为14.3米.
2.方位角.
【例2】如图，A城气象部门测得今年第9号台风上午8时在A城南偏东30°的海面B处生成，并以每小时40海里的速度向正北方向移动，上午10时测得台风中心移到了A城南偏东45°的方向的C处，若台风中心120海里的范围内将受台风影响，问A城是否会受9号台风影响？
分析：A城是否会受台风影响，就是A城到台风移动路线BC的距离是否大于120海里.
解：过A作AE⊥BC延长线于E，设AE=EC=x,则BE=x.
∵BC=2×40=80,
∴BC=BE-CE=(-1)x=80.
∴x=40(+1)≈109.3