初中数学浙教版（2024）七年级上册3.2 实数达标测试

这是一份初中数学浙教版（2024）七年级上册3.2 实数达标测试，共43页。

一、平方根和立方根
二、实数
有理数和无理数统称为实数．
1.实数的分类

要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
三、近似数及有效数字
1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.
2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度.
要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．
3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．
【考点剖析】
一．平方根（共2小题）
1．（2022秋•西湖区校级期中）用字母a表示一个实数，则|a|，a2一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：
（1）|a|+3有最 （填“大”或“小”）值 ；
（2）5﹣a2有最 （填“大”或“小”）值 ；
（3）若正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣1）2，求ab的平方根．
2．（2021秋•西湖区期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2．
（1）求a和x的值；
（2）求3x+2a的平方根．
二．算术平方根（共2小题）
3．（2022秋•苍南县期末）已知一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），则（b﹣a）的算术平方根为 ．
4．（2022秋•金华期末）某数的一个平方根为，则它的另一个平方根是 ．
三．非负数的性质：算术平方根（共2小题）
5．（2022秋•拱墅区期末）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．
（1）求m的值；
（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？
6．（2022秋•萧山区期中）（1）已知某正数的平方根为a+3和2a﹣15，求这个数是多少？
（2）已知m，n是实数，且，求m2+n2的平方根．
四．立方根（共4小题）
7．（2022秋•拱墅区期末）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2B．8的立方根是±2
C．＝﹣3D．﹣6没有平方根
8．（2022秋•青田县期末）要做一个体积为8cm3的立方体模型（如图），它的棱长为 cm．
9．（2022秋•鄞州区校级期中）若实数a，b满足，请按要求解答下列问题：
（1）若a，b都是整数，请写出一对符合条件的a，b的值；
（2）若a，b都是分数，请写出一对符合条件的a，b的值．
10．（2022秋•鄞州区校级月考）已知一个正方体的体积是16cm3，另一个正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的棱长和表面积．
五．无理数（共4小题）
11．（2022秋•南浔区期末）下列几个实数中，无理数的是（ ）
A．0.3B．C．0D．
12．（2022秋•金华期末），﹣π，3.14，，6.1717717771…（自左而右每两个“1”之间依次多一个“7”）中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
13．（2022秋•萧山区期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：．其中，甲同学说“”，乙同学说“”，丙同学说“”．
（1）甲、乙、丙三位同学中，说错的是 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入横线内：
整数： ；
负分数： ．
14．（2021秋•温州期中）数学课堂上，老师让同学们从下列数中找出一个无理数：﹣，﹣，|﹣|，0，π，﹣0.6，﹣．其中，甲说“﹣”，乙说“﹣”，丙说“π”．
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．
六．实数（共2小题）
15．（2022秋•婺城区期末）实数﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（ ）
A．1B．3C．2D．5
16．（2022秋•衢州期中）把下列各数填在相应的横线上：
0，，﹣2，，﹣3.14，+9，π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）．
整数： ；
负分数： ；
无理数： ．
七．实数的性质（共2小题）
17．（2022秋•武义县期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
18．（2021秋•奉化区期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，且m＜0；
（1）求2a﹣（cd）2018+2b﹣3m的值．
（2）若＝m，c＝，求b﹣4d+m的值．
八．实数与数轴（共5小题）
19．（2022秋•滨江区校级期中）如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（ ）
A．﹣1B．+1C．﹣+1D．
20．（2022秋•慈溪市期末）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，且a，b互为相反数，2a+9是27的立方根．
（1）求a，b的值及线段AB的长．
（2）点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x．
①请用含x的代数式表示线段BP的长．
②当x取何值时，BP＝2AP？
21．（2021秋•拱墅区月考）阅读材料，回答问题．
下框中是小马同学的作业，老师看了后，找来小马．
问道：“小马同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”
小马点点头．
老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”
请把实数|﹣|，﹣π，﹣4，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用＜号连接）．
解：
请你帮小马同学将上面的作业做完．
22．（2022春•平邑县期中）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为 ．
23．（2022秋•北仑区期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，
（1）求m的值．
（2）求|m﹣3|+m+2的值．
九．实数大小比较（共3小题）
24．（2022秋•杭州期末）比较大小： 2.5； ．（填“＞”、“＜”或者“＝”）
25．（2022秋•海曙区校级期中）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为 ．
26．（2022秋•瑞安市期中）在数轴上表示下列有理数：，，（−2）2，2.5，并用“＜”将它们连接起来．
一十．估算无理数的大小（共5小题）
27．（2022秋•新昌县期末）已知一个边长为a米的正方形，面积是37平方米，则a的取值范围是（ ）
A．4＜a＜5B．5＜a＜6C．6＜a＜7D．7＜a＜8
28．（2022秋•宁波期末）估计的范围是（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
29．（2021秋•温州期中）如图，数轴上的A，B，C，D四点与表示数的点最接近的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
30．（2022秋•永康市期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，∵12＜（）2＜22，∴1＜＜2．于是可以用﹣1来表示的小数部分，又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分是2，小数部分是﹣2．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）已知a是3+的整数部分，b是其小数部分，求a﹣b的值．
31．（2022秋•滨江区校级期中）（1）已知+7的小数部分是a，7﹣的小数部分是b，求a+b的值；
（2）设5+的整数部分用a表示，小数部分用b表示，3﹣的整数部分用c表示，小数部分用d表示，求ab﹣cd的值．
一十一．实数的运算（共2小题）
32．（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为 ．
33．（2022秋•婺城区期末）计算：．
【过关检测】
一．选择题（共10小题）
1．如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）
A．B．C．D．
2．9的平方根是（ ）
A．3B．±3C．﹣3D．9
3．有理数﹣8的立方根为（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．±4
4．面积为4的正方形的边长是（ ）
A．4的平方根B．4的算术平方根
C．4开平方的结果D．4的立方根
5．|1+|+|1﹣|＝（ ）
A．1B．C．2D．2
6．已知x，y为实数，且，则x﹣y＝（ ）
A．﹣1B．﹣7C．﹣1或﹣7D．1或﹣7
7．下列各数：﹣2，0，，0.020020002…，π，，其中无理数的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
8．下列四个实数中，最小的是（ ）
A．﹣B．﹣5C．1D．4
9．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3．按此规定[﹣+1]的值为（ ）
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．1
二．填空题（共8小题）
11．已知，则x的值为 ．
12．36的平方根是 ，81的算术平方根是 ．
13．计算 ﹣（﹣1）2＝ ．
14．计算的结果是 ．
15．比较大小： ．（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
16．若一个偶数的立方根比2大，平方根比4小，则这个数一定是 ．
17．一个数的立方根是4，这个数的平方根是 ．
18．若+|b﹣5|＝0，则a+b＝ ．
三．解答题（共8小题）
19．求下列各式的值：
① ②±
③ ④
20．求下列各式中未知数x的值
（1）16x2﹣25＝0 （2）（x﹣1）3＝8．
21．﹣12﹣（﹣2）3×．
22．若，求3m+6n的立方根．
23．已知a，b，c在数轴上的位置如图，化简：+．
24．如图1，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 ，边长是 ．
（2）把10个小正方形组成的图形纸（如图2），剪开并拼成正方形．
①请在4×4方格图内画出这个正方形．
②以小正方形的边长为单位长度画一条数轴，并在数轴上画出表示﹣的点．
（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了 的数学思想方法．
A．数形结合 B．代入 C．换元 D．归纳
第3章 实数全章复习与测试
【知识梳理】
一、平方根和立方根
二、实数
有理数和无理数统称为实数．
1.实数的分类

要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
三、近似数及有效数字
1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.
2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度.
要点诠释：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．
3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．
【考点剖析】
一．平方根（共2小题）
1．（2022秋•西湖区校级期中）用字母a表示一个实数，则|a|，a2一定是非负数，也就是它们的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而﹣|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以﹣|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：
（1）|a|+3有最 小 （填“大”或“小”）值 3 ；
（2）5﹣a2有最 大 （填“大”或“小”）值 5 ；
（3）若正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣1）2，求ab的平方根．
【分析】（1）根据|a|≥0，可得|a|+3有最小值，最小值为3；
（2）根据a2≥0，可得﹣a2≤0，进而可得5﹣a2≤5得出答案；
（3）根据正整数以及方程的解的定义，得出a、b的值，再代入计算后，求其平方根即可．
【解答】解：（1）∵|a|≥0，
∴|a|+3有最小值，最小值为3，
故答案为：小，3；
（2）∵a2≥0，
∴﹣a2≤0，
∴5﹣a2≤5，
即5﹣a2有最大值，最大值为5，
故答案为：大，5；
（3）∵正整数a，b满足|a+1|＝5﹣（b﹣l）2，
∴正整数a、b可能为：a＝3，b＝2或a＝4，b＝1，
当a＝3，b＝2时，ab＝32＝9，所以ab的平方根为±＝±3；
当a＝4，b＝1时，ab＝41＝4，所以ab的平方根为±＝±2；
答：ab的平方根为±2或±3．
【点评】本题考查平方根，偶次方，绝对值的非负性，理解平方根的定义以及偶次方、绝对值的非负性是解决问题的前提．
2．（2021秋•西湖区期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2．
（1）求a和x的值；
（2）求3x+2a的平方根．
【分析】（1）根据正数的平方根有两个，他们互为相反数可得出2a﹣1+（﹣a+2）＝0即可求出a的值，然后求出x的值即可；
（2）将（1）中的x，a的值代入3x+2a中求出平方根即可．
【解答】解：（1）∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2，
∴2a﹣1+（﹣a+2）＝0，
解得：a＝﹣1，
∴x＝（2a﹣1）2＝9；
（2）将x＝9，a＝﹣1代入3x+2a中得，
3x+2a＝3×9﹣2＝25，
∵25的平方根为±5，
∴3x+2a的平方根为±5．
【点评】本题主要考查了平方根的性质，掌握平方根的性质是解题的关键．
二．算术平方根（共2小题）
3．（2022秋•苍南县期末）已知一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），则（b﹣a）的算术平方根为 ．
【分析】根据一个正数的平方根互为相反数求得a值，再求出（b﹣a）的算术平方根即可．
【解答】解：∵一个正数b的两个平方根分别是a和（a﹣4），
∴a+a﹣4＝0，
∴a＝2，
∴b＝4，
∴b﹣a＝2，
∴（b﹣a）的算术平方根为，
故答案为：．
【点评】本题考查平方根和算术平方根，熟知一个正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是正的平方根是解答的关键．
4．（2022秋•金华期末）某数的一个平方根为，则它的另一个平方根是 ﹣ ．
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（±）2＝2，
∴2的平方根一个是，另一个是﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
三．非负数的性质：算术平方根（共2小题）
5．（2022秋•拱墅区期末）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．
（1）求m的值；
（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？
【分析】（1）由正数的平方根互为相反数，可得2n+1+4﹣3n＝0，可求n＝5，即可求m；
（2）由已知可得a＝3，b＝0，c＝n＝5，则可求解．
【解答】解：（1）∵正数m的平方根为2n+1和4﹣3n，正数m的平方根互为相反数，
∴2n+1+4﹣3n＝0，
∴n＝5，
∴2n+1＝11，
∴m＝121；
（2）∵|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，
∴a﹣1＝0，b＝0，c﹣n＝0，
∴a＝1，b＝0，c＝n＝5，
∴a+b+c＝1+0+5＝6，
∴a+b+c的平方根是±．
【点评】本题考查平方根的性质．熟练掌握正数的平方根的特点，绝对值和偶次方根数的性质是解题的关键．
6．（2022秋•萧山区期中）（1）已知某正数的平方根为a+3和2a﹣15，求这个数是多少？
（2）已知m，n是实数，且，求m2+n2的平方根．
【分析】（1）根据一个正数的平方根互为相反数，可得答案；
（2）根据算术平方根与绝对值的和为0 可得算术平方根与绝对值同时为0，可得答案．
【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是a+3与2a﹣15，
∴（a+3）+（2a﹣15）＝0，
解得a＝4，
∴a+3＝7，
∴这个数是49；
（2）由题意得：
2m+1＝0，3n﹣2＝0，
∴m＝﹣，n＝，
∴m2+n2＝（﹣）2+（）2＝+＝，
∴m2+n2的平方根是±．
【点评】本题考查了平方根，一个正数的平方根互为相反数，算术平方根与平方的和为0，算术平方根与平方同时为0，开平方的被开方数互为相反数，被开方数为0．
四．立方根（共4小题）
7．（2022秋•拱墅区期末）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2B．8的立方根是±2
C．＝﹣3D．﹣6没有平方根
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A.4的平方根是±2，因此选项A不符合题意；
B.8的立方根是2，因此选项B不符合题意；
C.＝3，因此选项C不符合题意；
D．﹣6没有平方根，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
8．（2022秋•青田县期末）要做一个体积为8cm3的立方体模型（如图），它的棱长为 2 cm．
【分析】根据立方体的体积公式求解即可．
【解答】解：∵立方体的体积为8cm3，
∴它的棱长为．
故答案为：2．
【点评】此题考查了立方根的实际应用，解题的关键是根据题意正确列出算式．
9．（2022秋•鄞州区校级期中）若实数a，b满足，请按要求解答下列问题：
（1）若a，b都是整数，请写出一对符合条件的a，b的值；
（2）若a，b都是分数，请写出一对符合条件的a，b的值．
【分析】（1）根据已知等式，利用算术平方根及立方根的定义找出满足题意a与b的值即可；
（2）根据已知等式，利用算术平方根及立方根的定义找出满足题意a与b的值即可．
【解答】解：（1）满足题意的值为：a＝1，b＝﹣27（答案不唯一）；
（2）满足题意的值为：a＝，b＝﹣（答案不唯一）．
【点评】此题考查了立方根，算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2022秋•鄞州区校级月考）已知一个正方体的体积是16cm3，另一个正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的棱长和表面积．
【分析】根据题意知大正方体的体积为64cm3，则其棱长为体积的立方根，可求得表面积．
【解答】解：根据题意大正方体的体积为16×4＝64cm3，
则大正方体的棱长为：＝4cm，
故大正方体的表面积为：6×4×4＝96cm2．
【点评】本题主要考查立方根，根据题意求出体积是前提，熟知棱长是正方体体积的立方根是关键．
五．无理数（共4小题）
11．（2022秋•南浔区期末）下列几个实数中，无理数的是（ ）
A．0.3B．C．0D．
【分析】根据无理数是无限不循环小数判断即可．
【解答】解：A、0.3是小数，属于有理数，故该选项不符合题意；
B、是整数，属于有理数，故该选项不符合题意；
C、0是整数，属于有理数，故该选项不符合题意；
D、是无理数，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了无理数，算术平方根，掌握无理数的定义：无限不循环小数是解题的关键．
12．（2022秋•金华期末），﹣π，3.14，，6.1717717771…（自左而右每两个“1”之间依次多一个“7”）中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：，3.14是有理数；
﹣π，，6.1717717771…（自左而右每两个“1”之间依次多一个“7”）是无理数，
∴无理数一共有3个．
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
13．（2022秋•萧山区期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：．其中，甲同学说“”，乙同学说“”，丙同学说“”．
（1）甲、乙、丙三位同学中，说错的是 甲 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入横线内：
整数： 0、﹣ ；
负分数： ﹣ ．
【分析】（1）根据无理数的定义解答即可；
（2）根据有理数的分类解答即可．
【解答】解：（1）因为“﹣”是负分数，属于有理数；“”是无理数，“”是无理数．
所以甲、乙、丙三个人中，说错的是甲；
故答案为：甲；
（2）﹣＝﹣4，|﹣|＝，
整数有：0，﹣；
负分数有：﹣．
故答案为：0，﹣；﹣．
【点评】本题主要考查了实数的分类，解题的关键是掌握实数的分类，实数分为有理数与无理数，有理数又分为整数与分数．
14．（2021秋•温州期中）数学课堂上，老师让同学们从下列数中找出一个无理数：﹣，﹣，|﹣|，0，π，﹣0.6，﹣．其中，甲说“﹣”，乙说“﹣”，丙说“π”．
（1）甲、乙、丙三个人中，说错的是 乙 ．
（2）请将老师所给的数字按要求填入相应的区域内．
【分析】（1）无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数；
（2）根据有理数的定义与分类解答即可．
【解答】解：（1）是无理数；
，|﹣|＝，是分数，属于有理数；
0，，是整数，属于有理数；
0.6是有限小数，属于有理数；
π是无理数；
所以甲、乙、丙三个人中，说错的是乙，
故答案为：乙；
（2）整数有0，；
负分数有：，﹣0.6．
故答案为：0，；
，﹣0.6．
【点评】本题考查了无理数以及有理数的分类，掌握相关定义是解答本题的关键．
六．实数（共2小题）
15．（2022秋•婺城区期末）实数﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（ ）
A．1B．3C．2D．5
【分析】有理数是整数与分数的统称，找出其中的有理数，即可确定a的值；无理数是无限不循环小数，π及含有π的数，开方开不尽的数都是无理数，对于带根号的数，首先要看是否是最简形式，再判断，据此确定出无理数的个数，即可得到b的值；接下来将a、b的值代入待求式进行计算，即可使问题解答．
【解答】解：是有理数，有4个，即a＝4，
是无理数，有2个，即b＝2，
则a﹣b＝4﹣2＝2．
故选：C．
【点评】本题考查的是有理数与无理数的概念，重点在对所给的数进行区别，防止因为根号而影响判断．
16．（2022秋•衢州期中）把下列各数填在相应的横线上：
0，，﹣2，，﹣3.14，+9，π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）．
整数： 0，﹣2，，+9 ；
负分数： ，﹣3.14 ；
无理数： π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2） ．
【分析】根据整数、负分数和无理数的定义即可判断．
【解答】解：整数：0，﹣2，，+9；
负分数：，﹣3.14；
无理数：π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）．
故答案为：0，﹣2，，+9；，﹣3.14；π，1.212212221……（两个1之间依次多1个2）．
【点评】本题考查了实数的分类，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．
七．实数的性质（共2小题）
17．（2022秋•武义县期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【分析】利用相反数的定义判断．
【解答】解：A、∵﹣＝﹣3，＝3，
∴﹣与互为相反数，A选项符合题意；
∵＝﹣2，﹣＝﹣2，
∴＝﹣，B选项不符合题意；
|﹣|＝，C选项不符合题意；
∵＝﹣2，
∴与不是互为相反数，D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
18．（2021秋•奉化区期中）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，且m＜0；
（1）求2a﹣（cd）2018+2b﹣3m的值．
（2）若＝m，c＝，求b﹣4d+m的值．
【分析】（1）根据a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，先确定a+b、cd及m的值，再求代数式的值即可；
（2）根据＝m，c＝可求出a，b，c，d的值，然后代入所求的代数式即可．
【解答】（1）解：∵a，b互为相反数，
∴a+b＝0，
∵c、d互为倒数，
∴cd＝1，
∵|m|＝2 且m＜0，
∴m＝﹣2，
∴2a﹣（cd）2018+2b﹣3m
＝2（a+b）﹣（cd）2018﹣3m
＝﹣1+6
＝5；
（2）∵＝m，
∴a＝m3＝﹣8，
∴b＝8，
∵，
∴，
∴b﹣4d+m
＝
＝8﹣2﹣2
＝4．
【点评】本题考查了有理数的运算，掌握“互为相反数的两数和为0”、“互为倒数的两数积为1”是解决本题的关键．
八．实数与数轴（共5小题）
19．（2022秋•滨江区校级期中）如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若AD＝AE，则数轴上点E所表示的数为（ ）
A．﹣1B．+1C．﹣+1D．
【分析】先求出张方形的边长AD，再根据向右动就用加法计算求解．
【解答】解：正方形ABCD的边长为：，
∴点E所表示的数为：﹣1+，
故选：A．
【点评】本题考查了实数与数轴，正方形是面积公式是解题的关键．
20．（2022秋•慈溪市期末）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，且a，b互为相反数，2a+9是27的立方根．
（1）求a，b的值及线段AB的长．
（2）点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x．
①请用含x的代数式表示线段BP的长．
②当x取何值时，BP＝2AP？
【分析】（1）利用立方根的含义求解a，b的值，再求解AB的长度即可；
（2）①由数轴上两点之间的距离公式可得答案；②分两种情况讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，再利用BP＝2AP，建立方程即可．
【解答】解：（1）∵2a+9是27的立方根，
∴，
则a＝﹣3．
∵a，b互为相反数，
∴b＝﹣a＝3．
∴AB＝3﹣（﹣3）＝6．
（2）①∵点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x．
∴线段BP＝3﹣x
②当点P在点A右侧时，
∵BP＝2AP，
∴3﹣x＝2（x+3），
解得x＝﹣1．
当点P在点A左侧时，
∵BP＝2AP，
∴3﹣x＝2（﹣3﹣x），
解得x＝﹣9．
综上，当x＝﹣1或﹣9时，BP＝2AP．
【点评】本题考查的是立方根的含义，数轴上两点之间的距离，相反数的含义，理解题意，建立方程求解是解本题的关键．
21．（2021秋•拱墅区月考）阅读材料，回答问题．
下框中是小马同学的作业，老师看了后，找来小马．
问道：“小马同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”
小马点点头．
老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”
请把实数|﹣|，﹣π，﹣4，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用＜号连接）．
解：
请你帮小马同学将上面的作业做完．
【分析】根据﹣π和确定原点，根据数轴上的点左边小于右边的排序．
【解答】解：把实数|﹣|，﹣π，﹣4，，2表示在数轴上如图所示，
﹣4＜﹣π＜|﹣|＜2＜．
【点评】本题考查实数与数轴，实数的大小比较．数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数．
22．（2022春•平邑县期中）如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为 ﹣1﹣ ．
【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；
（2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；
（3）用点A表示的数减去边长即可得解．
【解答】解：（1）设魔方的棱长为x，
则x3＝8，解得：x＝2；
（2）∵棱长为2，
∴每个小立方体的边长都是1，
∴正方形ABCD的边长为：，
∴S正方形ABCD＝＝2；
（3）∵正方形ABCD的边长为，点A与﹣1重合，
∴点D在数轴上表示的数为：﹣1﹣，
故答案为：﹣1﹣．
【点评】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长．
23．（2022秋•北仑区期中）如图，一只蚂蚁从A点沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m，
（1）求m的值．
（2）求|m﹣3|+m+2的值．
【分析】（1）根据数轴上的点运动规律：右加左减的规律可求出m的值；
（2）主要将m的值代入到代数式中即可，只要注意运算的顺序和绝对值的计算方法即可．
【解答】解：（1）∵蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，
∴点B所表示的数比点A表示的数大2，
∵点A表示，点B所表示的数为m，
∴m＝﹣+2；
（2）|m﹣3|+m+2
＝|﹣+2﹣3|﹣+2+2
＝1﹣﹣+4
＝5．
【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，根据已知得出m的值是解题关键．
九．实数大小比较（共3小题）
24．（2022秋•杭州期末）比较大小： ＜ 2.5； ＜ ．（填“＞”、“＜”或者“＝”）
【分析】直接利用立方根以及二次根式的性质分别比较得出答案．
【解答】解：∵2.53＝15.625＞9，
∴＜2.5；
∵（）2＝，27＝，
∴＜．
故答案为：＜；＜．
【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键．
25．（2022秋•海曙区校级期中）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为 4 ．
【分析】根据a，b的范围，然后再代入求出2a﹣b的值即可
【解答】解：∵min{，a}＝a，min{，b}＝．
∴a＜，b＞．
∵a，b是两个连续的正整数．
∴a＝5，b＝6．
∴2a﹣b＝2×5﹣6＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算，正确理解新定义是求解本题的关键．
26．（2022秋•瑞安市期中）在数轴上表示下列有理数：，，（−2）2，2.5，并用“＜”将它们连接起来．
【分析】先计算，，（−2）2，再把各数表示在数轴上，最后用“＜”连接各数．
【解答】解：∵＝，＝﹣2，（﹣2）2＝4．
∴在数轴上表示为：
∴＜＜2.5＜（﹣2）2．
【点评】本题主要考查了实数和数轴，掌握“在数轴上表示的数，右边的总大于左边的”是解决本题的关键．
一十．估算无理数的大小（共5小题）
27．（2022秋•新昌县期末）已知一个边长为a米的正方形，面积是37平方米，则a的取值范围是（ ）
A．4＜a＜5B．5＜a＜6C．6＜a＜7D．7＜a＜8
【分析】先求出a的值，再求出其取值范围即可．
【解答】解：∵个边长为a米的正方形，面积是37平方米，
∴a＝．
∵36＜37＜49，
∴6＜＜7，即6＜a＜7．
故选：C．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．
28．（2022秋•宁波期末）估计的范围是（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
【分析】根据平方数进行计算即可解答．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴4＜+2＜5，
∴+2在4和5之间，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
29．（2021秋•温州期中）如图，数轴上的A，B，C，D四点与表示数的点最接近的是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【分析】估算出﹣的范围，从而可以得出答案．
【解答】解：∵4＜8＜9，
∴2＜＜3，
∴﹣3＜﹣＜﹣2，
∵更接近3，
∴﹣更接近﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
30．（2022秋•永康市期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，∵12＜（）2＜22，∴1＜＜2．于是可以用﹣1来表示的小数部分，又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分是2，小数部分是﹣2．请解答下列问题：
（1）的整数部分是 4 ，小数部分是 ﹣4 ．
（2）已知a是3+的整数部分，b是其小数部分，求a﹣b的值．
【分析】（1）估算得到所求整数部分与小数部分即可；
（2）根据题意确定出a与b，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）∵4＜＜5，
∴的整数部分是4，小数部分是﹣4；
故答案为：4，﹣4；
（2）∵2＜＜3，
∴5＜3+＜6，
∴3+的整数部分a＝5，小数部分b＝3+﹣5＝﹣2，
∴a﹣b＝5﹣（﹣2）＝7﹣．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及实数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
31．（2022秋•滨江区校级期中）（1）已知+7的小数部分是a，7﹣的小数部分是b，求a+b的值；
（2）设5+的整数部分用a表示，小数部分用b表示，3﹣的整数部分用c表示，小数部分用d表示，求ab﹣cd的值．
【分析】（1）由4＜7＜9，得出2＜＜3，确定+7的小数部分，可得a的值，然后确定用7﹣的小数部分，可得b的值，把a、b值代入代数式a+b中计算即可；
（2）同理估算的大小，确定a，b，c，d的值，代入所求式计算即可．
【解答】解：（1）∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴9＜+7＜10，4＜7﹣＜5，
∴+7的整数部分是9，小数部分a＝+7﹣9＝﹣2，7﹣的小数部分是7﹣﹣4＝3﹣，
∴a＝﹣2，b＝3﹣，
∴a+b＝﹣2+3﹣＝1；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴6＜5+＜7，1＜3﹣＜2，
∴a＝6，b＝5+﹣6＝﹣1，c＝1，d＝3﹣﹣1＝2﹣，
∴ab﹣cd＝6（﹣1）﹣1×（2﹣）＝6﹣6﹣2+＝7﹣8．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，应从估算无理数或的范围入手．
一十一．实数的运算（共2小题）
32．（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为 5 ．
【分析】把a、b的值代入计算即可求出值．
【解答】解：当a＝3，b＝4时，
＝＝＝5，
所以输出的结果为5．
故答案为：5．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
33．（2022秋•婺城区期末）计算：．
【分析】根据平方，算术平方根的概念、绝对值的性质计算．
【解答】解：原式＝﹣4﹣3+4+4＝1．
【点评】本题考查的是实数的运算，掌握算术平方根、绝对值的性质是解题的关键．
【过关检测】
一．选择题（共10小题）
1．如图，数轴上点P表示的数可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据数轴估算出P点所表示的数，再根据选项中的数值进行选择即可．
【解答】解：A、∵9＜10＜16，32＜＜4，故本选项错误；
B、∵4＜5＜9，∴2＜＜3，故本选项正确；
C、∵1＜3＜4，∴1＜＜2，故本选项错误；
D、∵1＜2＜4，∴1＜＜2，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意得出各无理数的取值范围是解答此题的关键．
2．9的平方根是（ ）
A．3B．±3C．﹣3D．9
【分析】根据（±3）2＝9，即可得出答案．
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的平方根为：±3．
故选：B．
【点评】本题考查了平方根的知识，掌握平方根的定义是关键，注意一个正数的平方根有两个且互为相反数．
3．有理数﹣8的立方根为（ ）
A．﹣2B．2C．±2D．±4
【分析】利用立方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：有理数﹣8的立方根为．
故选：A．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
4．面积为4的正方形的边长是（ ）
A．4的平方根B．4的算术平方根
C．4开平方的结果D．4的立方根
【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根；
【解答】解：面积为4的正方形的边长是，即为4的算术平方根；
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根；熟练掌握正方形面积与边长的关系，算术平方根的意义是解题的关键．
5．|1+|+|1﹣|＝（ ）
A．1B．C．2D．2
【分析】根据绝对值的性质，可得答案．
【解答】解：原式1++﹣1＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了实数的性质，利用差的绝对值是大数减小数是解题关键．
6．已知x，y为实数，且，则x﹣y＝（ ）
A．﹣1B．﹣7C．﹣1或﹣7D．1或﹣7
【分析】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，然后讨论进而得出答案．
【解答】解：∵．
∴x2＝9，y＝4，
∴x＝±3，
当x＝3，y＝4时，x﹣y＝3﹣4＝﹣1；
当x＝﹣3，y＝4时，x﹣y＝﹣3﹣4＝﹣7；
∴x﹣y＝﹣1或﹣7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键．
7．下列各数：﹣2，0，，0.020020002…，π，，其中无理数的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据无理数的概念判断即可．
【解答】解：0.020020002…，π是无理数，
故选：C．
【点评】本题考查的是无理数的概念，无限不循环小数叫做无理数．
8．下列四个实数中，最小的是（ ）
A．﹣B．﹣5C．1D．4
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数大小比较的方法，可得
﹣5＜﹣＜1＜4，
所以四个实数中，最小的数是﹣5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
9．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据立方根和算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：A、没有意义，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、＝＝3，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、＝2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、＝﹣，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了立方根，算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义正确进行计算．
10．规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]＝0，[3.14]＝3．按此规定[﹣+1]的值为（ ）
A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．1
【分析】先计算的大小，然后求得的范围，从而可求得[﹣+1]的值．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴[﹣+1]的值为﹣3，
故选：B．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，估算的范围是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．已知，则x的值为 ±4 ．
【分析】由已知可得x2＝16，再求x＝±4即可．
【解答】解：∵，
∴x2＝16，
∴x＝±4
故答案为±4．
【点评】本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质和化简，并能准确计算是解题的关键．
12．36的平方根是 ±6 ，81的算术平方根是 9 ．
【分析】利用平方根和算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：36的平方根是±6，81的算术平方根是9，
故答案为：±6；9
【点评】此题主要考查了算术平方根、平方根的定义．解题时注意正数的平方根有2个，算术平方根有1个．
13．计算 ﹣（﹣1）2＝ 4 ．
【分析】先分别根据数的开方法则、有理数乘方的法则求出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝5﹣1＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．
14．计算的结果是 3 ．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：＝＝3．
故答案为：3
【点评】此题考查了立方根，平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
15．比较大小： ＞ ．（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】把2化成，再比较即可．
【解答】解：2＝，
即2＞，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较和二次根式性质的应用，题目比较好，难度不大．
16．若一个偶数的立方根比2大，平方根比4小，则这个数一定是 10，12，14 ．
【分析】首先根据立方根平方根的定义分别求出2的立方，4的平方，然后就可以解决问题．
【解答】解：∵2的立方是8，4的平方是16，
所以符合题意的偶数是10，12，14．
故填：10，12，14．
【点评】此题主要考查了立方根的定义和性质，注意本题答案不唯一．求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
17．一个数的立方根是4，这个数的平方根是 ±8 ．
【分析】根据立方根的定义可知，这个数为64，故这个数的平方根为±8．
【解答】解：设这个数为x，则根据题意可知＝4，解之得x＝64；
即64的平方根为±8．
故答案为±8．
【点评】本题综合考查的是平方根和立方根的计算，要求学生能够熟练掌握和应用．
18．若+|b﹣5|＝0，则a+b＝ 2 ．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵+|b﹣5|＝0，
∴a+3＝0，b﹣5＝0，
∴a＝﹣3，b＝5，
∴a+b＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
三．解答题（共8小题）
19．求下列各式的值：
①
②±
③
④
【分析】依据算术平方根、平方根、立方根的定义解答即可．
【解答】解：①＝；
②±＝±0.6；
③＝﹣10
④＝＝．
【点评】本题主要考查的是算术平方根、平方根、立方根的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．
20．求下列各式中未知数x的值
（1）16x2﹣25＝0
（2）（x﹣1）3＝8．
【分析】（1）先变形得到x2＝，然后利用平方根的定义求解；
（2）先根据立方根的定义得到x﹣1＝2，然后解一元一次方程即可．
【解答】解：（1）16x2﹣25＝0，
x2＝，
x＝±；
（2）（x﹣1）3＝8，
x﹣1＝2，
x＝3．
【点评】本题考查了立方根：若一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，记作．也考查了平方根．
21．﹣12﹣（﹣2）3×．
【分析】首先计算乘方，然后计算乘除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：﹣12﹣（﹣2）3×
＝﹣1﹣（﹣8）×﹣3×+2÷2
＝﹣1+1﹣1+1
＝0
【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
22．若，求3m+6n的立方根．
【分析】由于一个分式为0，只能分子为0，然后根据非负数的性质得到关于m、n的方程组，由此即可解得m、n，然后即可求3m+6n的立方根．
【解答】解：∵，
∴＝0，|m2﹣9|＝0，3﹣m≠0，
解得m＝﹣3，n＝6，
∴3m+6n的立方根为3．
【点评】本题主要考查二次根式的性质及立方根的定义等知识点，还考查了非负数的性质．
23．已知a，b，c在数轴上的位置如图，化简：+．
【分析】根据数轴得到a＜b＜0＜c，据此来化简二次根式，去绝对值．
【解答】解：如图所示：a＜b＜0＜c，则
+
＝|a|+a+b+|c﹣a+b|+c+b+b
＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c+b+b
＝4b+2c﹣a．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴．根据数轴求得a、b、c的取值范围是解题的关键．
24．如图1，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．
（1）拼成的正方形的面积是 5 ，边长是 ．
（2）把10个小正方形组成的图形纸（如图2），剪开并拼成正方形．
①请在4×4方格图内画出这个正方形．
②以小正方形的边长为单位长度画一条数轴，并在数轴上画出表示﹣的点．
（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了 A 的数学思想方法．
A．数形结合 B．代入 C．换元 D．归纳
【分析】（1）依据正方形的面积即可得到正方形的边长；
（2）依据10个小正方形组成的图形纸剪开并拼成正方形的边长为，即可得到该正方形，并在数轴上画出表示﹣的点．
（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了数形结合的数学思想方法．
【解答】解：（1）拼成的正方形的面积是5，边长是，
故答案为：5，；
（2）①10个小正方形组成的图形纸剪开并拼成正方形的边长为，如图所示：
②表示﹣的点如图所示：
（3）这种研究和解决问题的方式，主要体现了数形结合的数学思想方法．
故选：A．
【点评】本题考查了图形的剪拼，正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．正方形的面积是由组成正方形的面积的小正方形的个数决定的；边长为面积的算术平方根．
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示
性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论