2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学高二（上）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知，，．若，则x＝（ ）
A．﹣4B．C．﹣8D．4
2．（5分）点P（1，﹣1）到直线x﹣y+1＝0的距离是（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）直线l经过点（﹣2，3），且倾斜角α＝45°，则直线l的方程为（ ）
A．x+y﹣1＝0B．x﹣y+5＝0C．x+y+1＝0D．x﹣y﹣5＝0
4．（5分）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1＝0相外切，则实数m＝（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．1
5．（5分）已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为，，，则（ ）
A．平面α∥平面ABC
B．平面α⊥平面ABC
C．平面α与平面ABC相交但不垂直
D．以上均不可能
6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为16，则椭圆C的方程为（ ）
A．+＝1B．+＝1
C．+＝1D．+＝1
7．（5分）三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，PA⊥平面ABC，AC＝BC＝2，PA＝4，则直线PC和直线AB所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）“”是“直线x+2ay﹣1＝0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），若离心率e＝（e≈0.618），则称椭圆C为“黄金椭圆”．则下列三个命题中正确命题的个数是（ ）
①在黄金椭圆C中，b2＝ac；
②在黄金椭圆C中，若上顶点、右顶点分别为E，B，则∠F1EB＝90°；
③在黄金椭圆C中，以A（﹣a，0），B（a，0），D（0，﹣b），E（0，b）为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F1，F2．
A．0B．1C．2D．3
10．（5分）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC＝2，点P为平面ABC外一动点，满足PB＝AB，，给出下列四个结论：
①存在点P，使得平面PAC⊥平面PBC；
②存在点P，使得平面PAC⊥平面PAB；
③设△PAC的面积为S，则S的取值范围是（0，4]；
④设二面角A﹣PB﹣C的大小为α，则α的取值范围是．
其中正确结论是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
11．（5分）写出一个圆心在直线x﹣y＝0上，且经过原点的圆的方程： ．
12．（5分）已知直线，l2：ax﹣y＝1，a∈R，若l1⊥l2．则l2的倾斜角为 ．
13．（5分）不经过坐标原点的直线l：x+y+m＝0被圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0截得的弦长为，则m的值为 ．
14．（5分）已知平行四边形ABCD，则•+•+•＝ ．
15．（5分）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是 ．
16．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：
①平面CMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形是五边形；
②直线B1D1到平面CMN的距离是；
③存在点P，使得∠B1PD1＝90°；
④△PDD1面积的最小值是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本大题共5个小题，共70分.
17．（13分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，点E是DC的中点．
（1）求点D到平面AD1E的距离；
（2）求证：平面AD1E⊥平面EBB1．
18．（13分）已知圆C过点（1，1），圆心为（2，0）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）判断直线y＝x﹣4与圆C的位置关系；
（Ⅲ）已知过点P（1，3）的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．
19．（14分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，过焦点F（1，0）的直线l与椭圆交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）从下面两个条件中任选其一作为已知，证明另一个成立：
①4|AB|＝15；②直线l的斜率k满足：．
20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3，点M在棱PD上，点N为BC中点．
（Ⅰ）证明：若DM＝2MP，则直线MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PCD与平面PND夹角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为？若存在，试求出值；若不存在，请说明理由．
21．（15分）对于向量X0＝（a0，b0，c0），若a0，b0，c0三个实数互不相等，令向量Xi+1＝（ai+1，bi+1，ci+1），其中ai+1＝|ai﹣bi|，bi+1＝|bi﹣ci|，ci+1＝|ci﹣ai|，（i＝0，1，2，…）．
（Ⅰ）当X0＝（5，2，1）时，直接写出向量X4，X5，X6，X7；
（Ⅱ）证明：对于∀i∈N，向量Xi中的三个实数ai，bi，ci至多有一个为0；
（Ⅲ）若a0，b0，c0∈N，证明：∃t∈N，Xt＝Xt+3．
2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知，，．若，则x＝（ ）
A．﹣4B．C．﹣8D．4
【分析】根据已知条件，结合空间向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴﹣2﹣x+2（3+x）＝0，解得x＝﹣4．
故选：A．
【点评】本题主要考查空间向量垂直的性质，属于基础题．
2．（5分）点P（1，﹣1）到直线x﹣y+1＝0的距离是（ ）
A．B．C．D．
【分析】应用点到直线的距离公式直接求解即可．
【解答】解：点P（1，﹣1）到直线x﹣y+1＝0的距离d＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，是基础题．
3．（5分）直线l经过点（﹣2，3），且倾斜角α＝45°，则直线l的方程为（ ）
A．x+y﹣1＝0B．x﹣y+5＝0C．x+y+1＝0D．x﹣y﹣5＝0
【分析】根据题意，先求出直线的斜率，可得直线的点斜式方程，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l的倾斜角α＝45°，则其斜率k＝tan45°＝1，
又由直线l经过点（﹣2，3），则直线l的方程为y﹣3＝x+2，即x﹣y+5＝0，
故选：B．
【点评】本题考查直线的点斜式方程，涉及直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
4．（5分）若圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1＝0相外切，则实数m＝（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．1
【分析】由两圆外切知，圆心距为两圆的半径之和，利用两点间距离公式即可求得．
【解答】解：圆：x2+y2＝4的圆心（0，0），半径2，
圆：x2+y2﹣2mx+m2﹣1＝0，即（x﹣m）2+y2＝1，则圆心（m，0），半径1，
若圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1＝0相外切，
则＝2+1，即|m|＝3，
∴m＝±3．
故选：C．
【点评】本题考查由圆的位置关系确定参数或范围，属于中档题．
5．（5分）已知两个不重合的平面α与平面ABC，若平面α的法向量为，，，则（ ）
A．平面α∥平面ABC
B．平面α⊥平面ABC
C．平面α与平面ABC相交但不垂直
D．以上均不可能
【分析】由题意求得平面ABC的法向量，然后利用两个平面的法向量考查平面的关系即可．
【解答】解：设平面ABC的法向量为，
则，据此可得，
因为，所以平面α∥平面ABC，
故选：A．
【点评】本题主要考查平面法向量的计算，空间向量及其应用等知识，属于基础题．
6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为16，则椭圆C的方程为（ ）
A．+＝1B．+＝1
C．+＝1D．+＝1
【分析】根据题意，作出椭圆的图形分析可得|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝4a＝16，解可得a的值，又由其离心率可得e＝＝，解可得c的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆标准方程即可得答案．
【解答】解：根据题意，如图：
△ABF2的周长为16，则有|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|＝4a＝16，则a＝4，
又由其离心率e＝＝，则c＝2，b2＝a2﹣c2＝16﹣8＝8；
又由其焦点在x轴上，则其标准方程为+＝1；
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，关键是由△ABF2的周长求出a的值．属于中档题．
7．（5分）三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，PA⊥平面ABC，AC＝BC＝2，PA＝4，则直线PC和直线AB所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意画出图形，结合图形利用基向量表示、，求出cs＜，＞即可得出答案．
【解答】解：如图所示，三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，PA⊥平面ABC，AC＝BC＝2，PA＝4，
则＝﹣，所以•＝（﹣）•＝•﹣•＝2×2×cs+4×2×cs＝4，
＝﹣2•+＝4﹣2×2×4×cs+16＝20，||＝2，||＝2，
cs＜，＞＝＝＝，
所以直线PC和直线AB所成角的余弦值为．
故选：C．
【点评】本题考查了异面直线所成角的余弦值计算问题，是基础题．
8．（5分）“”是“直线x+2ay﹣1＝0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据两直线平行的充要条件求出a的值，然后根据充分，必要条件的定义即可判断．
【解答】解：当直线x+2ay﹣1＝0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行，
所以1×（﹣a）＝2a（a﹣1），解得a＝0或，
所以“”是“直线x+2ay﹣1＝0与直线（a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充分，必要条件的定义，涉及到两直线平行的充要条件，属于基础题．
9．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0），F2（c，0），若离心率e＝（e≈0.618），则称椭圆C为“黄金椭圆”．则下列三个命题中正确命题的个数是（ ）
①在黄金椭圆C中，b2＝ac；
②在黄金椭圆C中，若上顶点、右顶点分别为E，B，则∠F1EB＝90°；
③在黄金椭圆C中，以A（﹣a，0），B（a，0），D（0，﹣b），E（0，b）为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F1，F2．
A．0B．1C．2D．3
【分析】本道题结合椭圆的基本性质，结合三角形三边关系，建立等式，证明，即可．
【解答】解：对于①，因为，所以，
又，故b2＝ac，所以a，b，c成等比数列，故①正确；
对于②，如图，由题可知，，
又因为＝a2+c2+2ac＝a2+c2+2b2＝2a2+b2，|EB|2＝a2+b2，
所以，
所以△F1EB为直角三角形，即∠F1EB＝90，故②正确；
对于③，如图所示，设EB与内切圆相切于点Q，连接OQ，
由切线性质可知OQ⊥EB，
则，
将代入上式，可得，
即内切圆半径为c，
所以内切圆过两个焦点，故③正确．
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的性质的应用，属于较难题目．
10．（5分）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC＝2，点P为平面ABC外一动点，满足PB＝AB，，给出下列四个结论：
①存在点P，使得平面PAC⊥平面PBC；
②存在点P，使得平面PAC⊥平面PAB；
③设△PAC的面积为S，则S的取值范围是（0，4]；
④设二面角A﹣PB﹣C的大小为α，则α的取值范围是．
其中正确结论是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】①根据面面垂直的判定定理进行判断，
②根据面面垂直的判定定理进行判断，
③根据三角形的面积公式进行判断，
④根据二面角的定义进行求解即可．
【解答】解：①当PB⊥BC时，又PB⊥AB，BC∩AB＝B，所以PB⊥平面ABC，所以PB⊥4AC，
又AC⊥BC，PB∩BC＝B，
所AC⊥平面PBC，又AC⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，故①正确；
②取AP的中点M，连接BM，CM，因为PB＝AB，所以MB⊥AP，假设平面PAC⊥平面PAB，则MB⊥平面PAC，
则MB⊥CM，而BM＝BC＝2，∠BMC≠90°，不成立，故②错误；
③因为AP＝4，AC＝2，所以S△PAC＝AP•ACsin∠PAC＝4sin∠PAC，
当点P在△ABC平面上，且C，P在A，B的异侧，
∠PAC＝90°，当C，P在A，B的同侧时，A，C，P共线，∠PAC＝0°，
因为点P为平面ABC外，则S的取值范围是（0，4），故③错误；
④因为∠ABC＝45°，当点P在平面ABC内时，α＝0，当点P运动时，设点A到平面PBC的距离为h，
因为PB⊥AB，则，则α的取值范围是（0，]，故④正确，
故正确的是①④，
故选：B．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间面面垂直的判断，二面角的求解，利用相应的判定定理以及公式是解决本题的关键，是中档题．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
11．（5分）写出一个圆心在直线x﹣y＝0上，且经过原点的圆的方程： （x﹣1）2+（y﹣1）2＝2（答案不唯一） ．
【分析】设圆心为（1，1），满足圆心在直线x﹣y＝0上，再结合两点之间的距离公式，求解半径，即可求解．
【解答】解：设圆心为（1，1），满足圆心在直线x﹣y＝0上，
由于所求圆的方程过原点，
则所求圆的半径为，
故所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．
故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查圆的方程的求解，属于基础题．
12．（5分）已知直线，l2：ax﹣y＝1，a∈R，若l1⊥l2．则l2的倾斜角为 60° ．
【分析】由两条直线垂直，可得参数a的关系，进而求出a的值，可得直线l2的斜率，进而求出它的倾斜角的大小．
【解答】解：由题意可得a+3×（﹣1）＝0，
可得a＝，
所以直线l2的斜率为，所以它的倾斜角为60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查两条直线垂直的充要条件的应用及直线的斜率的求法，直线倾斜角的求法，属于基础题．
13．（5分）不经过坐标原点的直线l：x+y+m＝0被圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0截得的弦长为，则m的值为 ﹣4 ．
【分析】由已知圆C求得圆心坐标与半径，再由垂径定理列式求得m值．
【解答】解：由C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，得（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，
则圆C的圆心坐标为（1，1），半径为2，
圆心到直线l：x+y+m＝0的距离d＝，
又直线l：x+y+m＝0被曲线C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0截得的弦的长度等于2，
∴（）2+（）2＝4，解得m＝﹣4或m＝0（舍去）．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查运算求解能力，属中档题．
14．（5分）已知平行四边形ABCD，则•+•+•＝ 0 ．
【分析】利用向量的三角形法则和运算率即可得出．
【解答】解：•+•+•＝++
＝+
＝＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了向量的三角形法则和运算率，属于基础题．
15．（5分）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是 3.5米 ．
【分析】根据题意截面为一段圆弧，可以EF、MN所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则E（﹣3，0），F（3，0），M（0，3），根据圆的基本性质可得圆心在y轴上，此时可设圆的标准方程为x2+（y﹣b）2＝r2，将E、M点代入，可得b＝﹣3，r＝6，作CG⊥AD交圆与G点，则G点的横坐标为，代入圆的方程，即可得出答案．
【解答】解：根据题意截面为一段圆弧，可以EF、MN所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则E（﹣3，0），F（3，0），M（0，3），
由圆的基本性质可得圆心在y轴上，此时可设圆的标准方程为x2+（y﹣b）2＝r2，
将E、M点代入，则，解得b＝﹣3，r＝6，
∴x2+（y+3）2＝36，
作CG⊥AD交圆与G点，则G点的横坐标为，
∴当x＝时，则11+（y+3）2＝36，解得y＝2或y＝﹣8（不合题意，舍去），
∴车辆通过隧道的限制高度是2+2﹣0.5＝3.5米，
故答案为：3.5米．
【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查数形结合思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
16．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：
①平面CMN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面图形是五边形；
②直线B1D1到平面CMN的距离是；
③存在点P，使得∠B1PD1＝90°；
④△PDD1面积的最小值是．
其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
【分析】作出截面图形判断①，利用等积法可判断②，利用坐标法可判断③④．
【解答】解：对于①，如图直线MN与C1B1、C1D1的延长线分别交于M1，N1，连接CM1，CN1分别交BB1，DD1于M2，N2，连接MM2，NN2，
则五边形MM2CN2N即为所得的截面图形，故①正确；
对于②，由题可知MN∥B1D1，MN⊂平面CMN，B1D1⊄平面CMN，
∴B1D1∥平面CMN，故点B1到平面CMN的距离即为直线B1D1到平面CMN的距离，
设点B1到平面CMN的距离为h，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2可得，
，，
∴，
，
∴由＝，可得，
所以直线B1D1到平面CMN的距离是，故②错误；
对于③，如图建立空间直角坐标系，则B1（2，0，2），D1（0，2，2），C（2，2，0），M（1，0，2），
设，
∴，又C（2，2，0），B1（2，0，2），D1（0，2，2），
∴P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ），，
假设存在点P，使得∠B1PD1＝90°，
∴，整理得9λ2﹣14λ+4＝0，
∴（舍去）或，
故存在点P，使得∠B1PD1＝90°，故③正确；
对于④，由上知P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ），所以点P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ）在DD1的射影为（0，2，2λ），
∴点P（2﹣λ，2﹣2λ，2λ）到DD1的距离为：
，
∴当时，，
∴故△PDD1面积的最小值是，故④错误．
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查线面距离的计算，立体几何中的截面问题等知识，属于中等题．
三、解答题：本大题共5个小题，共70分.
17．（13分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，点E是DC的中点．
（1）求点D到平面AD1E的距离；
（2）求证：平面AD1E⊥平面EBB1．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面D1AE的法向量，利用点到平面距离公式求出答案；
（2）利用空间向量的数量积为0证明出EA⊥EB，EA⊥BB1，从而证明出线面垂直，进而证明出面面垂直．
【解答】解：（1）以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），E（0，1，0），D1（0，0，1），B（1，2，0），B1（1，2，1），
设平面D1AE的法向量为，
则，
令x＝1得：y＝1，z＝1，
所以，
则点D到平面AD1E的距离为；
证明：（2），
所以，
所以EA⊥EB，EA⊥BB1，
因为EB∩BB1＝B，EB，BB1⊂平面EBB1，
所以EA⊥平面EBB1，
因为EA⊂平面D1AE，
所以平面D1AE⊥平面EBB1．
【点评】本题考查了点到平面的距离计算和面面垂直的证明，属于中档题．
18．（13分）已知圆C过点（1，1），圆心为（2，0）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）判断直线y＝x﹣4与圆C的位置关系；
（Ⅲ）已知过点P（1，3）的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．
【分析】（I）由两点间的距离可求半径，进而可求圆的方程；
（II）求得圆心到直线的距离，进而可判断直线与圆的位置关系；
（Ⅲ）分斜率是否存在两种情况，分别设出直线的方程可求得直线的方程．
【解答】解：（I）由题意，圆的半径为，
则圆C的方程为（x﹣2）2+y2＝2．
（II）设圆心到直线的距离为d，则，故直线与圆相切；
（Ⅲ）若斜率不存在，则直线方程为x＝1，弦心距d＝1，半径为，
则|AB|＝2＝2，符合题意；
若斜率存在，设直线方程为y﹣3＝k（x﹣1），
即kx﹣y﹣k+3＝0．
弦心距d＝，
得|AB|＝2＝2，
解得k＝﹣，直线方程为y＝﹣x+．
综上所述，直线l的方程为x＝1或y＝﹣x+．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线方程的求法，属中档题．
19．（14分）已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，过焦点F（1，0）的直线l与椭圆交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）从下面两个条件中任选其一作为已知，证明另一个成立：
①4|AB|＝15；②直线l的斜率k满足：．
【分析】（Ⅰ）根据条件列出方程组求解a，b的值，可得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）选①，分斜率存在不存在两种情况，斜率不存在时不符合题意，斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），与椭圆的方程联立，利用弦长公式列出方程求出k的值，即可推得②；
选②，求出直线l的方程，与椭圆的方程联立，计算|AB|的长度可推得①．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，焦点F（1，0），
所以，则，
故椭圆的标准方程为：．
（Ⅱ）证明：选①4|AB|＝15作为已知：
当直线斜率不存在时，l的方程为：x＝1，
代入椭圆方程可得y＝±，
即A，B坐标为，此时4|AB|＝12≠15，不合题意，舍去；
当直线斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），
联立，消去y整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
Δ＝（﹣8k2）2﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）＝16×9（k2+1），
则＝，
整理得20k2+15＝16k2+16，即4k2＝1，
解得；
选②直线l的斜率k满足：．
依题意，，则直线，
联立，消去y整理得，4x2﹣2x﹣11＝0，
所以x1+x2＝，x1x2＝﹣，
则，
即4|AB|＝15．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3，点M在棱PD上，点N为BC中点．
（Ⅰ）证明：若DM＝2MP，则直线MN∥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PCD与平面PND夹角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为？若存在，试求出值；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）由题意可证得平面MNQ∥平面PAB，然后由面面平行可得线面平行；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，分别求得平面PCD与平面PND的法向量，然后计算其夹角的余弦值即可；
（Ⅲ）设，可表示点M与，然后线面夹角来分析可得λ的值．
【解答】（Ⅰ）证明：如图所示，在线段AD上取一点靠近点A的三等分点Q，连接MQ，NQ，
∵DM＝2MP，∴QM∥AP，
又AD＝3，AB＝BC＝2，
则AQ∥BN，且AQ＝BN，四边形ABNQ为平行四边形，∴NQ∥AB，
又NQ∩MQ＝Q，AB∩AP＝A，
所以平面MNQ∥平面PAB，
由线线平行的定义可得MN∥平面PAB；
（Ⅱ）如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，3，0），P（0，0，3），N（2，1，0），
所以，，，
设平面PCD的法向量，
则，据此可得，
设平面PND的法向量，
则，据此可得，
所以，
则平面PCD与平面PND夹角的余弦值；
（Ⅲ）假设存在点M，设，即，λ∈[0，1]，
由（Ⅱ）得D（0，3，0），P（0，0，3），N（2，1，0），且平面PCD的法向量，
则，，
则M（0，3λ，3﹣3λ），，
，
解得或λ＝1，
故存在点M满足题意，且或．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，面面角的计算，立体几何中的探索性问题，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
21．（15分）对于向量X0＝（a0，b0，c0），若a0，b0，c0三个实数互不相等，令向量Xi+1＝（ai+1，bi+1，ci+1），其中ai+1＝|ai﹣bi|，bi+1＝|bi﹣ci|，ci+1＝|ci﹣ai|，（i＝0，1，2，…）．
（Ⅰ）当X0＝（5，2，1）时，直接写出向量X4，X5，X6，X7；
（Ⅱ）证明：对于∀i∈N，向量Xi中的三个实数ai，bi，ci至多有一个为0；
（Ⅲ）若a0，b0，c0∈N，证明：∃t∈N，Xt＝Xt+3．
【分析】（Ⅰ）由X0＝（5，2，1）时，利用新定义能求出写出向量X4，X5，X6，X7；
（Ⅱ）对于∀i∈N，利用反证法能证明向量Xi中的三个实数ai，bi，ci至多有一个为0；
（Ⅲ）若a0，b0，c0∈N，证明：∃t∈N，Xt＝Xt+3．
X4＝（1，1，0），X5＝（0，1，1），X6＝（1，0，1），X7＝（1，1，0）；
（Ⅲ）设ai，bi，ci三个数中最大的为mi，记作mi＝max{ai，bi，ci}，推导出m1，m2，m3必存在某个k∈N*，使得mk+1＝mk，从而向量Xk＝（ak，bk，ck）中的三个数ak，bk，ck中有且仅有一个为0，设ak＝0，根据bk≠ck和bk＝ck，两种情况讨论，能证明∃t∈N，Xt＝Xt+3．
【解答】解：（Ⅰ）当X0＝（5，2，1）时，
X4＝（1，1，0），X5＝（0，1，1），X6＝（1，0，1），X7＝（1，1，0）；
（Ⅱ）证明：假设ai，bi，ci三个数中有2个为0，或三个数均为0，
当ai，bi，ci三个数中有2个为0时，由题意得i≥1，
设ai＝bi＝0，（i≥1），ci≠0，
则ai＝|ai﹣1﹣bi﹣1|＝0，bi＝|bi﹣1﹣ci﹣1|＝0，即ai﹣1＝bi﹣1＝ci﹣1，
这与ci＝|ai﹣1﹣bi﹣1|≠0矛盾；
（2）ai，bi，ci三个数均为0时，由题意得i≥1，
则ci＝|ai﹣1﹣bi﹣1|＝0，bi＝|bi﹣1﹣ci﹣1|＝0，ci＝|ci﹣1﹣ai﹣1|＝0，
∴ai﹣1＝bi﹣1＝ci﹣1＝w（定值），
由a0，b0，c0三个数互不相等，得i≥2，且ai﹣1＝|ai﹣2﹣bi﹣2|＝w，
bi﹣1＝|bi﹣2﹣ci﹣2|＝w，ci﹣1＝|ci﹣2﹣ai﹣2|＝w，
设ai﹣2≤bi﹣2≤ci﹣2，则bi﹣2﹣ai﹣2＝w，ci﹣2﹣bi﹣2＝w，ci﹣2﹣ai﹣2＝w，
由（bi﹣2﹣ai﹣2）+（ci﹣2﹣bi﹣2）＝ci﹣2﹣ai﹣2，得2w＝w，
∴w＝0，∴ai﹣1＝bi﹣1＝ci﹣1＝0，
以此类推，得到ai﹣2＝bi﹣2＝ci﹣2＝0，ai﹣3＝bi﹣3＝ci﹣3＝0，…，ai＝bi＝ci＝0，a0＝b0＝c0＝0，
这与a0，b0，c0三个数互不相等矛盾，
∴对于∀i∈N，向量Xi中的三个实数ai，bi，ci至多有一个为0；
（Ⅲ）证明：设ai，bi，ci三个数中最大的为mi，记作mi＝max{ai，bi，ci}，
∵ai+1＝|ai﹣bi|，bi+1＝|bi﹣ci|，ci+1＝|ci﹣ai|，且ai，bi，ci∈N，
∴mi+1≤mi，其中i＝0，1，2，3，…
由题意可知mi∈N，其中i＝0，1，2，3，…
∴m1，m2，m3，…不可能单调递减，即必存在某个k∈N*，使得mk+1＝mk，
根据Xk+1的定义，可得向量Xk＝（ak，bk，ck）中的三个数ak，bk，ck中必有0，
由（Ⅱ）知ak，bk，ck中有且仅有一个为0，设ak＝0，
a0，b0，c0∈N，证明：∃t∈N，Xt＝Xt+3．
（1）bk≠ck，由题意不妨设0＜bk＜ck，
则ak+1＝|ak﹣bk|＝bk，bk+1＝|bk﹣ck|＝ck﹣bk，ck+1＝|ck﹣ak|＝ck，
mk+1＝mk＝ck，
∴ak+2＝|ak+1﹣bk+1|＜max{bk，ck﹣bk}＜mk+1，
同理，bk﹣2＜mk+1，ck+2＜mk+1，∴mk+2＜mk+1，
∵mi∈N，∴此种情形不可能一直出现，至多出现mk﹣1次，
∴一定能找到某个j∈N*，使得bj＝cj；
（2）若bk＝ck，由题意得Xk＝（0，bk，bk），Xk﹣1＝（bk，bk，0），Xk﹣1＝（0，bk，bk），
∴存在正整数t＝k，使得Xt＝Xt+3，
综上，∃t∈N，Xt＝Xt+3．
【点评】本题考查新定义、反证法、数列的单调性、分类计论思想等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是难题．
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