2022-2023学年北京市朝阳区中央美术学院附属实验学校高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市朝阳区中央美术学院附属实验学校高二（上）期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，则在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）已知点M（﹣1，4），N（7，0），y轴上一点P满足|PM|＝|PN|，那么P点的坐标为（ ）
A．（0，﹣3）B．（0，﹣4）C．（0，﹣6）D．（0，﹣7）
二、填空题（共14小题，每小题3分，满分44分）
3．（3分）直线m的方向向量为＝（1，﹣2，λ），直线n的方向向量为＝（﹣2，4，5），直线k的方向向量为＝（μ，﹣8，γ），⊥，∥，则λ，μ，γ的值依次为 ．
4．（3分）平面α的法向量为＝（2，3，﹣5），＝（1，1，1），＝（﹣4，﹣6，10）则直线AB与平面α的位置关系为 ，直线CD与平面α的位置关系为 ．
5．（3分）已知三个互不相同平面α，β，γ的法向量依次是＝（2，﹣4，6），＝（﹣1，2，﹣3），＝（﹣1，4，3），则α，β两个平面的位置关系是 ，α，γ两个平面的位置关系是 ，γ，β两个平面的位置关系是 ．
6．（3分）在三棱锥D﹣ABC中，各个棱长都相等，M，N分别是BC，AD的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是 ．
7．（3分）到直线2x+y+1＝0的距离等于的直线方程为 ．
8．（3分）已知平面α的一个法向量是＝（2，﹣1，2），点A（﹣2，3，3）在平面α内，则点P（1，2，4）到平面α的距离为 ．
9．（3分）平面α的一个法向量＝（3，0，0），平面β的一个法向量＝（3，4，2），则平面α、平面β夹角的余弦值是 ．
10．（5分）圆心为（﹣2，1）且过原点的圆的方程是 ．
11．（3分）直线l经过原点，且经过直线2x﹣2y﹣1＝0与直线4x﹣2y﹣3＝0的交点，则直线l方程为 ．
12．（3分）直线l经过两条直线x+2y﹣6＝0和2x﹣y+3＝0的交点，若l与直线4x﹣2y﹣3＝0互相垂直，则直线l方程为 ；若l与直线4x﹣2y﹣3＝0互相平行，则直线l方程为 ．
13．（3分）已知两点A（1，1，0），C（0，0，1），B（0，1，1）是直线AC外一点，则点B到直线AC的距离 ．
14．（3分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，则＝ ，＝ .（用，，表示）
15．（3分）点（﹣1，﹣3）到直线的距离为 ．
16．（3分）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝（4，﹣4，0），＝（﹣1，0，﹣1），＝（2，2，2）．给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一个法向量．其中正确的是 （填序号）．
三、解答题（本题共80分）
17．已知直线l经过点P（2，﹣5），且斜率为．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
18．一条直线从点A（3，2）出发，经过x轴反射，通过点B（﹣1，6），求入射光线与反射光线所在的直线方程．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD．在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，AD＝CD＝1，BC＝2．
（Ⅰ）求证：BC∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面PAB．
20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
（1）求点A1到平面ADC1的距离；
（2）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
（3）求直线CD与平面ADC1所成角的正弦值．
2022-2023学年北京市朝阳区中央美术学院附属实验学校高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共40分，每小题4分）.
1．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，则在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点B和点P分别作直线的垂线，由垂足确定在向量上的投影向量．
【解答】解：四棱锥P﹣ABCD如图所示，
底面ABCD是矩形，∴BA⊥AD，
PD⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，∴PD⊥AD，
过向量的始点B作直线AD的垂线，垂足为点A，过向量的终点P作直线AD的垂线，垂足为点D，在向量上的投影向量为，由底面ABCD是矩形，．
故选：B．
【点评】本题考查了向量的投影向量，属于中档题．
2．（4分）已知点M（﹣1，4），N（7，0），y轴上一点P满足|PM|＝|PN|，那么P点的坐标为（ ）
A．（0，﹣3）B．（0，﹣4）C．（0，﹣6）D．（0，﹣7）
【分析】根据条件设点P的坐标为（0，y），由|PM|＝|PN|，结合两点之间的距离公式可得关于y的方程，求出y的值即可得P点的坐标．
【解答】解：由题意可设P（0，y），又M（﹣1，4），N（7，0），且|PM|＝|PN|，
所以＝，解得y＝﹣4．
故P点的坐标为（0，﹣4）．
故选：B．
【点评】本题主要考查两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
二、填空题（共14小题，每小题3分，满分44分）
3．（3分）直线m的方向向量为＝（1，﹣2，λ），直线n的方向向量为＝（﹣2，4，5），直线k的方向向量为＝（μ，﹣8，γ），⊥，∥，则λ，μ，γ的值依次为 2，4，﹣10 ．
【分析】由空间向量垂直及共线的坐标运算求解即可．
【解答】解：已知＝（1，﹣2，λ），＝（﹣2，4，5），＝（μ，﹣8，γ），
由⊥可得：1×（﹣2）+（﹣2）×4+5λ＝0，
即λ＝2，
由∥，
则，
即μ＝4，γ＝﹣10，
故答案为：2，4，﹣10．
【点评】本题考查了空间向量垂直及共线的坐标运算，属基础题．
4．（3分）平面α的法向量为＝（2，3，﹣5），＝（1，1，1），＝（﹣4，﹣6，10）则直线AB与平面α的位置关系为 AB⊂α或AB∥α ，直线CD与平面α的位置关系为 CD⊥α． ．
【分析】根据向量的坐标即可得出，从而得出，然后即可根据为平面α的法向量得出直线AB与平面α的位置关系，直线CD与平面α的位置关系．
【解答】解：∵，
∴，
∴AB⊂α或AB∥α；
∵，
∴，
∴CD⊥α．
故答案为：AB⊂α或AB∥α；CD⊥α．
【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，共线向量基本定理，向量坐标的数乘和数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
5．（3分）已知三个互不相同平面α，β，γ的法向量依次是＝（2，﹣4，6），＝（﹣1，2，﹣3），＝（﹣1，4，3），则α，β两个平面的位置关系是 平行 ，α，γ两个平面的位置关系是 垂直 ，γ，β两个平面的位置关系是 垂直 ．
【分析】根据题意，由三个平面的法向量的坐标可得＝﹣2，•＝0和•＝0，结合空间面面的关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，三个互不相同平面α，β，γ的法向量依次是＝（2，﹣4，6），＝（﹣1，2，﹣3），＝（﹣1，4，3），
易得＝﹣2，则有∥，故α∥β，
•＝﹣2﹣16+18＝0，则有⊥，故α⊥γ，
•＝1+8﹣9＝0，则有⊥，故β⊥γ，
故答案为：平行、垂直、垂直．
【点评】本题考查空间向量的应用，涉及平面法向量的定义，属于基础题．
6．（3分）在三棱锥D﹣ABC中，各个棱长都相等，M，N分别是BC，AD的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是 ．
【分析】用基向量表示，，利用数量积运算求解即可．
【解答】解：不妨设三棱锥D﹣ABC的棱长为1，两两之间的夹角为60°，
又＝（），＝，
设，的夹角为θ，
则＝||||cs60°＝，
同理，＝，＝，
＝（）•（）
＝（﹣+﹣）
＝
＝﹣，
||＝＝＝＝，
||＝＝＝＝，
∴csθ＝＝﹣＝﹣．
∴异面直线AM与CN所成角的余弦值是．
故答案为：．
【点评】本题考查向量运算法则、向量数量积公式、异面直线所成角及其余弦值求法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（3分）到直线2x+y+1＝0的距离等于的直线方程为 2x+y+6＝0或2x+y﹣4＝0 ．
【分析】由已知结合两平行线间的距离公式可求．
【解答】解：设所求直线为2x+y+m＝0，
由题意得＝，
所以m＝6或m＝﹣4，
故所求直线方程为2x+y+6＝0或2x+y﹣4＝0．
故答案为：2x+y+6＝0或2x+y﹣4＝0．
【点评】本题主要考查了两平行线间的距离的求解，属于基础题．
8．（3分）已知平面α的一个法向量是＝（2，﹣1，2），点A（﹣2，3，3）在平面α内，则点P（1，2，4）到平面α的距离为 3 ．
【分析】根据空间向量点到面的距离公式直接进行求解即可．
【解答】解：已知平面α的一个法向量是＝（2，﹣1，2），点A（﹣2，3，3），点P（1，2，4），
因为，点A（﹣2，3，3）在平面α内，点P（1，2，4）在平面α外，
所以点P（1，2，4）到平面α的距离．
故答案为：3．
【点评】本题考查了点到平面的距离计算，属于基础题．
9．（3分）平面α的一个法向量＝（3，0，0），平面β的一个法向量＝（3，4，2），则平面α、平面β夹角的余弦值是 ．
【分析】根据向量与的坐标，分别算出的模和与的数量积，然后用向量的夹角公式算出它们夹角的余弦值，再根据两个平面所成角与它们法向量夹角之间的关系即可求解．
【解答】解：∵平面α的一个法向量＝（3，0，0），平面β的一个法向量＝（3，4，2），
∴，
设平面α与平面β夹角为θ，
∴csθ＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了二面角的计算，属于中档题．
10．（5分）圆心为（﹣2，1）且过原点的圆的方程是 （x+2）2+（y﹣1）2＝5 ．
【分析】已知圆心，求出半径，即可写出圆的方程．
【解答】解：以（﹣2，1）为圆心且过原点的圆的半径为＝，
∴圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2＝5．
故答案为：（x+2）2+（y﹣1）2＝5．
【点评】本题考查了求圆的方程的应用问题，是基础题．
11．（3分）直线l经过原点，且经过直线2x﹣2y﹣1＝0与直线4x﹣2y﹣3＝0的交点，则直线l方程为 x﹣2y＝0 ．
【分析】联立方程先求出两直线的交点，然后求出直线斜率，进而可求直线方程．
【解答】解：联立，得x＝1，y＝，
故所求直线斜率k＝，所求直线方程为y＝．
故答案为：x﹣2y＝0．
【点评】本题主要考查了直线交点的求解，还考查了直线方程的求解，属于基础题．
12．（3分）直线l经过两条直线x+2y﹣6＝0和2x﹣y+3＝0的交点，若l与直线4x﹣2y﹣3＝0互相垂直，则直线l方程为 x+2y﹣6＝0 ；若l与直线4x﹣2y﹣3＝0互相平行，则直线l方程为 2x﹣y+3＝0 ．
【分析】由，解得直线l1与l2的交点．设与直线4x﹣2y﹣3＝0垂直的直线方程为x+2y+m＝0，代入即可得出．设与直线4x﹣2y﹣3＝0平行的直线方程为4x﹣2y+n＝0，代入即可得出．
【解答】解：由，解得，
故l1与l2的交点为（0，3）．
设与直线4x﹣2y﹣3＝0垂直的直线方程为x+2y+m＝0，
则0+6+m＝0，解得m＝﹣6，
故所求直线方程为x+2y﹣6＝0，
设与直线4x﹣2y﹣3＝0平行的直线方程为4x﹣2y+n＝0，
则0﹣2×3+n＝0，解得n＝6，
故所求直线方程为2x﹣y+3＝0．
故答案为：x+2y﹣6＝0，2x﹣y+3＝0．
【点评】本题考查了直线方程、相互平行与垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
13．（3分）已知两点A（1，1，0），C（0，0，1），B（0，1，1）是直线AC外一点，则点B到直线AC的距离 ．
【分析】求出，的夹角和的模长，利用向量法能求出点B到直线AC的距离．
【解答】解：∵A（1，1，0），C（0，0，1），B（0，1，1），
∴＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，﹣1，1），
设，的夹角为θ，
则csθ＝＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴sinθ＝，
∴点B到直线AC的距离为：
d＝||sinθ＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（3分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，，则＝ ++ ，＝ ﹣++ .（用，，表示）
【分析】根据空间向量的线性运算法则，用、和表示所求的向量即可．
【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
＝++＝++＝++；
＝++＝﹣+＝﹣++．
故答案为：++；﹣++．
【点评】本题考查了空间向量的线性表示与应用问题，是基础题．
15．（3分）点（﹣1，﹣3）到直线的距离为 ．
【分析】由已知结合点到直线的距离公式即可求解．
【解答】解：由线可得4x﹣3y﹣12＝0，
故点（﹣1，﹣3）到直线的距离d＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
16．（3分）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝（4，﹣4，0），＝（﹣1，0，﹣1），＝（2，2，2）．给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一个法向量．其中正确的是 ① （填序号）．
【分析】根据题意，由空间向量数量积的计算公式可得•＝8﹣8＝0，则有⊥，同理有⊥，结合平面法向量的定义可得是平面ABCD的一个法向量，即可得答案．
【解答】解：根据题意，＝（4，﹣4，0），＝（﹣1，0，﹣1），＝（2，2，2），
故有•＝8﹣8＝0，则有⊥，即AP⊥AB，①正确；
同理：•＝﹣2﹣2＝﹣4，则有⊥不成立，即AP与AD不垂直，②错误；
由于AP与AD不垂直，则不是平面ABCD的一个法向量，③错误；
故答案为：①．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断方法，涉及空间向量数量积的计算，属于基础题．
三、解答题（本题共80分）
17．已知直线l经过点P（2，﹣5），且斜率为．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
【分析】（1）结合直线方程的点斜式可求；
（2）先根据直线平行的斜率关系设出直线m的方程，然后结合点到直线的距离公式可求．
【解答】解：（1）因为直线l经过点P（2，﹣5），且斜率为，
所以直线l的方程为y+5＝﹣（x﹣2），即4x+3y+7＝0；
（2）设直线m的方程为4x+3y+b＝0（b≠7），
由题意得＝3，
解得b＝22或b＝﹣8，
故直线m的方程为4x+3y+22＝0或4x+3y﹣8＝0．
【点评】本题主要考查了直线的点斜式方程的求解，还考查了直线平行的斜率关系，点到直线的距离公式，属于基础题．
18．一条直线从点A（3，2）出发，经过x轴反射，通过点B（﹣1，6），求入射光线与反射光线所在的直线方程．
【分析】求得点A关于x轴的对称点A'坐标为（3，﹣2），利用直线方程的两点式解出直线A'B的方程为2x+y﹣4＝0，即得反射光线所在的直线方程．在反射线方程中令y＝0求得入射点为C（2，0），再求出直线AC的方程为2x﹣y﹣4＝0，即得入射光线所在的直线方程．
【解答】解：∵点 A（3，2）关于x轴的对称点A'（3，﹣2）
∴由两点式可得直线A'B的方程为
化简得A'B的方程为2x+y﹣4＝0，即反射光线所在的直线方程为2x+y﹣4＝0
令y＝0，得x＝2，可得入射点坐标为C（2，0）
可得直线AC方程为：，化简得2x﹣y﹣4＝0
可得入射光线所在的直线方程为2x﹣y﹣4＝0．
综上所述，可得入射光线所在的直线方程是2x﹣y﹣4＝0，反射光线所在的直线方程2x+y﹣4＝0．
【点评】本题给出光线反射问题，求入射光线与反射光线所在直线方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的对称位置关系等知识，属于中档题．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD．在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，AD＝CD＝1，BC＝2．
（Ⅰ）求证：BC∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面PAB．
【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理即可证明．
【解答】证明：（Ⅰ）∵BC∥AD，又AD⊂平面PAD，且BC⊄平面PAD，
∴BC∥平面PAD；
（Ⅱ）∵BC∥AD，CD⊥AD，AD＝CD＝1，BC＝2，
∴易得AB＝AC＝，∴AB2+AC2＝BC2，
∴AC⊥AB，
又PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，
∴AC⊥PA，又AC⊥AB，AB∩PA＝A，
∴AC⊥平面PAB．
【点评】本题考查线面平行的判定定理，线面垂直的性质及线面垂直的判定定理，属基础题．
20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
（1）求点A1到平面ADC1的距离；
（2）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
（3）求直线CD与平面ADC1所成角的正弦值．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算，平面AC1D的法向量，利用点到平面距离的向量公式可得结果；
（2）建立空间直角坐标系，计算，利用线线角的向量公式即得解；
（3）计算平面AC1D的法向量，由线面角的向量公式即得解．
【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
设平面AC1D的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝2，则y＝﹣2，z＝1，则＝（2，﹣2，1），
∴点A1到平面ADC1的距离；
（2），
设异面直线A1B与C1D所成角为θ，
则异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为：
；
（3）平面AC1D的法向量，
设直线CD与平面AC1D所成角为，
则，所以直线CD与平面AC1D所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了线面角和异面直线所成角的计算，属于中档题．
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