(人教A版选择性必修第一册)高二数学同步讲义第一章《空间向量与立体几何》单元综合检测卷(培优B卷)(原卷版+解析)

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高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》综合检测卷（培优B卷）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．已知向量与共线，则实数（       ）A．0 B．1 C．或2 D．或12．已知为标准正交基底，，则在方向上的投影为（       ）A．1 B．－1 C． D．－3．已知，若，则m的值为（       ）A．3 B． C． D．44．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（       ）A． B．C． D．5．已知边长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则点B到平面AEF的距离为（       ）A． B． C． D．6．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（       ）A． B．C．或 D．7．如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（       ）A．1 B． C． D．8．在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．（多选）已知向量，则下列向量中与的夹角为60°的是（       ）A． B．C． D．10．正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（       ）A． B． C． D．11．在三棱锥P-ABCD中，PA平面ABC，若该三棱锥四个面均为直角三角形，则可以补充的条件为（       ）A．ABAC B．ACBC C．BCAB D．AB=AC12．在边长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，则（       ）A．异面直线与MN所成的角为B．二面角的正切值为C．点C到平面BMN的距离是点到平面BMN的距离的2倍D．过A，M，N三点的平面截该正方体所得截面的周长是填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是平面上的两个向量，有以下命题：①平面上任意一个向量；②若存在，使，则；③若不共线，则空间任意一个向量；④若不共线，且与共面，则都有.请填上所有真命题的序号___________.14．已知，若，则_________．15．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.平面的法向量________.16．在平行四边形ABCD中，，沿对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成角，则此时B、D两点之间的距离为_______.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为的重心，（1）求证：；（2）化简：.18．已知空间三点，，.(1)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；(2)设，若A，B，C，D四点共面，求的值19．如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系的原点，半径为1，且球O分别与x､y､z轴的正半轴交于A､B､C三点，已知球面上一点.（1）求证：；（2）求D､C两点在球O上的球面距离.20．如图，P、O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，E是AB的中点，AB=kAA1=．(1)求证：A1E∥平面PBC．(2)当k=时，求点O到平面PBC的距离．21．如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．(1)证明：平面；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．22．如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，是底角.(1)求证：平面平面.(2)若，求二面角的余弦值.高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》综合检测卷（培优B卷）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．已知向量与共线，则实数（       ）A．0 B．1 C．或2 D．或1【答案】D【分析】根据空间共线向量的坐标表示可得，即可求出k的值.【详解】因为共线，所以，解得或1.故选：D2．已知为标准正交基底，，则在方向上的投影为（       ）A．1 B．－1 C． D．－【答案】A【分析】利用投影向量的定义求解即可【详解】因为，为标准正交基底，所以在方向上的投影为，故选：A3．已知，若，则m的值为（       ）A．3 B． C． D．4【答案】A【分析】根据向量垂直时，数量积等于0，列出相应方程，求得答案.【详解】由题意可得，故 ，则 ，故选：A4．已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．【详解】即故选：D．5．已知边长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则点B到平面AEF的距离为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】以DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求出平面AEF的法向量，进而可求出点B到平面AEF的距离.【详解】以DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，.设平面的法向量为，，则，即令，则，得.又，所以点B到平面AEF的距离为故选：C6．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（       ）A． B．C．或 D．【答案】A【分析】利用空间向量夹角的坐标表示求得，即，进而可知直线和平面的位置关系.【详解】由，，，所以，即，所以.故选：A7．如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（       ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】先将转化为，再按照数量积的定义及运算律计算即可.【详解】由题意得，故.故选：D.8．在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式求解.【详解】解：，则，，，，，，所以，故选：D多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．（多选）已知向量，则下列向量中与的夹角为60°的是（       ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】设向量，则，再结合选项逐一判断即可.【详解】解：不妨设向量， 若，则，不满足条件，A错误；若，则，满足条件，B正确；若，则，满足条件，C正确；若，则，不满足条件，D错误．故选：BC.10．正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（       ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得.【详解】方法一：，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误；方法二：，故A正确；由正方体的性质可知，，，，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：AC．11．在三棱锥P-ABCD中，PA平面ABC，若该三棱锥四个面均为直角三角形，则可以补充的条件为（       ）A．ABAC B．ACBC C．BCAB D．AB=AC【答案】BC【分析】本题可利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再利用性质定理得到线线垂直，进而判断直角三角形个数.【详解】∵，，∴.得到为直角三角形，当补充条件为选项A时，，为直角三角形，构不成直角三角形，故A错误；当补充条件为选项B时，，为直角三角形，∵，∴，∴.为直角三角形，此时四个三角形都为直角三角形.故B正确；当补充条件为选项C时，，为直角三角形∵，∴，，为直角三角形，此时四个三角形都为直角三角形.故C正确；当补充条件为选项D时，时，只能确定为等腰三角形，不能得到直角三角形，故D错误.综上所述，故选:BC.12．在边长为1的正方体中，M，N分别是，的中点，则（       ）A．异面直线与MN所成的角为B．二面角的正切值为C．点C到平面BMN的距离是点到平面BMN的距离的2倍D．过A，M，N三点的平面截该正方体所得截面的周长是【答案】BCD【分析】对于A，连接，可得异面直线与MN所成的角，然后在中求解即可，对于B，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断，对于C，利用等体积法求解，对于D，作出截面，再求其周长【详解】对于A，连接，因为M，N分别是，的中点，所以∥，因为∥，所以∥，所以异面直线与MN所成的角，因为为等边三角形，所以，所以异面直线与MN所成的角为，所以A错误，对于B，如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，向量为平面的一个法向量，设二面角的大小为，由图可知为锐角，则，所以所以，所以B正确，对于C，设，分别到平面的距离为，因为，所以,所以，所以，所以，所以点C到平面BMN的距离是点到平面BMN的距离的2倍，所以C正确，对于D，作直线，分别延长交于，连接交于，连接交于，连接，则五边形为过A，M，N三点的截面，因为正方体的棱长为1，所以，因为∽，所以，所以，所以，所以，，同理可得，，所以五边形的周长为，所以D正确，故选：BCD填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是平面上的两个向量，有以下命题：①平面上任意一个向量；②若存在，使，则；③若不共线，则空间任意一个向量；④若不共线，且与共面，则都有.请填上所有真命题的序号___________.【答案】④【分析】通过反例可知①②错误；根据平面向量基本定理、空间向量基本定理可判断出③④正误.【详解】对于①，若，则对于平面内任意一个向量，无法得到，①错误；对于②，若，则为任意实数，②错误；对于③，若与不共面，则对于空间任意一个向量，无法得到，③错误；对于④，由平面向量基本定理可知④正确.故答案为：④.14．已知，若，则_________．【答案】2【分析】根据空间向量的线性运算，结合数量积的坐标运算求解即可【详解】因为，故，即，故，故故答案为：215．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.平面的法向量________.【答案】（答案不唯一）【分析】易知，，从而可得，结合，，从而解得【详解】是正方形，且，，，，，，，，，，故，故，∵向量是平面OCB1的法向量，，，故，，取，故，平面的法向量故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题考查平面的法向量，建系求解即可，主要考查学生的运算能力，属于基础题.16．在平行四边形ABCD中，，沿对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成角，则此时B、D两点之间的距离为_______.【答案】2或【分析】由题意可得、和或，根据平面向量的线性运算可得，进而得到，计算即可得出结果.【详解】因为，所以，，又折起来后AB与CD成的角，所以或，由，等式两边同时平方，得当时，，此时B、D两点间的距离为2；当时，，此时B、D两点间的距离为.故答案为：2或四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为的重心，（1）求证：；（2）化简：.【分析】利用空间向量的线性运算求解.【详解】（1），①，②，③， ①+②+③得.（2）因为，所以，，.18．已知空间三点，，.(1)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；(2)设，若A，B，C，D四点共面，求的值【分析】（1）由空间向量的数量积得夹角后求解（2）由空间向量共面定理求解【详解】(1)由已知，得：，，∴，∴∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为(2)由，得：∵A，B，C，D四点共面∴存在实数，，使得∴，即得：解得：，，∴19．如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系的原点，半径为1，且球O分别与x､y､z轴的正半轴交于A､B､C三点，已知球面上一点.（1）求证：；（2）求D､C两点在球O上的球面距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）写出向量和的坐标，即可证明；（2）求出球心角，即可求D，C两点在球O上的球面距离.【详解】（1）由题意，，，，，，，；（2），，，D，C两点在球O上的球面距离为；20．如图，P、O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，E是AB的中点，AB=kAA1=．(1)求证：A1E∥平面PBC．(2)当k=时，求点O到平面PBC的距离．【分析】（1）根据题意，以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据向量共面证明线面平行即可；（2）根据（1）中所求，求得平面的法向量，利用向量法求点面距离即可.【详解】(1)因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，显然两两垂直，则以点O为原点，直线OA、OB、OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则得A1、E、由上得、、．设=x·+y·得，解得x=，y=1，∴，∵BC∩PB=B，A1E平面PBC，面，∴A1E∥平面PBC．(2)当k=时，得P，得=，．设平面PBC的法向量为=，则由，得故平面的一个法向量为=，设点O到平面PBC的距离为d，又=，∴d=．故点O到平面PBC的距离为.21．如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．(1)证明：平面；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．【分析】（1）先证明是平行四边形，再结合圆柱的性质得到平面；（2）利用等积转换知识结合圆柱的性质先找到体积最大值时的相对位置，再找出二面角的平面角或利用空间向量求得二面角的大小.【详解】（1）证明：如图，连接，由题意知为的直径，所以．因为是圆柱的母线，所以且，所以四边形是平行四边形．所以，所以．因为是圆柱的母线，所以平面，又因为平面，所以．又因为，平面，所以平面．（2）由（1）知是三棱锥底面上的高，由（1）知，所以，即底面三角形是直角三角形．设，则在中有：，所以，当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，三棱锥的体积最大，（另解：等积转化法：易得当F与距离最远时取到最大值，此时E、F分别为、中点）下面求二面角的正弦值：法一：由（1）得平面，因为平面，所以．又因为，所以平面．因为平面，所以，所以是二面角的平面角，由（1）知为直角三角形，则．故，所以二面角的正弦值为．法二：由（1）知两两相互垂直，如图，以点E为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则．由（1）知平面，故平面的法向量可取为．设平面的法向量为，由，得，即，即，取，得．设二面角的平面角为，，所以二面角的正弦值为22．如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，是底角.(1)求证：平面平面.(2)若，求二面角的余弦值.【分析】（1）由面面垂直的性质定理得到平面，再由线面垂直的判定定理得到平面，结合面面垂直的判定定理可得到证明.（2）取的中点O，以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后求两个平面的法向量，利用向量公式求解即可.【详解】（1）证明：因为平面平面，平面平面，平面∴平面又平面，所以又，且∴平面又平面，所以平面平面（2）取的中点O，连接如图：以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则点，，，设平面的法向量则有取,设平面的法向量即，取，可得即平面的一个法向量设二面角大小为，由图知为锐角